L’Ipotesi del Continuo

Il primo dei problemi esposti da Hilbert é quella che oggi viene chiamata Ipotesi del Continuo, e che in termini tecnici suona più o meno cosi’:

Non esiste un insieme con cardinalità superiore a quella dei numeri interi ed allo stesso tempo inferiore a quella dei numeri reali. O, per dirla in altri termini, 2^aleph₀ é l’infinito “appena superiore” ad aleph₀.

Ovviamente, ad una prima lettura potrebbe anche sembrarvi una poesia araba che parla di farfalle, quindi tentiamo di capirci un po’ di più. L’idea di insieme, credo che tutti ce l’abbiano presente. La cardinalità é una misura del numero di oggetti che contiene l’insieme: ad esempio, l’insieme S = {1, 5, 16} ha cardinalità 3 (contiene tre elementi), e lo indichiamo con |S| = 3. Per fare un esempio meno ortodosso, la “cardinalità” di un insieme di carte per giocare a Poker é 52 (oppure 54 considerando i jolly).

La cardinalità é, quindi, quasi sempre un numero intero positivo (eventualmente nullo) eccetto in quei casi in cui l’insieme ha un numero infinito di elementi (ad esempio l’insieme dei numeri pari). Possiamo dire che tutti gli insiemi con infiniti elementi hanno stessa cardinalità? Ad occhio, sembrerebbe di si’, ma, come già sapeva Zenone, l’infinito é una materia ostica da trattare.

Un modo semplice di confrontare le cardinalità di due insiemi diversi é cercare di mettere in correlazione i loro elementi: se riusciamo ad associare ad ogni elemento di un insieme A un elemento di un insieme B, ed in questa maniera riusciamo a coprire tutti gli elementi sia di A che di B, questo significa che A e B hanno la stessa cardinalità (matematicamente, dobbiamo trovare una funzione biettiva fra A e B, e scriviamo che |A|=|B|). Fortunatamente, questo metodo rimane valido anche con infiniti elementi. Applicandolo, verso la fine del 1800 il matematico tedesco Georg Cantor scopri’ un fatto abbastanza sconcertante: era possibile mettere in corrispondenza l’insieme dei numeri naturali con l’insieme delle frazioni, ma non era possibile metterlo in corrispondenza con l’insieme dei numeri reali. Alcuni reali restavano sempre esclusi, senza un compagno naturale, e questo significa che la cardinalità di N (l’insieme dei naturali) é minore di quella di R (l’insieme dei reali).

Ho già discusso l’argomentazione di Cantor in Diagonalizzando, quindi non ci tornero’ qui. Cantor sviluppo’ un’intera teoria sui numeri “transfiniti“, ovvero numeri più grandi di qualunque numero reale (numeri “infiniti”, anche se il termine non é esatto). I numeri transfiniti cardinali vengono indicati con la lettera ebraica aleph con un pedice naturale: il più piccolo numero transfinito é aleph₀, poi viene aleph₁, quindi aleph₂, e cosi’ via.

aleph₀ é, in effetti, proprio la cardinalità dell’insieme dei numeri naturali. La cardinalità dei numeri reali, invece, é pari a 2^aleph₀: Cantor ipotizzo’ che questo fosse proprio uguale ad aleph₁ (ovvero che non esistessero numeri transfiniti intermedi), e questa é l’ipotesi del continuo. E’ anche possibile generalizzare quest’ipotesi: dato un qualsiasi numero cardinale transfinito aleph_n , il suo immediato successore aleph_n+1 é pari a 2^aleph_n.

Passiamo a cose (ancora) più interessanti: quest’ipotesi é vera oppure falsa? La risposta é decisamente affascinante: come ha dimostrato nel 1963 Paul Cohen, partendo dalla teoria degli insiemi oggi usata (alla cui base vi sono gli assiomi di Zermelo Fraenkel), é impossibile dimostrare la verità (o la falsità) dell’ipotesi del continuo! E’ possibile costruire una teoria matematica nella quale l’ipotesi del continuo é vera, ed una teoria matematica nella quale l’ipotesi del continuo é falsa: é una di quelle asserzioni che Gödel, con il suo teorema, mostro’ debbano esistere in qualunque teoria matematica coerente e sufficientemente complessa: asserzioni non dimostrabili.

Questo risultato fu chiaramente una doccia fredda per la comunità matematica, che aveva sperato che, nonostante Gödel avesse provato l’esistenza di ipotesi non dimostrabili, queste sarebbero sempre state piuttosto astruse o senza senso, e non ipotesi chiave come quella del continuo! Alcuni pensano che il fatto che un’ipotesi chiave come questa sia indimostrabile mostra solo come gli assiomi di Zermelo Fraenkel siano insufficienti. Purtroppo, su quegli assiomi si fonda gran parte della matematica di oggigiorno, e quindi una discussione seria su uno loro eventuale modifica é, chiaramente, piuttosto improbabile.

Il dibattito, come sempre, resta acceso.

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