6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

L’Ipotesi del Continuo

Il primo dei problemi esposti da Hilbert é quella che oggi viene chiamata Ipotesi del Continuo, e che in termini tecnici suona più o meno cosi’:

Non esiste un insieme con cardinalità superiore a quella dei numeri interi ed allo stesso tempo inferiore a quella dei numeri reali. O, per dirla in altri termini, 2aleph0 é l’infinito “appena superiore” ad aleph0.

Ovviamente, ad una prima lettura potrebbe anche sembrarvi una poesia araba che parla di farfalle, quindi tentiamo di capirci un po’ di più. L’idea di insieme, credo che tutti ce l’abbiano presente. La cardinalità é una misura del numero di oggetti che contiene l’insieme: ad esempio, l’insieme S = {1, 5, 16} ha cardinalità 3 (contiene tre elementi), e lo indichiamo con |S| = 3. Per fare un esempio meno ortodosso, la “cardinalità” di un insieme di carte per giocare a Poker é 52 (oppure 54 considerando i jolly).

La cardinalità é, quindi, quasi sempre un numero intero positivo (eventualmente nullo) eccetto in quei casi in cui l’insieme ha un numero infinito di elementi (ad esempio l’insieme dei numeri pari). Possiamo dire che tutti gli insiemi con infiniti elementi hanno stessa cardinalità? Ad occhio, sembrerebbe di si’, ma, come già sapeva Zenone, l’infinito é una materia ostica da trattare.

Un modo semplice di confrontare le cardinalità di due insiemi diversi é cercare di mettere in correlazione i loro elementi: se riusciamo ad associare ad ogni elemento di un insieme A un elemento di un insieme B, ed in questa maniera riusciamo a coprire tutti gli elementi sia di A che di B, questo significa che A e B hanno la stessa cardinalità (matematicamente, dobbiamo trovare una funzione biettiva fra A e B, e scriviamo che |A|=|B|). Fortunatamente, questo metodo rimane valido anche con infiniti elementi. Applicandolo, verso la fine del 1800 il matematico tedesco Georg Cantor scopri’ un fatto abbastanza sconcertante: era possibile mettere in corrispondenza l’insieme dei numeri naturali con l’insieme delle frazioni, ma non era possibile metterlo in corrispondenza con l’insieme dei numeri reali. Alcuni reali restavano sempre esclusi, senza un compagno naturale, e questo significa che la cardinalità di N (l’insieme dei naturali) é minore di quella di R (l’insieme dei reali).

Ho già discusso l’argomentazione di Cantor in Diagonalizzando, quindi non ci tornero’ qui. Cantor sviluppo’ un’intera teoria sui numeri “transfiniti“, ovvero numeri più grandi di qualunque numero reale (numeri “infiniti”, anche se il termine non é esatto). I numeri transfiniti cardinali vengono indicati con la lettera ebraica aleph con un pedice naturale: il più piccolo numero transfinito é aleph0, poi viene aleph1, quindi aleph2, e cosi’ via.

aleph0 é, in effetti, proprio la cardinalità dell’insieme dei numeri naturali. La cardinalità dei numeri reali, invece, é pari a 2aleph0: Cantor ipotizzo’ che questo fosse proprio uguale ad aleph1 (ovvero che non esistessero numeri transfiniti intermedi), e questa é l’ipotesi del continuo. E’ anche possibile generalizzare quest’ipotesi: dato un qualsiasi numero cardinale transfinito alephn , il suo immediato successore alephn+1 é pari a 2alephn.

Passiamo a cose (ancora) più interessanti: quest’ipotesi é vera oppure falsa? La risposta é decisamente affascinante: come ha dimostrato nel 1963 Paul Cohen, partendo dalla teoria degli insiemi oggi usata (alla cui base vi sono gli assiomi di Zermelo Fraenkel), é impossibile dimostrare la verità (o la falsità) dell’ipotesi del continuo! E’ possibile costruire una teoria matematica nella quale l’ipotesi del continuo é vera, ed una teoria matematica nella quale l’ipotesi del continuo é falsa: é una di quelle asserzioni che Gödel, con il suo teorema, mostro’ debbano esistere in qualunque teoria matematica coerente e sufficientemente complessa: asserzioni non dimostrabili.

Questo risultato fu chiaramente una doccia fredda per la comunità matematica, che aveva sperato che, nonostante Gödel avesse provato l’esistenza di ipotesi non dimostrabili, queste sarebbero sempre state piuttosto astruse o senza senso, e non ipotesi chiave come quella del continuo! Alcuni pensano che il fatto che un’ipotesi chiave come questa sia indimostrabile mostra solo come gli assiomi di Zermelo Fraenkel siano insufficienti. Purtroppo, su quegli assiomi si fonda gran parte della matematica di oggigiorno, e quindi una discussione seria su uno loro eventuale modifica é, chiaramente, piuttosto improbabile.

Il dibattito, come sempre, resta acceso.

o

9 Risposte to “L’Ipotesi del Continuo”

  1. Sergio said

    Non sono sicuro di una cosa…
    Il teorema di Godel asserisce che, dato un insieme di assiomi non contraddittori, esistono asserzioni matematiche VERE che non e’ possibile dimostrare essere tali.
    L’ipotesi del continuo e’ un caso diverso, no e’ che sia vera, ma non si possa dimostrarlo. L’ipotesi del continuo non si puo’ dimostrare se sia vera o falsa. In altre parole l’ipotesi del continuo non e’ un esempio di una asserzione ‘di Godel’ (come invece lo e’ il teorema di Goodstein nel contesto dell’artmetica di Peano).
    Eventualmete l’ipotesi del continuo puo’ essere presa come nuovo assioma (vero o falso) e costruire poi diverse teorie sugli insiemi.

  2. alberto said

    Se non erro che tra Alef 0 ed Alef 1 non ci siano altri insiemi di cardinalità intermedia ( ipotesi del continuo) è stato dimostrato dallo stesso Cantor solo per insiemi ben ordinati.
    Il problema rimene aperto per insiemi NON ben ordinati.
    Sempre salvo errori la questione del continuo è uno dei problemi posti dal David Hilbert nel suo famoso elenco di 29 questioni matematiche irrisolte.

  3. Tommaso said

    @Sergio
    Il fatto è che ogni asserzione matematica non dimostrata non può essere definita vera, ciò che rende vera una proposizione è la sua dimostrazione. Perciò le possibilità sono o prendere per sempre vera (o sempre falsa) l’ipotesi e renderla un assioma, o tenersi il dubbio e non usare l’informazione data dall’ipotesi in alcun modo.

  4. In effetti affermare che esistano proposizioni vere che non possono essere dimostrate tali (e analogamente false delle quali non si può dimostrare la falsità) equivale ad affermare che esistono proposizioni delle quali non si può dimostrare né la verità né la falsità.

  5. Cantor dimostra che l’insieme dei numeri razionali è numerabile e assegna primo grado di cardinalità , dimostra che l’insieme dei numeri reali non è numerabile e assegna secondo grado di cardinalità.
    Ipotesi del continuo:
    non esistono sottoinsiemi fra i razionali e i reali
    Kurt Gödel prova che l ‘ ipotesi del continuo non può essere dimostrata come falsa.
    Paul Cohen prova che l’ ipotesi del continuo non può essere dimostrata come vera.
    Lemma:
    Ogni numero reale può essere approssimato per eccesso e per difetto da numeri razionali.
    Se conveniamo di rappresentare i reali in terne di tre elementi così composto:
    1. (Numero razionale minore di R), Numero reale , (Numero razionale maggiore di R)
    Questo insieme è numerabile con lo stesso procedimento usato da Cantor per l’insieme dei razionali.
    Gli irrazionali sono un sottoinsieme numerabile fra i razionali e i reali e quindi l’ ipotesi del continuo è vera.
    Chi pensate che abbia ragione ?

  6. […] https://seipernove42.wordpress.com/problemi-di-hilbert/lipotesi-del-continuo/ […]

  7. Permettetemi un’osservazione. Secondo me sbagliate a far di tutte le proposizioni indecidibili un unico “fascio”. Così facendo togliete ogni senso ai teoremi di Godel. Godel non si è limitato a dimostrare l’esistenza di proposizioni indecidibili. Questo era una cosa già nota da secoli (vedi storia del V postulato di Euclide). Godel ha invece dimostrato che possono esistere proposizioni il cui valore di verità è già fissato da un dato sistema di assiomi ma che esso non possa essere deciso solo con quegli assiomi. Infatti la proposizione G di Godel sui naturali risulta vera ma indecidibile, e la sua verità viene stabilita con un argomento meta-Peano.
    Quindi, rispetto ad un sistema assiomatico S dato, esistono due tipologie di proposizioni indecidibili: quelle “euclidee” che sono indecidibili perché S non ne fissa il valore di verità e quelle “godeliane” che sono indecidibili perché non formalmente dimostrabili o refutabili in S benché S ne fissi il valore di verità. Per questo Godel riteneva che il suo teorema fosse un sostegno alla posizione platonista in matematica: il suo teorema slega la verità di una proposizione dalla sua dimostrabilita’.
    L’ipotesi del continuo è indecidibile godeliana rispetto a ZF: il suo valore di verità è già insito in ZF (anche se per ora non sappiamo qual è). Questo lo si può dedurre dal fatto che la costruzione di R richiede solo gli assiomi ZF (non richiede neanche C), quindi sono gli assiomi ZF a “stabilire” quali siano gli elementi di R e i suoi sottoinsiemi propri. Quindi se esiste o meno un sottoinsieme C di R di cardinalita’ intermedia tra il numerabile e il continuo questo è già “stabilito” da ZF. Solo che questi assiomi non sono sufficienti per determinare se tale insieme esista o meno. Ma C esiste o o non esiste come conseguenza dei soli ZF.

  8. Stefano said

    Per poter dimostrare l’ipotesi é da chiarire quali sono i numeri in gioco:

    1. Naturali
    2. Razionali
    3. Agebrici
    4. Trascendenti

    ne esistono altri ?

  9. Sergio said

    @Dario de Judicibus No! il teorema di Goodstein e’ una afferemazione VERA (come dimostrato nella teoria assiomatica degli insiemi), che pero’ non e’ dimostrabile essere tale nel sistema aritmetico di Peano, pur facendone parte.

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

 
%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: