6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

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Il problema non banale dell’incertezza

Posted by scardax su gennaio 24, 2013

Di tutti i concetti scientifici che hanno rivoluzionato il nostro modo di pensare, una posizione sul podio va sicuramente data alla nozione di probabilità, che ci permette di affrontare  l’incertezza con precisi modelli e regole matematiche. In un mondo di infiniti dati e di infinita potenza di calcolo, ci siamo abituati a veder calcolare qualsiasi genere di probabilità: che vinciate al lotto; che i ghiacciai si sciolgano nel prossimo anno; che un candidato vinca le elezioni; che il mondo sarebbe finito nel 2012 (questa era facile: 0).

Nonostante la nostra intuizione su cosa sia la probabilità, però, la sua definizione formale rimane incredibilmente elusiva. Chiediamoci: cosa vuol dire che una moneta ha probabilità 50% di cadere da un lato? Per quanto sembri incredibile, ci sono almeno due modi di intendere la probabilità: frequentista (oggettivo) e Bayesiano (soggettivo). Al di là del problema epistemologico di quale sia, in realtà, la definizione corretta tra le due, la questione diventa incredibilmente seria quando consideriamo l’applicazione della probabilità a problemi pratici di inferenza da campioni di misurazioni multipli. In effetti, le due visioni hanno dato origine a due classi di metodi statistici estremamente diversi che, nel corso del XX Secolo, non hanno mancato di scontrarsi a più riprese.

Cominciamo dal più conosciuto, l’approccio frequentista, che è quello che ancora oggi si insegna prevalentemente nelle scuole secondarie o nei corsi Universitari di base. Secondo questo approccio, una probabilità è la frequenza relativa con cui si avvera un evento se ripetiamo tale esperimento infinite volte. E’ qualcosa di oggettivo, insito nell’esperimento stesso, e che in generale possiamo definire con molta precisione. Se lanciamo una moneta mille volte, ci aspettiamo circa 500 volte di ottenere testa e circa 500 croce. L’approccio frequentista è stato predominante per buona parte del XX Secolo, grazie ad una buona chiarezza espositiva, eleganza, e soprattutto alla semplicità dei suoi metodi di inferenza.

Nonostante questo, in molti casi esso sembra troppo restrittivo rispetto al nostro senso comune: cosa vorrebbe dire in questa ottica, ad esempio, che la probabilità che un politico venga eletto è il 10%? Sicuramente non si tratta di un esperimento ripetibile. In effetti, questa probabilità non è una vera probabilità nel senso frequentista, secondo il quale un esperimento “one-shot” come una elezione ha, tutt’al più, probabilità 1 oppure 0. E’ una probabilità soggettiva, e come tale rientra nel secondo approccio, quello Bayesiano (dal matematico Inglese Thomas Bayes), secondo cui le probabilità non sono altro che una misura soggettiva della nostra incertezza riguardo un evento. Ottenere testa lanciando una moneta ha probabilità 50% perché, soggettivamente, siamo massimamente indecisi sul risultato, mentre nel caso di prima del politico siamo fortemente propensi verso un dato risultato. L’approccio Bayesiano era prevalente all’inizio del XX Secolo (seppur non sotto questo nome), e lo è tornato sul finire, quando la capacità di calcolo necessaria ai suoi conti è diventata disponibile.

Come detto in precedenza, questa problematica potrebbe sembrare puramente formale, ma ha effetti disastrosi quando andiamo ad applicare la probabilità ad un problema statistico (nota: qui è dove il post diventa leggermente più tecnico. Non rinunciate!).

Consideriamo ad esempio il seguente problema: stimare l’altezza media della popolazione italiana a partire dalla misurazione dell’altezza di qualche centinaio di cittadini (supponendo che siano sostanzialmente rappresentativi della popolazione complessiva). L’approccio naif è quello di prendere semplicemente la media delle nostre misurazioni. Purtroppo, avendo noi a disposizione solo un campione della popolazione, il nostro risultato sarà soggetto ad una certa incertezza, ed il problema è proprio quantificare questa incertezza. Domande tipiche sono: quanto può variare il nostro errore? quante altre persone dovrei avere a disposizione per ridurlo? e così via. Pensate all’importanza di tali domande quando ci basiamo su un sondaggio per prendere decisioni importanti oppure quando dobbiamo decidere se (ad esempio) fumare aumenta effettivamente il rischio di malattie mortali, tutti gli altri fattori mantenuti fissi.

Nell’approccio puramente frequentista, l’altezza media reale della popolazione è un dato fisso, costante nel mondo reale, e sul quale non è quindi possibile definire una qualche probabilità. Le nostre misurazioni, invece, sono soggette ad incertezza, e quindi, in un certo senso, casuali. La media delle nostre misurazione ci fornisce una stima del parametro che cerchiamo la quale, quindi, è soggetta ad una distribuzione di probabilità. Cosa vuol dire questo? Supponendo di ripetere diverse volte le nostre misurazioni, otterremmo diverse stime, com’è chiaro se pensate che cambierebbero le persone su cui le calcoliamo. La frequenza con cui ciascuna stima si presenterebbe nel nostro esperimento è proprio la sua probabilità. Ipotizzando una forma di questa distribuzione, possiamo quindi rispondere a diverse domande, ad esempio possiamo calcolare un intervallo che, nel 95% dei casi, conterrà sempre la vera media che stiamo cercando.

Nel paragrafo precedente ho evidenziato “si presenterebbe”. Le critiche all’approccio frequentista (utilizzato, ad esempio, per testare o rigettare ipotesi di correlazioni fra variabili negli studi scientifici) sono molto sottili. Esso si basa sull’astrazione di ripetere idealmente un esperimento che abbiamo effettuato una sola volta, e di inferire conclusioni considerando anche dati che non abbiamo mai osservato (quelli “eventuali” negli altri esperimenti). Questo va contro quello che si chiama principio di massima verosimiglianza, secondo cui i dati in nostro possesso sono gli unici che dovremmo usare, principio che è al cuore dell’approccio Bayesiano.

Se le nostre misurazioni sono quindi l’unica cosa certa su cui possiamo contare, l’incertezza si sposta sulla quantità che vogliamo misurare, ovvero l’altezza media degli Italiani. Se la probabilità è misura di incertezza (e non una misura oggettiva sul mondo), possiamo quantificarla fornendo una distribuzione di probabilità al parametro che cerchiamo, che descriva le nostre credenze sulla probabilità soggettiva di ciascun valore possibile. Il teorema fondamentale dell’approccio Bayesiano (chiamato, appunto, teorema di Bayes) ci permette quindi di miscelare queste nostre credenze con i dati che abbiamo misurato per fonderle in un’unica visione, e darci quindi una nuova forma della distribuzione di probabilità del parametro cercato. Da questa possiamo poi, ad esempio, verificare quale valore è più probabile, quale intervallo lo è al 95%, ecc.

Il vantaggio di tutto questo è che il teorema di Bayes ci dà una maniera unificata e lineare di ragionare sull’incertezza, assente nell’approccio frequentista. La principale critica è data, appunto, dalla soggettività: due persone diverse, con gli stessi dati ma con diverse assunzioni sul parametro alla base, otterrebbero risultati diversi e questo, a prima vista, sembra inaccettabile per una procedura scientifica rigorosa. La risposta Bayesiana è che le nostre assunzioni sono parte integrante dei dati, e che senza una o più assunzioni è impossibile generalizzare. Inoltre, rendere esplicite le assunzioni rende anche più semplice, ad esempio, contestarle. Un secondo problema, forse più grave, è che ora lavorare con la probabilità risultante è molto più difficile, specie nei casi nei quali non possiamo ricavarne una formula chiusa. Problema che non è ben chiaro se la pura potenza di calcolo ha davvero risolto.

Oggi le due classi di metodi coesistono (quasi) pacificamente a seconda di quale siano le esigenze dei ricercatori. Eppure, nella misura in cui l’investigazione scientifica è la generalizzazione a partire dall’osservazione, la probabilità è il cuore pulsante della Scienza e, quindi, rispettosa forse più di ogni altra cosa di studio e comprensione.

P.S.: dite che mi sono allungato troppo? Non vi sento da quaggiù.

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Sull’Infallibilità della Scienza

Posted by scardax su giugno 1, 2012

Mi ricollego ad un post di qualche tempo fa, pubblicato da BadScience, che a sua volta discute un controverso articolo apparso l’estate scorsa sulla rivista Nature Neuroscience, per introdurre un argomento alquanto interessante: quanto è infallibile il metodo scientifico? L’esperienza quotidiana ci insegna che la risposta si pone fra “molto” e “completamente”, e su questo credo saremo tutti d’accordo. Ma quanto oscilla fra questi due estremi?

La paura dell’errore è il vero spettro di ogni disciplina scientifica. Fra le pieghe dell’ortodossia comunemente accettata e nei meandri dell’iperspecializzazione lo Sbaglio, sotto le sue molteplici forme, si può annidare in ogni angolo. E niente, nemmeno il rigore del metodo scientifico, è in grado di escluderlo con certezza assoluta.

La storia della filosofia scientifica (e matematica in particolare) degli ultimi due secoli è stata una lotta incessante fra chi desiderava una scienza di puro rigore, che discendesse da assiomi incontestabili con metodi inconfutabili, chi rivendicava l’intuito al centro di tutto, ed infine la disperata ricerca di un necessario equilibrio. La pura logica dà vita ad una scienza incompleta, ma il puro intuito è quantomento contestabile. Dov’è, quindi, la giusta via di mezzo?

L’universo accademico di oggi è alla ricerca di questo equilibrio in un mondo in cui il numero di pubblicazioni, di ricercatori, di discipline e di interconnessioni è cresciuto a dismisura, un equilibrio tutto costruito con l’utilizzo di poche semplici regole: revisioni indipendenti di ciascun articolo prima della pubblicazione, possibilità continua per esso di essere confutato in seguito, indice di importanza per riviste, tutto al servizio del tentativo di evitare l’errore o, quantomento, arginarlo il prima possibile. Eppure…

Sander Nieuwenhuis e colleghi hanno identificato una grossolana imprecisione di tipo statistico che appare in oltre la metà degli articoli scientifici che hanno considerato in campo neuroscientifico, e che ne inficia seriamente la validità e le conclusioni. Per chi non masticasse l’inglese dell’articolo originale, cercherò di ripetere la sua spiegazione con un esempio più leggero. Supponete di avere inventato una nuovissima ricetta per la vostra pasta al sugo. Per testarla, la proponete ad un gruppo di 100 buongustai romani, 25 dei quali dicono di esserne più soddisfatti rispetto alla ricetta originale. Poichè considerate qualsiasi risultato sopra il 20% statisticamente significativo, avete una prima conclusione da pubblicare sulla vostra rivista di cucina preferita: la vostra ricetta piace di più ai romani.

In seguito proponete la ricetta ad un gruppo di 100 milanesi, 15 dei quali si dicono più soddisfatti. Il risultato è sotto la soglia, quindi ne deducete che non c’è un miglioramento statisticamente rilevante riguardo ai milanesi. A questo punto, l’intuito ci dice che una terza conclusione è che il palato romano ed il palato milanese rispondono differentemente alla vostra ricetta. E questo è anche quanto ci dicono la maggior parte degli articoli passati in rassegna dagli scienziati olandesi, seppur nessuno, almeno credo, parla di ricette di pasta al sugo. Nonostante ciò, questo risultato è errato! Infatti, per motivare questa affermazione, la differenza di apprezzamento tra i due gruppi dovrebbe essere statisticamente significativa a sua volta. Ma, dai numeri che vi ho fornito, questo non sussiste: 25 – 15 = 10%, che è al di sotto della nostra soglia prescelta. Ed è così anche nella metà dei 157 articoli passati in rassegna nei quali questo stesse ipotesi erano vere.

Certo, la statistica è la madre di tutte le confusioni. E nulla, come sottolinea correttamente BadScience, può escludere da parte di alcuni autori una scorrettezza intenzionale pur di essere pubblicati. Eppure, il fatto che addirittura io sia riuscito a spiegarvi l’errore e la sua diffusione sembrerebbero un punto a sfavore dell’infallibilità del metodo scientifico. D’altro canto, il fatto che questo nuovo articolo (che a sua volta potrebbe essere confutato) chiarificatore sia stato pubblicato sembrerebbe un punto ancora maggiore a favore del metodo scientifico stesso.

Quanto ancora può migliorarsi la scienza (e quanto proteggersi dalla disonestà intellettuale)? Quanto lontana è ancora dal suo perfetto equilibrio?

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L’Universo in un Numero

Posted by scardax su marzo 22, 2010

I ragionamenti che coinvolgono l’infinito (ed i suoi derivati) sono sempre il più grande spartiacque fra chi possiede una mentalità scientifica e chi non la possiede: quello che a qualcuno può sembrare completamente assurdo, per un matematico, e per i suoi compagni, è la cosa più sensata al mondo. Guardando da quest’ottica, prendete cio’ che segue come un esperimento su voi stessi: lo trovate senza capo né coda? La scienza astratta non fa per voi.

Cominciamo prendendo un numero ad espansione decimale infinita piuttosto buffo: in particolare, i cui decimali sono formati dalla concatenazione di tutti i numeri naturali in sequenza:

0.123456789101112…

Non ci crederete mai, ma ha anche diritto ad un nome: viene detto numero (o costante) di Champernowne. Cos’ha di interessante? In pratica, i suoi decimali seguono una distribuzione di probabilità uniforme; ovvero, prendendo un decimale a caso, é ugualmente probabile che esso sia una qualunque delle dieci cifre decimali. E questa proprietà vale anche per sequenze di più di una cifra: prendendo due decimali consecutivi, ad esempio, la probabilità che essi siano, diciamo, uguali a 56 é 1/100. E non é finita qui: in questo caso abbiamo scritto il numero sfruttando la base decimale, ma questa proprietà continua a valere costruendo lo stesso numero in qualsiasi base!

Un numero per cui vale tutto quello appena descritto viene detto normale (Champernowne lo ha dimostrato per l’omonima costante). Ok, di nuovo la stessa domanda: e quindi? Supponiamo che ad ogni tripletta di decimali sia associato un carattere, ad esempio seguendo la codifica ASCII. Dalle proprietà di normalità, segue che all’interno della sua espansione decimale é possibile ritrovare… qualsiasi testo!

Sparsi in qualche punto dell’espansione si trovano le opere Shakespeare, la Bibbia, ed anche libri che ancora debbono essere scritti! Il vostro tema di maturità? E li’, da qualche parte, dovete solo cercare sufficientemente bene. E la lettera d’amore che cosi’ gelosamente avete custodito tutto questo tempo senza spedirla? La matematica non ha rispetto per la vostra privacy: anche lei è li’.

Sulla falsariga del ragionamento è possibile costruire molti altri apparenti paradossi: una scimmia che, battendo le dita a caso su un computer per un tempo sufficientemente lungo, produce un qualsiasi libro di vostra scelta; od una libreria che, per costruzione, contenga tutti i libri dell’Universo, come quella del celebre racconto dello scrittore Borges.

Dite la verità: quanto trovate assurdo tutto questo? Per approfondimenti, consiglio la seguente pagina di Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_monkey_theorem

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Tempi (Matematici) Moderni

Posted by scardax su gennaio 21, 2010

C’é un paradosso affascinante nell’insegnamento odierno della matematica: nonostante questa abbia subito un’espansione incredibile negli ultimi due Secoli, non solo quantitativamente (con la nascita di numerosissime sotto-sotto-sottobranche), ma anche qualitativamente, passando ad interessarsi di oggetti via via più astratti e lontani dai numeri per i quali era nata (gruppi, varietà, sistemi, informazione, ragionamento…), la stragrande maggioranza di quella che viene insegnata nei licei é in sostanza derivata dai buoni vecchi Greci, escludendo poche branche da ultimo anno che pero’ con loro hanno comunque un collegamento diretto (come l’analisi delle funzioni).

Lungi da me il voler buttarmi nella spinosa questione della possibilità o meno di aggiornare i programmi correnti per includere argomenti più recenti, voglio solo far notare la fastidiosa conseguenza di tutto cio’: la maggior parte delle persone é ancora convinta che matematica significhi essenzialmente calcoli e formule, ed il distacco fra l’esperto ed il profano si fa di giorno in giorno maggiore.

Vediamo, per dare un esempio, una branca della matematica che ha, in sostanza, poco più di cento anni: la topologia, ovvero lo studio delle figure e delle forme. Qualunque oggetto che vi stia accanto definisce una superficie nello spazio: una palla da calcio definisce una superficie sferica, mentre un foglio di carta una superficie piana. Una ciambella (esempio classico della topologia), rappresenta una superficie leggermente più strana, ma pur sempre una superficie, e cosi’ via. Queste superfici possono essere aperte (come un foglio di carta), o chiuse (come la sfera), e quindi possedere o meno un bordo, avere dei “buchi” (come la ciambella), e cosi’ via.

La domanda é: ogni oggetto definisce una superficie, ma molte di queste sembrano simili fra loro. E’ possibile classificarle in diversi gruppi, cosicché ciascuno di essi possegga particolari proprietà matematiche? Per arrivare a questa classificazione, dobbiamo prima capire che non ci interessano la reale dimensione delle superficie, o la sua forma particolare, quanto il modo in cui questa é composta ed i suoi elementi sono connessi. Possiamo quindi arrivare alla seguente definizione (molto informale):

Due superfici sono topologicamente equivalenti se é possibile tramutare l’una nell’altra attraverso una serie di trasformazioni (allungamenti, stiramenti, torsioni) che non comportino il “taglio” o “l’incollamento” di due parti della superficie.

Seguendo questa definizione, scopriamo che per la matematica qualunque pallone é topologicamente equivalente: quello da rugby é equivalente a quello da calcio semplicemente comprimendolo ai lati. Anche la bottiglia dell’acqua é equivalente alla sfera, mentre una ciambella é equivalente ad una tazza di caffé. E la ciambella e la sfera, sono equivalenti? La risposta parrebbe no dopo qualche minuto di riflessione, ma ovviamente “parrebbe” é un po’ orrendo come risultato.

La topologia ha scoperto che esistono una serie di proprietà delle superfici (chiamate invarianti topologici) che consentono di classificarle in maniera accurata: ovvero, due superfici aventi determinati valori degli invarianti apparteranno per certo ad una data classe, mentre due superfici con invarianti diversi apparterranno a due classi diverse (e non potranno essere trasformate l’una nell’altra senza taglia e cuci). Nel caso delle superfici, due soli invarianti sono sufficienti alla classificazione:

  1. La caratteristica di Eulero della superficie. Questo valore é generalmente associato ad un poliedro, ed é uguale a V – E + F, dove V é il numero di vertici del poliedro, E il numero di spigoli (connessioni fra vertici) ed F il numero di facce. Supponete di ricoprire tutta la vostra superficie di poliedri: non importa come li scegliate, il valore di Eulero ottenuto sarà sempre lo stesso. Ad esempio, ricoprendo una sfera di triangoli, o di quadrati, o di qualsiasi altro poliedro, otterrete sempre un valore di Eulero pari a 2. Nel caso di una ciambella, invece, otterrete sempre un valore pari a 0: ciambella e sfera sono superfici topologicamente differenti. Da solo questo numero non é sufficiente: ad esempio, sia la ciambella che il nastro di Möbius hanno una caratteristica di Eulero pari a 0, ma non sono certo equivalenti.
  2. La seconda caratteristica é l’orientabilità, ovvero la possibilità di poter definire orientamenti destrorsi o sinistrorsi. Provate a pensare di disegnare una freccia su una sfera, e di farle compiere un giro completo intorno alla sfera: riotterrete lo stesso orientamento della freccia. Provate a farlo su un nastro di Möbius, invece, e dopo un giro otterrete una freccia orientata nel verso opposto! Su un nastro di Möbius é impossibile orientarsi.

Ora, é possibile trasformare una sfera in una qualsiasi altra superficie, in questo modo:

  • Se la superficie é orientabile, basta aggiungere una serie di “manici” alla sfera che dipendono dalla differenza di caratteristica di Eulero.
  • Se la superficie non é orientabile, bisogna incollare sulla sfera una serie di nastri di Möbius (un’operazione impossibile nello spazio tridimensionale).

E’ possibile determinare numerosi altri invarianti, e cominciare ad ottenere seri risultati utili in moltissimi campi partendo da questi concetti di base. Si puo’ poi estendere il discorso a superfici n-dimensionali considerando l’estensione della sfera in queste n-dimensioni (ad esempio, un’ipersfera é una superficie a tre dimensioni in uno spazio a quattro dimensioni).

(Ed adesso sapete perché questo cose non si insegnano al liceo! 🙂 ).

Spazio pubblicitario: l’ispirazione al post é venuta da un capitolo del libro “I Problemi del Millennio” di Keith Devlin, consigliato a chi interessi l’argomento.

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Persi in uno Spazio a Troppe Dimensioni

Posted by scardax su dicembre 21, 2009

Goethe disse una volta che “i matematici sono come i Francesi: qualunque cosa gli dite, lo traducono nel loro linguaggio, e non é più la stessa cosa“. In realtà, io trovo più corretta questa affermazione rivolta verso i fisici: almeno, i matematici parlano di cose astratte; i fisici, invece, sembrano parlare del nostro mondo.

Prendiamo un esempio semplice: tutti noi abbiamo, almeno intuitivamente, nozione di cosa voglia dire che “lo spazio nel quale viviamo ha tre dimensioni”. Allo stesso modo, sappiamo che un foglio di carta puo’ essere pensato come una superficie a due dimensioni, in quanto la terza é “trascurabile”, mentre un filo assomiglia ad una superficie unidimensionale. La domanda é: come si formalizza il concetto di “dimensione“?

Il modo più semplice é pensare che la dimensionalità di una qualche varietà (un’area, una superficie, uno spazio) sia il minimo numero di punti che sono necessari ad individuare un punto su di essa, una volta che si sia fissato un sistema di riferimento. Quindi, lo spazio ‘classico’ é a tre dimensioni perché, una volta fissata un’origine e tre assi ortogonali fra loro, é sufficiente fornire tre distanze dall’origine per individuare univocamente un punto. Similmente, la superficie della Terra é una varietà a due dimensioni, in quanto sono necessarie solo longitudine e latitudine per individuare un punto (l’altitudine, supponendo che non andiate sott’acqua o in aria, dipende dalle altre due coordinate).

La scelta dei tre punti non é univoca (ad esempio, possiamo individuare un punto nello spazio classico con due angoli ed una lunghezza, o due lunghezze ed un angolo); é sufficiente che sia minima.

Ora che abbiamo il nostro concetto di base, possiamo cominciare a giocarci ed a vedere cosa ne esce fuori (in gergo, “facciamo i matematici”). Per cominciare, l’idea si puo’ rendere astratta a sufficienza da essere indipendente da una nozione di spazio “fisico”: ad esempio, una particella é in generale individuata dalla sua posizione (tre numeri) e dalla sua velocità (o, meglio, dal suo momento, altri tre numeri). Quindi, lo “stato” di una particella é un punto su uno spazio a sei dimensioni! Questo ragionamento porta rapidamente ad introdurre un numero di dimensioni esponenziale (cinque particelle ci portano già a 6×5 = 30 dimensioni!), al punto che il matematico Richard Bellman conio’ il termine “la maledizione della dimensionalità” per indicare questo problema.
(Al limite, possiamo arrivare ad uno spazio ad infinite dimensioni, come quello richiesto dalla teoria quantistica.)

Altri fisici hanno richieste più accettabili: lo spaziotempo della teoria della relatività ha solo quattro dimensioni (potete immaginare uno spazio del genere come una successione infinita di spazi a tre dimensioni identificati dalla variabile temporale); alcune teorie delle stringhe ne vorrebbero undici (alcuni dicono ripiegate su se stesse).

Fin qua, é tutto ancora comprensibile. I problemi cominciano quando consideriamo i frattali (di cui abbiamo parlato in “Camminando in una Spirale Infinita“), ovvero quegli oggetti che mantengono la loro struttura a qualunque ingrandimento. Se raffiniamo il nostro concetto di dimensionalità, scopriamo che in generale un frattale ha un numero di dimensioni che non é un numero intero! Intuitivamente, per individuare un punto su un frattale, n numeri sono pochi, ma n+1 sono troppi.
(Se ve la cavate con l’inglese, qui trovate un esempio sia del raffinamento del concetto di dimensione, sia del frattale:
http://www.math.harvard.edu/archive/21b_fall_03/shirpinski/index.html).

In ogni caso, il blog ha superato le 10mila visite, ed il 25 Dicembre si avvicina: buon Newton-mas a tutti!

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Numeri e Figure

Posted by scardax su settembre 6, 2009

Cambiando prospettiva nella vita, si sa, si ottengono straordinari risultati.

Ad esempio, oggi siamo abituati a considerare i numeri naturali (1, 2, 3…) principalmente in relazione al contare: “due mele”, “tre euro”, “quattro deficienti che cercano di fregarmi la macchina anche se ho l’antifurto satellitare”, e cosi’ via. Questo ha la sua base nella matematica moderna, che come punto di partenza per l’interpretazione dei numeri prende la teoria insiemistica.

Certo é che non sempre é stato cosi’. Per lungo tempo, i numeri sono stati interpretati semplicemente come grandezze geometriche: cinque era la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente cateti 3 e 4. Ancora prima di questo, presso i Pitagorici, celebre setta insediatasi a Crotone nel sesto secolo a.C., i numeri naturali venivano visti come portanti con sé la chiave dell’Universo: ciascun numero, concepito come un conglomerato di unità, recava in sé un significato simbolico. Ad esempio, il 2 ed il 3 erano, rispettivamente, il numero femminile ed il numero maschile e, di conseguenza, il 5 era il numero del matrimonio (essendo la somma di due e tre).

Anche se questi aspetti del pensiero pitagorico durarono relativamente poco, molti altri, mescolandosi al pensiero platonico, pervasero la cultura per millenni, riemergendo durante il Rinascimento e durando fino ai nostri giorni. Fra questi vi é, ad esempio, l’interesse per i numeri figurati. Come abbiamo detto prima, possiamo vedere ogni numero come una somma di unità: possiamo quindi anche disporre queste unità per vedere quale figura geometrica si ottiene. Quindi, ad esempio, il tre viene visto come un numero triangolare (poiché tre unità disposte in modo simmetrico formano un triangolo), cosi come il sei, mentre il nove forma un quadrato, ed il cinque un pentagono.

Questo genere di numeri sono stati ampiamente studiati in seguito. In particolare, si sono scoperte formule per determinare tutti i numeri appartenenti ad una data categoria: ad esempio, tutti i numeri triangolari assumono la forma \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} . I numeri quadrati sono anche più semplici: come ovvio, sono dati dalla forma n^2 . Fra i numeri figurati intercorrono diverse relazioni: ad esempio, la somma di due numeri triangolari successivi dà luogo ad un numero quadrato.

Il teorema indubbiamente più bello di tutti, pero’, é quello di Fermat sui numeri poligonali:

Ogni numero puo’ essere scritto come la somma di, al massimo, tre numeri triangolari, quattro numeri quadrati, cinque numeri pentagonali e, più in generale, n numeri n-agonali.

Vi sono alcuni casi particolari: ad esempio, un numero puo’ sempre essere scritto come la somma di esattamente quattro numeri quadrati.

Ci sono anche numeri figurati tridimensionali, ad esempio i numeri piramidali, i quali si dividono a seconda della base della piramide. Ad esempio, tutti i numeri della forma \displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6} sono numeri piramidali triangolari (ovvero, permettono di costruire una piramide a base triangolare).

Per la prossima settimana, prometto un post che non sia di Matematica pura! 😀

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Numeri d’Oro e Successioni di Conigli

Posted by scardax su settembre 2, 2009

Nota: le immagini a correlazione del post sono orrende, non rispettano le proporzioni (nonostante si parli proprio di quello) e sembrano disegnate da un quindicenne. Sono il meglio che ho potuto fare, munito di un programmino stupido e del solo touchpad (no, non é vero. Non avevo proprio voglia di farle).

Fra i tanti argomenti che abbiamo affrontato in tutti i post che hanno seguito la nascita di questo blog, mi stupisce che ancora non abbia avuto occasione di parlare del famosissimo “rapporto aureo“, un concetto tanto caro ai Greci che essi non trovarono nemmeno necessario dargli un vero nome (e lo chiamavano semplicemente “sezione”), che Keplero descriveva come una delle meraviglie della matematica e Leonardo da Vinci come il rapporto in assoluto più gradevole all’occhio umano. Un rapporto usato da millenni in architettura, scultura, pittura, e, perché no, in Natura: per farvi un esempio, il vostro avambraccio sta al vostro braccio esattamente in rapporto aureo.

Quindi, cominciamo: cos’é questo fantastico rapporto? Dopo questa prolissa introduzione, forse la sua descrizione vi sembrerà fin troppo triviale: se prendiamo un segmento AB, e lo dividiamo in due segmenti AC e CB, questi due si dicono in rapporto aureo se il rapporto fra il più breve ed il più lungo é uguale al rapporto fra il più lungo e l’intero segmento, come vediamo nella figura.

Sezione-aurea
In termini geometrici, quindi, abbiamo rapporto aureo quando

\displaystyle \frac{CB}{AC} = \displaystyle \frac{AC}{AB}

Possiamo ora calcolare l’esatto valore del rapporto aureo, che indichiamo con \phi , che sarà uguale al rapporto fra CB ed AB. AB, pero’, é la somma di AC e CB. Sostituendo nell’equazione di prima, otteniamo:

\phi = \displaystyle \frac{AC}{AC + CB} = \displaystyle \frac{CB}{AC} + 1 = \displaystyle \frac{1}{\phi} + 1

Abbiamo quindi un’equazione in una incognita (il rapporto aureo), che, mettendo a denominatore comune, risulta essere di secondo grado:

\phi^2 - \phi - 1 = 0

Risolvendo (considerando solo la radice positiva), otteniamo che:

\phi = \displaystyle \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Che é un numero irrazionale, e vale circa 1,61.

Una delle proprietà più note del rapporto aureo é il suo legame con la successione di Fibonacci, la celebre sequenza di numeri in cui ciascun termine é uguale alla somma dei due termini precedenti (esclusi i primi due, che vengono posti uguali ad 1): 1 1 2 3 5… La sequenza prende il nome dallo pseudonimo del celebre matematico italiano che la studio’ per primo, Leonardo Pisano (uno dei massimi matematici del Medioevo, anche se bisogna ammettere che la concorrenza non era particolarmente serrata), che la introdusse studiando il tasso di crescita di una popolazione di conigli (in cui ciascuna coppia fertile ha un’altra coppia di conigli al mese, i quali diventano fertili il mese successivo, cominciando con una sola coppia).

Di sicuro lo stesso Fibonacci si stupi’ del fatto che il rapporto fra un numero della sequenza ed il numero immediatamente precedente approssima il rapporto aureo, e che questa approssimazione migliora considerando numeri sempre più in là nella sequenza. Considerando le equazioni ricorsive della sequenza di Fibonacci, é possibile dimostrare che, al limite, questo rapporto é proprio uguale alla sezione aurea. Chiamando f_n l’n-esimo numero della sequenza, possiamo allora affermare che:

\phi = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{f_{n+1}}{f_n}

Il rapporto aureo é avvistato ovunque, a volte anche troppo forzatamente, e questa vuol solo essere una brevissima introduzione per lanciarvi preparati alla ricerca di queste comparse. Solo per invogliarvi, ne cito uno (anzi due): consideriamo un pentagono regolare:

pentagon

E tracciamo le cinque diagonali del pentagono. Otteniamo, oltre alla famosa stella a cinque punte, un altro pentagono regolare più piccolo all’interno del pentagono stesso:

pentagramBene: ogni diagonale del pentagono viene tagliata in due da un’altra diagonale, ed i due segmenti stanno fra loro esattamente nel rapporto aureo!

Qui vediamo anche un’altra proprietà della sezione aurea piuttosto ricorrente: essa tende a “riprodursi”. Ad esempio, potremmo tracciare le diagonali del pentagono più piccolo, ottenendo un altro pentagono ancora più piccolo, ed ottenendo la sezione aurea delle sue diagonali. Oppure, consideriamo il segmento di inizio post, ed inseriamo un quarto punto D tale che AD sia uguale a CB. Indovinate? D taglia il segmento AC in due parti che stanno fra loro in rapporto aureo!

rapporto-aureo-ripetuto

Bé, ora potete anche divertirvi con Google. 😀

Nota sulle fonti: la stragrande maggioranza del post é stata estrapolata e rivista da sezioni diversi della Storia della Matematica di Boyer.

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Pensando In Grande

Posted by scardax su giugno 10, 2009

Una delle cose sicuramente più affascinanti nella matematica é come alcune idee, scoperte inizialmente per uno o più casi particolari, si siano nel tempo generalizzate, incastrandosi perfettamente, ad ogni generalizzazione, nell’impalcatura complessiva matematica.

Prendiamo ad esempio il caso dell’elevamento a potenza: quando viene insegnato ai ragazzi a scuola, viene esplicitamente detto che “a elevato alla b vuol dire a moltiplicato per se stesso b volte“. In simboli, questo equivale a dire che ab = a * a * … * a (dove a compare esattamente b volte, appunto). Notate come, mentre a puo’ assumere qualsiasi valore, in questa definizione b é implicitamente un numero intero positivo (ovvero, un numero naturale, escludendo lo zero).

Possiamo pensare di estendere questa definizione includendo anche lo zero: pero’, cosa vuol dire “a moltiplicato per se stesso zero volte“? Qui possiamo fare quel che viene tecnicamente detto “far quadrare i conti”: dare all’operazione a0 un valore convenzionale di modo che le proprietà dell’elevamento a potenza siano preservate. In particolare, pensiamo alla proprietà ab+c = ab * ac. Se c=0, il membro di sinistra vale esattamente ab, quindi a destra ac dovrà essere pari a 1. Poiché c é zero, possiamo dire che un numero elevato alla zero fa sempre uno (convenzionalmente).

Notiamo come ci stiamo allontanando dalla definizione intuitiva per rendere quest’operazione astratta, ma generale. Il passo successivo é ovviamente dare la possibilità a b di essere negativo: saltando i ragionamenti fatti sulle proprietà, si arriva ad affermare che ab (con b<0) = 1/a-b (ovvero il reciproco di a elevato alla –b). Qui ci stiamo completamente lasciando guidare dalla matematica: affermare “a moltiplicato per se stesso meno tre volte” non ha più alcun senso.

Una delle proprietà dell’elevamento a potenza, peraltro, é che abc = ab*c. Ricordiamoci poi la definizione di radice n-esima: la radice n-esima di un numero a é quel numero che, moltiplicato per se stesso n volte, dà come risultato proprio a. Scrivendo questa seconda proprietà in formule (l’immagine é presa da Wikimedia):

Ricollegandoci alla proprietà degli esponenziali, capiamo quindi che possiamo scrivere la radice ennesima di un numero come a1/n. Infatti, a(1/n)n = an/n = a1 = a. Adesso, quindi, possiamo anche scrivere il risultato di ab/c: la radice c-esima di a, elevata alla b. Abbiamo generalizzato la formula di partenza anche per un qualunque b razionale!

E questo non é ovviamente tutto: e se b fosse irrazionale (ad esempio, pi greco)? Bé, possiamo generalizzare la formula in modo che sia valida per qualunque numero reale b (non voglio esasperarvi: su Wikipedia, comunque, c’é un accenno a questa definizione). Poi possiamo passare ai numeri complessi, agli iperreali, ecc.

Oppure, potremmo pensare all’operazione: “a elevato a potenza b c volte” (operazione di tetrazione in matematica). Ma qui c é un numero intero! E se fosse un numero negativo? Bé, possiamo pensare che…


NB: l’ispirazione del post viene in parte da un capitolo de “La Strada che Porta alla Realtà” di Penrose, sia da un articolo di Odifreddi su un numero di “Le Scienze” di qualche tempo fa. Fra l’altro, abbiamo superato 5000 visite, ed io non posso neanche andare ad ubriacarmi per festeggiare visto che sto sotto esami. In ogni caso: grazie a tutti! 😀

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Anche I Botanici Possono

Posted by scardax su giugno 2, 2009

Lo studio delle funzioni é uno di quegli argomenti che, al Liceo, o si amano o si odiano. C’é chi davanti ad un seno ha un collasso, chi si diverte non poco a disegnarlo, e chi lo preferisce decisamente dal vivo. Ve li ricordate i bei vecchi tempi? “Dunque, il logaritmo é crescente, quindi… no, aspetta, questo ha base minore di uno… pero’ se lo integriamo su tutto l’asse positivo…“.

Ovviamente i matematici si son stufati in fretta delle funzioni semplici come si vedono a scuola: una volta disegnato il grafico, tutto il divertimento é finito. E’ molto più bello parametrizzarle: ad esempio, con y=cos(x) avete una sola funzione, ma se scrivete y=a*cos(x) avete infinite funzioni, una per ogni possibile valore di a (in particolare, infinite funzioni che differiscono fra loro per l’ampiezza)! Nel caso del coseno é semplice, ma parametrizzando un esponente già si ottiene un risultato migliore: con y=xa otteniamo una miriade di funzioni da studiare: una retta con a=1, una parabola con a=2 e cosi’ via.

E c’é anche chi ha voluto strafare. Ad esempio, nel 2003 un botanico belga, Johan Gielis, ha scoperto quella che é stata simpaticamente definita “la superformula”, capace, a seconda di sei diversi parametri, di far ottenere le figure più diverse. La sua formula, che puo’ spaventare, é la seguente (immagine presa da Wikimedia):

Una piccola precisazione é necessaria: questa formula non é espressa nella forma con coordinate cartesiane che molti conoscono, che associa ad ogni punto sull’ascissa un punto sull’ordinata, ma in coordinate polari: ovvero, ad ogni angolo del piano associa una distanza dal centro (rispettivamente, phi e rho nella formula). I parametri sono a, b, m, n1, n2 ed n3. Una serie di possibili forme ottenibili si trova al seguente link:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/Superformula.gif

Fine? Ancora no: moltiplicando opportunamente fra loro diverse “superformule”, si possono ottenere grafici non più in due sole dimensioni, ma in tre e (perché no) in quattro, cinque, sei… Un sacco di esempi in 3D sono al seguente link (da cui é anche possibile scaricare un programma per fare altri tentativi):

http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/supershape3d/

Ancora non si sa se questa formula racchiuda in sé qualche particolare segreto carpito alla Natura, quel che é certo é che (con tutto il rispetto) é uno straordinario perditempo per chi ha voglia di fare qualche tentativo cambiando i vari parametri.

Un grazie a Matematicamente.it per avermi fatto conoscere l’argomento del topic. Fra l’altro, reitero la richiesta di un po’ di tempo fa: c’é nessuno che mi segua dall’estero, disposto a farsi disturbare da qualche email per la gloria scientifica? Scrivete nei commenti.

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Camminando in una Spirale Infinita

Posted by scardax su novembre 17, 2008

Di tutti gli argomenti della Matematica, uno di quelli che sicuramente più intriga ed affascina allo stesso tempo é quello dei Frattali: quei misteriosi oggetti che mantengono la loro forma a qualunque ingrandimento, ripetendosi all’infinito ad ogni livello. L’esempio classico con cui si introducono é l’abete: il suo tronco da cui si dipartono i rami é simile al singolo ramo da cui partono rametti, che a sua volta é simile al singolo rametto da cui nascono le foglie, e cosi via.

La costruzione di un frattale é un’operazione un po’ particolare: a differenza della geometria classica, non si ha una funzione analitica che ci indica come sarà il risultato e che possiamo passare ad un programma di computer grafica: un qualcosa come (x+y)²=r² che indica una circonferenza, ad esempio, o y=x²+3x-4 che forma una parabola. Al contrario, abbiamo un algoritmo ciclico: una sequenza di passi da eseguire uno dopo l’altro non una sola volta, ma in continuazione, per ottenere il risultato. Dopo averlo applicato, dobbiamo applicarlo nuovamente sul risultato per ottenere un frattale di qualità maggiore, e possiamo ripetere il processo quante volte vogliamo per ottenere risoluzioni sempre migliori.

(Fra l’altro, si capisce perché i frattali sono una materia relativamente recente, di pochi decenni: era quasi impossibile disegnarli (o anche solo immaginarli) senza l’ausilio dei calcolatori elettronici).

Fra tutti i possibili frattali, quello che generalmente suscita più interesse é quello di Mandelbrot, la cui costruzione merita un po’ di attenzione. Come punto di partenza, consideriamo la successione:

fn+1 = fn² + c (con fn,fn+1 e c numeri complessi, cioé della forma a+ib, con i radice quadrata di -1).

Ovvero una successione in cui l’n+1 elemento é dato dal quadrato dell’n elemento (il precedente) più una costante c. Ad essere precisi, questa é una famiglia di successioni: a seconda di quale siano l’elemento iniziale f0 e la costante c, se ne ottiene una diversa. Ad esempio, con f0 = 1 e c=2+i, otteniamo {1; 3+i; -6+7i …}. In generale, la successione che si ottiene potrà essere limitata o divergente: limitata se i suoi valori sono sempre minori di un dato valore k, divergente se i suoi valori tendono ad infinito.

Bene: l’insieme di Mandelbrot é l’insieme dei valori di c per cui la successione risulta limitata (con f0 = 0). Qui sorge un problema tecnico leggermente fastidioso: come stabilire se una successione é limitata? Questo sembrerebbe richiedere l’analisi di un infinità di valori! Fortunatamente, abbiamo a disposizione alcuni criteri che ci dicono quando non é limitata: in questo caso, se il modulo di un dato fn (la radice quadrata di a²+b²) diventa maggiore di 2, sicuramente la successione é divergente. Ora, ricordandoci che é possibile disegnare i numeri complessi su un normale piano euclideo, considerando come ascisse ed ordinate rispettivamente la loro parte reale e la loro parte immaginaria (a e b), potremmo pensare di scrivere un programma per computer che esaminasse in sequenza vari c, e disegnasse mano mano l’insieme (o una sua ragionevole approssimazione). Risultato: un frattale!

Vi lascio guardarlo da soli tramite queste bellissime immagini: The Mandelbrot set.

Esistono anche altre maniere meno “matematiche” per ottenere un frattale, che coinvolgono generatori di numeri casuali: una delle più semplici é la cosiddetta Diffusion Limited Aggregation (DLA, sembra una malattia, lo ammetto). Il procedimento é questo: si parte da una particella al centro dello schermo, e:

  1. Si genera un’altra particella in un punto qualsiasi dello schermo.
  2. La si fa muovere in maniera casuale.
  3. Se tocca una particella presente sullo schermo, la si attacca nel punto in cui l’ha toccata. Altrimenti, se esce dallo schermo, non la si considera più.
  4. Si ricomincia dal punto 1.

Vederlo é più semplice che leggerlo: Applet sulla DLA (cliccate su Grow per cominciare la simulazione).

Una nota di servizio: questo post era nato come topic per il (piccolo ma in crescita) gruppo su Facebook Io Amo La Matematica. Chiaramente ve lo consiglio. Fra l’altro, se siete su FB potete anche iscrivervi al network di questo blog:

http://apps.facebook.com/blognetworks/blogpage.php?blogid=72075

Che, nel momento in cui scrivo, conta la bellissima cifra di 10 iscritti! Dieci persone che conosco e che mi leggono, mi commuovo.

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