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“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

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L’Universo su uno Spillo

Posted by scardax su marzo 10, 2011

Premettendo che i segreti di Fatima vengono rivelati con più rapidità di quanto io non aggiorni questo blog, oggi vi propongo un simpatico Gedankenexperiment che ho trovato nelle mie letture quotidiane. (Gedankenexperiment, termine che ho usato espressamente per rendere il tutto incredibilmente più pretenzioso, vuol dire “esperimento mentale” in Tedesco. E’ quello che succede dopo che vi fate una canna. No, molte canne.)

Obiettivo dell’esperimento è dimostrare che

Tutta la conoscenza umana puo’ essere raccolta sulla capocchia di uno spillo.

In parte, è simile a quanto avevamo già visto su L’Universo in un Numero. Cominciamo notando come tutto lo scibile umano, dai sonetti ai temi del liceo, è scritto usando poche decine di caratteri: lettere, numeri, spazi… (Se consideriamo anche le lingue ad ideogrammi, più di poche decine, ma il ragionamento rimane uguale). E’ possibile associare a ciascuno di questi caratteri un numero che lo identifichi univocamente, e trasformare qualsiasi testo in un numero (molto) lungo. Ad esempio, limitandoci a lettere senza accenti e seguendo la codifica ASCII, l’inizio di questo articolo puo’ essere riscritto come 080114101…

Ora, prendiamo tutto quanto scritto finora dall’uomo, calcoliamo i numeri corrispondenti, e concateniamoli uno di seguito all’altro. Otteniamo un nuovo numero molto, molto lungo. Per concludere, facciamolo precedere da uno zero e da una virgola. Quindi, supponendo che l’enciclopedia del sapere umano cominci con quest’articolo (i casi della vita), otterremmo:

0, 080114101…

Chiaramente, ad un numero simile possiamo sempre associare una frazione compresa fra 0 ed 1: ad esempio, in questo caso, poco superiore a 2/25. Ad una frazione, a sua volta, possiamo associare un rapporto di distanze.

Siamo finalmente pronti: prendete uno spillo, ed una penna con una punta infinitamente piccola (se la trovate). Tracciate, sulla capocchia dello spillo, un punto infinitamente piccolo (se ci riuscite) a poco più di 2/25 dalla cima rispetto al punto inferiore. Tutto il sapere umano è ora codificato univocamente dal vostro spillo!

(Nonostante tutto, temo avro’ comunque bisogno di un nuovo ripiano per la mia libreria.)

L’esperimento l’ho trovato originariamente, per quanto strano, su un libro di narrativa:  “The Gold Bug Variations” di Richard Powers. Ovviamente, essendo un libro stupendo, non è tradotto in Italiano.

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Io Ce l’Ho Più Grande

Posted by scardax su settembre 4, 2008

Ricordo con particolare divertimento quei litigi infantili che nascevano quando si mettevano di fronte due bambini tremendamente orgogliosi e competitivi, del tipo:

“Mio papà ha appena comprato una macchina superveloce!”
“Ah si? Il mio ne ha una cinque volte più rapida!”
“Papà sta per acquistarne una cento volte di più!”
“Una volta ne ha guidata una mille volte migliore!”
“Un milione!”
“Un miliardo!”
[Sguardi particolarmente incattiviti, eventualmente vola qualche pugno]

Ora, discussioni del genere si concludevano non tanto per particolari limiti fisici raggiunti da queste misteriosi automobili (che probabilmente, almeno nei numeri, avevano già superato il muro del suono ed approssimato paurosamente la velocità della luce), quanto perché si toccava una sorta di “tetto massimo” nell’immaginazione di grandi numeri che potevano avere i ragazzi. “Un miliardo” era molto prossimo ad infinito, quasi insuperabile. Un litigio cosi, credo, sarebbe molto più interessante se a confrontarsi fossero due fisici.

Ad esempio, il primo potrebbe urlare qualcosa come “la distanza percorsa dalla luce in dieci miliardi di anni più rapida!“, che é circa dieci miliardi alla seconda, un numero già abbastanza difficile da concepire. L’altro, colto nel vivo, potrebbe replicare “il numero di atomi nell’universo più veloce della tua!“. Una stima approssimativa di questa grandezza é circa 4 * 10^79, ovvero un numero con ben 70 zeri in più del miliardo! Direi che questo é il punto in cui anche i due fisici comincerebbero ad avere problemi su come continuare, e probabilmente inizierebbero a volare copie dei “Principia Mathematica” o del “Dialogo sopra i Massimi Sistemi del Mondo“.

Ma… e se fossero matematici a litigare? Li inizierebbe il divertimento! Si potrebbe tirare in ballo il “googol“, ovvero un uno seguito da un centinaio di zeri, o addirittura farsi prendere la mano ed osare il “googolplex“, un uno seguito da… un googol di zeri! Una tale grandezza non sarebbe esprimibile neanche se scrivessimo una cifra su ogni atomo dell’universo! Ma i matematici non hanno problemi di esagerazione: perché non tentare anche il mitico “Numero di Graham“? Ecco come costruirlo:

Generalmente, indichiamo con 3^3 il tre elevato alla terza, ovvero ventisette. Possiamo pero’ calcolare anche 3^^3, ovvero 3^(3^3) = 3^27, che é decisamente grande. A questo punto possiamo fare 3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^^(3^27), e sta già diventando inutile andare troppo oltre nei calcoli, visto che otteremmo solo trafile di cifre lunghissime. Ora consideriamo il numero 3^^^…^^^3, in cui ci sono esattamente… 3^^^^3 elevamenti a potenza! Grande? Immenso? Inutile? E’ solo l’inizio! Adesso dobbiamo pensare il numero 3^^^…^^^3, con tanti elevamenti a potenza quanto era il 3^^^…^^^3 calcolato in precedenza! Finita la pazzia? No! Dobbiamo ripetere questo processo ancora… 61 volte! Provate a pensare che un numero del genere é stato realmente usato in una dimostrazione matematica.

Come potrebbe contrattaccare il povero matematico posto di fronte a quest’immensità? Bé, probabilmente tirerebbe in gioco i numeri transfiniti… Ma questa é un’altra storia (e forse un altro post).

PS: la spiegazione su come costruire il numero di Graham l’ho tradotta da qui.

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