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La Tragedia delle Persone (non troppo) Razionali

Posted by scardax su ottobre 22, 2012

In questo blog ci siamo già interessati diverse volte alle tematiche della Teoria dei Giochi: abbiamo visto, tra le altre cose, quanto è complessa la cooperazione fra individui; abbiamo accennato “l’impossibilità” della democrazia; abbiamo scherzato sul populismo della politica. Tutti questi sono ovviamente esempi molto semplificati di problemi più complessi, ma apprezzarne le sfumature ci ha permesso di cogliere brevi rivelazioni su quella che poi è la vita reale. In fondo, comprendere i problemi è il primo passo, forse il maggiore, verso la loro risoluzione.

Vero è che la Teoria dei Giochi in certi casi non riesce a togliersi di dosso la sua patina di “uccello del malaugurio”. Vedersi confermati certi comportamenti egoistici sulla carta sembra a volte quasi peggio che osservare questi comportamenti nella vita reale. In questo senso, nulla è peggiore della cosidetta “tragedia dei beni comuni”, meglio conosciuta con il termine originale “tragedy of the commons”, che è poi una generalizzazione di quanto avevamo visto nel passato sul dilemma del prigioniero. In particolare, considerate una risorsa condivisa da numerose persone. Ciascuna di queste sa che uno sfruttamento intensivo della risorsa porterà al suo completo annichilimento, ma è nel loro interesse individuale portare avanti questo sfruttamento nel breve periodo. La teoria dei giochi ci dice che le persone continueranno a sfruttare la risorsa indipendentemente dal sapere perfettamente bene che questo sarà estremamente dannoso sul lungo periodo.

Come spiega l’economista Ken Binmore, questa è conoscenza popolare intimamente legata alle volte in cui vostra madre ha commentato “immagina se tutti facessero così”. La brutta notizia dell’economia è che, in mancanza di incentivi sufficientemente forti a deviare il proprio comportamento, tutti faranno esattamente così. L’aria delle città si inquinerà, il traffico aumenterà, la foresta Amazzonica scomparirà. E’ compito del legislatore sviluppare meccanismi per salvare tutte queste risorse: affidarsi unicamente al buon senso delle persone è, oltre che stupido, particolarmente dannoso e poco realistico.

Per apprezzare la dimostrazione di tutto ciò, vediamo qui una derivazione del problema originale con cui fu introdotta la tragedia dei beni comuni nel lontano 1968 da Garrett Hardin, esposizione che a mia volta riprendo dal testo Playing for Real del già citato Binmore.

Supponete di essere un matematico particolarmente talentuoso che il caso ha voluto vivere in un piccolo villaggio di campagna, nel quale è presente un terreno di circa un km² su cui pascolano le capre di 10 contadini. La produzione di latte (espressa in secchielli) di ciascuna capra dipende dalla quantità di erba che riesce ad avere per sé  ed in particolare segue una legge esponenziale rispetto alla frazione a di terreno a sua disposizione:

b = e^{1 - \frac{1}{10a}}

Se preferite visualizzarlo graficamente, la produzione di latte fa più o meno così:

Grafico Tragedia dei Beni Comuni

Espresso a parole, ogni capra produce un secchiello di latte avendo a disposizione un decimo di km² su cui pascolare, per poi decrescere fino a non produrre quasi più nulla. Poiché nel villaggio la vostra bravura matematica è piuttosto rinomata, vi viene chiesto di calcolare quante capre dovrebbe avere ciascun pastore per massimizzare la quantità M di latte prodotta complessivamente. Indicando con N questo numero di capre, poiché ciascuna capra avrà a disposizione uno spazio pari a 1/N,  immediatamente vi accorgete che la produzione complessiva è data da:

M = Nb = Ne^{1 - \frac{N}{10}}

Massimizzando tale funzione concludete quindi che sarebbe una buona idea far pascolare 10 capre, corrispondenti a 10 secchielli di latte, ovvero un secchiello ed una capra a testa per i vari contadini. Tutti i contadini annuiscono, ma visto che nessuno concede troppo ascolto ad un matematico, nessuno si cura di stabilire per iscritto niente. Tornati a casa, ciascun pastore scopre un’innata abilità matematica e si accorge che il proprio profitto è dato invece dalla seguente funzione:

m = gb = ge^{1 - \frac{g+G}{10}}

Che assomiglia molto a quella di prima, ma dove ora g sono le proprie capre e G le capre degli altri nove contadini. Ormai i pastori hanno imparato ad ottimizzare una funzione di questo tipo e scoprono quindi che, dato che gli altri pastori hanno già deciso quante capre comprare e G rimane fisso, il problema è lo stesso di prima e la soluzione ottimale è che essi stessi facciano pascolare 10 capre.

Tutti i pastori sono ugualmente bravi in matematica, ed il risultato sono 100 simpatici animali che si spintonano per dodici foglie d’erba, con una produzione complessiva di 0.012 secchielli di latte, che divisi sono 0.0012 secchielli a testa, mentre il resto del secchiello è riempito dal pianto di ciascun pastore che pensa a quanto era migliore la propria vita prima di scoprire le gioie della matematica.

Scherzi a parte, come sempre Wikipedia è un punto di partenza decente per approfondire la conoscenza di questo importantissimo risultato scientifico: http://en.wikipedia.org/wiki/Tragedy_of_the_commons.

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