6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

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Utopie Matematiche

Posted by scardax su gennaio 28, 2010

Nel 1951, a pochi anni dalla conclusione della Seconda Guerra Mondiale, l’americano Kenneth Arrow dimostro’ matematicamente un risultato che sconvolse l’intera comunità scientifica, e che gli valse in seguito anche il premio Nobel: nessun sistema di voto, egli disse, esistente o ancora da inventarsi, puo’ realmente considerarsi “giusto”; di conseguenza, nessuna democrazia potrà mai realmente dirsi “perfetta”, almeno in un senso classico del termine.

Da allora, questo teorema fu ripreso e frainteso infinite volte, fino ad entrare nell’immaginario collettivo di molte persone insieme ad altri teoremi “incapacitanti” simili come quello di Gödel. Ma cosa dimostro’ realmente Arrow?

Per capirlo, partiamo dall’inizio: cos’é un sistema di voto?

Un sistema di voto puo’ considerarsi come un qualcosa che fa corrispondere ad una serie di preferenze individuali (quelle di ogni cittadino) un’unica preferenza della società; e per poter essere considerato corretto, ovviamente, il sistema deve cercare di rispettare equamente ciascuna delle preferenze di partenza. Matematicamente parlando, supponiamo di avere un certo numero di candidati per un’elezione (C1, …, Cn). Ciascun elettore ha un proprio ordine di preferenza per questi candidati, ed in tutto vi sono m elettori. Se indichiamo con P(C) un possibile ordinamento dei candidati, possiamo definire un generico sistema di voto come una funzione che associa alle m preferenze degli elettori una singola preferenza (di società):

V: (P(C))^m \rightarrow P(C)

Qualunque sistema di voto che conoscete, in sostanza, puo’ essere descritto in questa maniera: dal più semplice “contare le preferenze in ciascuna posizione”, a modalità estremamente più complesse, questa formalizzazione cattura lo spirito della discussione. A questo punto, arriviamo al punto focale del dibattito: come possiamo definire “giusto” un sistema di voto? Quali proprietà esso deve possedere? Arrow ne scelse tre (potete divertirvi a formalizzarle rispetto a quanto detto prima):

  • Unanimità (o efficienza di Pareto): se tutti gli elettori preferiscono un candidato A ad un candidato B, allora anche nell’ordine risultante A sarà preferito a B.
  • Non Dittatorialità: non esiste un elettore le cui preferenze prevalgono sempre sugli altri, ovvero non esiste un elettore tale che il risultato del voto sia sempre uguale alle sue scelte personali.
  • Indifferenza delle Alternative: se A é preferito a B dati un certo numeri di candidati, introdurne di nuovi non cambierà questa preferenza (ovvero, non é possibile che un candidato perda contro tre concorrenti, ma vinca se vi si aggiunge un quarto).

Ed eccoci infine al risultato: Arrow dimostro’ che, se vi sono almeno due elettori e tre candidati, non esiste nessuna funzione matematica che soddisfi queste tre condizioni insieme!

Da qualunque lato lo si guardi, é comunque un teorema sconfortante, in quanto dimostra che una votazione, nonostante la sua facilità di descrizione, é un problema estremamente complesso e difficile da analizzare (e da progettare). Sembra che, comunque vadano le cose, dobbiamo accontentarci di un sistema non ottimale. Ovviamente, un risultato matematico é valido nei limiti in cui sono valide le premesse. In particolare, in che misura deve essere realmente verificata la terza condizione? E’ proprio vero che un candidato nuovo non possa modificare le mie preferenze individuali? E soprattutto, é proprio vero che io debba avere un ordine completo di tutti i candidati in testa?

Per una rapida discussione su questi problemi, potete tranquillamente cominciare dalla pagina di Wikipedia (e dai suoi links):
http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow’s_impossibility_theorem

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Tartarughe e Guerrieri

Posted by scardax su settembre 15, 2009

I paradossi sono sempre stati fonti di audience per un blog che si rispetti, e chi sono io per sottrarmi alle dure leggi del mercato?

In molti conoscono il famoso paradosso di Achille e della Tartaruga, formulato dal greco Zenone assieme ad altri tre per esporre la non esistenza del moto: Achille gareggia con la Tartaruga in una gara di velocità, concedendole un piccolo vantaggio. Purtroppo, proprio a causa di questo vantaggio si ritrova nell’impossibilità di raggiungerla: nel tempo che impiega a percorrere l’intervallo che lo separa alla partenza dalla Tartaruga, questa avrà percorso un altro tratto, più piccolo, e nel tempo che Achille impiega a percorrere questo secondo tratto, la Tartaruga ne percorrerà un terzo, e cosi’ via ad infinitum

Meno conosciuto, ma altrettanto intrigante, é un altro paradosso che coinvolge questi due strambi personaggi, formulato da Lewis Carroll e poi ripreso in tempi più recenti da numerosi autori cognitivisti, quali Hofstadter e Pinker. La Tartaruga fa prendere ad Achille un blocco notes ed una penna, quindi gli fa scrivere le seguenti tre frasi (tratte dagli Elementi di Euclide):

  1. Cose che sono uguali ad una terza sono uguali fra loro.
  2. Due lati di questo triangolo sono uguali ad una stessa cosa.
  3. I due lati sono uguali fra loro.

La Tartaruga inizialmente convince Achille che, se si accettano per vere le proposizioni a e b, si deve concludere “logicamente” che anche la c é vera. Quindi, si dissocia dal suo stesso ragionamento, asserendo che, fra la proposizioni da accettare, dovrebbe essere presente anche “Se a é vera e b é vera, allora c é vera”. Achille ammette che ha ragione, e la aggiunge fra le frasi del suo blocchetto:

  1. Cose che sono uguali ad una terza sono uguali fra loro.
  2. Due lati di questo triangolo sono uguali ad un altro lato.
  3. I due lati sono uguali fra loro.
  4. Se a é vera e b é vera, allora c é vera.

A questo punto, commenta Achille, bisogna concluderne per forza che la c é vera. Ma la Tartaruga si oppone nuovamente: anche la d deve essere presa per vera! E’ quindi necessario aggiungere un’ulteriore frase:

  1. Cose che sono uguali ad una terza sono uguali fra loro.
  2. Due lati di questo triangolo sono uguali ad un altro lato.
  3. I due lati sono uguali fra loro.
  4. Se a é vera e b é vera, allora c é vera.
  5. Se a é vera e b é vera e d é vera, allora c é vera.

Non ci vuole un genio per capire che questo ragionamento é iterativo: la Tartaruga fa aggiungere ad Achille milioni di proposizioni del tipo “Se a é vera e b é vera e d é vera ed e é vera e… allora c é vera”, e non sembra esserci modo di poter arrivare ad una conclusione definitiva!

Qual’é il problema qui? Già, qual é il problema? E che, devo dirvi tutto io?
Vediamo chi é il primo a spiegarlo con chiarezza! 😀

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Obiettivi Sempre Meno Credibili

Posted by scardax su luglio 24, 2009

Nonostante problemi vari di connessione, sono riuscito a scrivere un piccolo articolo anche sul secondo problema di Hilbert, la consistenza dell’Aritmetica:

https://seipernove42.wordpress.com/consistenza-dellaritmetica/

Come sempre, qualunque commento é ben gradito! 🙂

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… Ed Al Cuore Giungeranno

Posted by scardax su gennaio 27, 2009

E dopo qualche giorno di pausa, riprendiamo il viaggio all’interno del Sistema Solare insieme ai nostri amici Valturiani. Lasciatosi alle spalle il blu di Nettuno, ecco presentarsi davanti a loro la sua copia quasi scolorita, di un celeste chiarissimo, quasi ciano: Urano. Simile in dimensione, e simile anche in quanto a satelliti: ventisette piccole lune che gli orbitano attorno, strette attorno all’equatore. Anche in questo caso, scendere sulla sua superficie non porterebbe a molto: come tutti i giganti gassosi, al suo interno ci sono quasi esclusivamente rocce ed un po’ di ghiaccio, con una temperatura di poche decine di gradi superiore allo zero assoluto, non di certo ospitale. Una cosa vale comunque la pena di osservare prima di lasciarlo, commentano a bordo dell’astronave: Urano ha la particolarità di avere un asse di rotazione non perprendicolare al piano della sua orbita, come gli altri, ma parallelo. Niente di che, solo una particolarità.

Ma lo spettacolo comincia ora (anche se alcuni potrebbero obiettare che i pianeti non sono certo allineati, e vederli uno dopo l’altro come in fila é quantomeno irrealistico. Ma suvvia: volete che degli alieni provenienti da anni luce di distanza si preoccupino di fare qualche milione di chilometri di deviazioni?). Dopo Urano, ecco uno dei capolavori di questo sistema: Saturno. Saturno, con le sue fasce di vario colore sulla sua superficie, con i suoi sette anelli leggermente inclinati e con i suoi cinquanta, forse più, piccoli satelliti che impazziti sfrecciano intorno alla sua superficie. Una meraviglia che le parole difficilmente riescono a descrivere, quindi niente di meglio che atterrare su uno dei suoi satelliti, Titano magari, ed osservarlo in silenzio. Certo, da vicino un po’ della magia si perde, perché gli anelli risultano per quello che sono: corpi di ghiaccio di circa un chilometro ciascuno, ma abbastanza ravvicinati da sembrare continui dal di fuori. Ma nessuno oserebbe mai far notare una cosa cosi’ in un simile momento. Qualche attimo di contemplazione, e poi si riparte.

Ed all’avvicinarsi del prossimo pianeta, non importa da quanto lontano arrivino i nostri amici, un po’ di rispetto per questo gigante del cielo, per questa stella mancata, indubbiamente lo proveranno: Giove, migliaia di volte più grande che qualunque altro pianeta nel sistema, di un grigio mastodontico. Da lontano si possono vedere le tempeste agitare la sua superficie provocando nubi cicloniche in continuo movimento: la rabbia ancora non conclusa di un gigante che voleva essere una stella. Il viaggio continua, ma i piloti dell’astronave faranno meglio a restare concentrati: perché dopo Giove orbitano migliaia e migliaia di piccoli asteroidi che in epoche oramai dimenticate cercarono di unirsi a formare un pianete ma non ci riuscirono, ed ora si sfogano colpendo qualunque cosa abbia l’ardire di transitare in quella porzione di cielo che sarebbe dovuta essere loro.

Ma i valturiani sono impazienti di continuare, perché il prossimo pianeta, seppure minuscolo al confronto di Giove, seppur quasi insignificante, si fa notare per il suo rosso intenso, quasi un faro nella notte. Sono arrivati su Marte. Da un pianeta del genere ci si aspetterebbe di più di quello che in realtà si vede scendendo sulla sua superficie: infiniti deserti rossi, sterminate distese di rosso intervallate qua e là da qualche cratere da meteorite o da un vulcano. Marte possiede i vulcani più grandi del sistema, decine di chilometri di altezza, ed una temperatura mite, quasi venti gradi d’estate (ma chissà se per i Valturiani questa non sia una temperatura da inferno.). Forse la prima impressione del suolo di Marte é stata ingiusta: esso regala anche bellissimi ed immensi Canyon, per non parlare dei Geyser. Ancora un’occhiata, e poi si riparte, perché di pianeti ne mancano ancora tre.

Ed eccoli arrivati alla Terra, infine. Tutti i colori dell’Universo si sono riuniti sotto la sua atmosfera: blu, marrone, verde, bianco… Con un po’ di slalom fra tutti gli oggetti metallici che le orbitano attorno (sintomi di una civiltà che freme di partire), i Valturiani riescono ad avvicinarsi al suo suolo. Ma quello che vedono, penso lo conosciate un po’ tutti, quindi permettetemi di saltare un po’ avanti verso la prossima tappa del viaggio. Una tappa che é quasi un ritorno indietro nel passato: perché il pianeta dopo, Venere, é simile alla Terra in dimensione, massa, atmosfera, ma é in una tappa della sua evoluzione che la Terra ha già passato da milioni di anni. Il suolo di Venere é nascosto dall’esterno da un’atmosfera densa di nubi che hanno anche riscaldato moltissimo il pianeta, lasciandolo desertico e senza vita. Niente anelli, niente satelliti.

E stessa cosa anche per il pianeta dopo, Mercurio: scuro, grigio, piccolino, senza niente che gli orbiti attorno. Di certo non il più attraente del Sistema. Un pianeta che ha la faccia rivolta verso il Sole calda come l’interno di un vulcano, e l’altra parte gelida. Se non é attraente, di certo non é neanche ospitale. Ed il viaggio si conclude qua, alzando lo sguardo e finalmente vedendo da vicino il Sole, la stella di questo Sistema, il centro di tutti i pianeti visti finora. Rosso, ribollente, agitato, immenso: gli aggettivi si sprecano a descriverlo. Un’ultima occhiata, motori al massimo, e i nostri amici ci salutano per tornare da dove venivano.

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E Dai Confini Arriveranno…

Posted by scardax su gennaio 20, 2009

La fantasia, si sa, é una gran cosa. Ci permette di riassemblare esperienze già vissute, o solo conosciute, per reinventarne di nuove, di più belle, di diverse, di più vive. Ci permette di risolvere problemi, a volte ce ne crea, ma il più delle volte la adoperiamo solo come rifugio, come bunker contro le insidie di questa realtà che a volte non ci piace. “Fuggire con la fantasia“. “Viaggiare con la fantasia“. E questa, bé, questa é la storia di uno di quei viaggi, di alcuni visitatori di altre stelle, visitatori proveniente da chissà quale Galassia, in viaggio per il nostro Sistema Solare, in cui tanto orgogliosamente abitiamo, e di cui decantiamo le bellezze e che purtroppo non vedremo mai per intero con i nostri occhi.

Generalmente pensiamo che il Sistema Solare finisca laddove finiscono i pianeti, ma questo é ben lontano dalla verità. In effetti, se pensiamo al Sistema Solare come quella regione in cui l’attrazione gravitazionale del Sole é presente e si fa sentire, i suoi confini devono essere spostati più in là, molto più in là dell’ultimo corpo celeste da noi definito pianeta. Il viaggio dei nostri amici, chiamiamoli “Valturiani” (e spero che il gioco di parole sia chiaro, senza pur far pubblicità esplicita a nessuno), comincia in questo senso a circa un anno luce e mezzo dal Sole (per dare l’idea, la Terra ne dista solo otto minuti luce), dove l’attrazione gravitazionale é debole, il vento solare impercettibile, e lo spazio pieno di nuclei inerti di possibili comete, che visti da molto lontano formano quella che viene chiamata Nube di Oort. Piccoli oggetti di circa 1.5 km di diametro, composti prevalentemente di metano, etano, monossido di carbonio, che orbitano indifferenti lungo circonferenze attorno al Sole i cui raggi sono tanto grandi da risultarci incomprensibili. Miliardi di questi “sassi”, distanziati fra loro decine di milioni di chilometri, ed ogni tanto uno di questi si stacca dalla sua orbita per dare origine ad una delle tante comete che, di quando in quando, passano sopra la nostra testa facendoci esclamare strabiliati “Whau!”, e facendoci diventare tutti astronomi, seppur per una sera, seppur per un pomeriggio.

Non illuminati a sufficienza dalla debole luce del sole, cosi’ infinitamente lontani l’uno dall’altro, di certo questi frammenti di roccia sono ben poco interessanti per i Valturiani, quindi guardiamoli continuare il loro viaggio nel vuoto non troppo vuoto fino a quando, a circa 40 volte la distanza che separa la Terra dal Sole, si ritroverebbero nuovamente circondati (anche se circondati, per le distanze che consideriamo, puo’ sembrare un termine quasi paradossale) da piccolissimi corpi celesti, questa volta composti prevalentemente di ghiaccio e di dimensione variabile: dai sassi talmente piccoli da non poter neanche scalfire una corazza fino a sfere di diverse decine di km di raggio che formano quelli che vengono detti “pianeti nani“: sono entrati in quella che chiamiamo Fascia di Kuiper. E’ in questa fascia che, con un’orbita leggermente inclinata rispetto ai pianeti del Sistema Solare, orbita Plutone, che pochi anni fa é stato declassato da pianeta a “pianetino”, ma che ha almeno la consolazione di non correre da solo la sua lunghissima maratona attorno al Sole: in effetti orbita continuamente attorno ad un altro pianeta nano, Caronte, che a sua volta orbita attorno a lui. Vedere (con cosa, direte voi? Con che luce? Ma questa é fantasia, ricordate) questi due fratelli dello Spazio rincorrersi la coda a vicenda mentre volano sopra il resto del Sistema Solare potrebbe forse commuovere anche i poeti più di pietra di questi incredibili Valturiani, ma le emozioni, si sa, sono appena cominciate.

Dopo più o meno un centinaio di minuti luce, eccoli giungere in prossimità del pianeta più lontano del Sistema Solare, il primo della loro visita, Nettuno: un disco dal forte colore blu (ma vedranno i colori questi alieni?), ghiacciato, molto più grande di tutto quello che hanno incontrato fino a questo momento (é il quarto pianeta più grande del Sistema Solare), circondato da minuscoli satelliti, forse dodici, forse più, che continuamente gli ruotano attorno in un vorticare di palline di roccia. Forse qualcuno dei nostri amici, a bordo dell’astronave, chiederà di poter scendere: in fondo, non hanno forse pagato un biglietto per un’esplorazione completa di questo Sistema? Ma scendere su Nettuno non é certo consigliabile: a terra é più freddo di un cuore spezzato da tempo, e il vento spazza il suolo con raffiche di oltre 2000 km all’ora: per fare onore al Dio del mare dal cui nome ha preso il suo.

E cosi’, alcuni strabiliati da quel blu cosi’ intenso, alcuni un po’ amareggiati per passar cosi’ vicino a questa meraviglia e non poterla esplorare da ancor più  vicino, eccoli che ripartono, questi Valturiani, questi amici, per avvicinarsi un po’ più a quella sfera di luce che alcuni, un po’ più in là, chiamano Sole. Quali altre meraviglie vedranno?

Ma lo spazio é tiranno, il post é finito, e la crociera, il viaggio, la nostra fuga, per il momento, non me ne vogliate, finisce qui.

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