6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

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L’Universo su uno Spillo

Posted by scardax su marzo 10, 2011

Premettendo che i segreti di Fatima vengono rivelati con più rapidità di quanto io non aggiorni questo blog, oggi vi propongo un simpatico Gedankenexperiment che ho trovato nelle mie letture quotidiane. (Gedankenexperiment, termine che ho usato espressamente per rendere il tutto incredibilmente più pretenzioso, vuol dire “esperimento mentale” in Tedesco. E’ quello che succede dopo che vi fate una canna. No, molte canne.)

Obiettivo dell’esperimento è dimostrare che

Tutta la conoscenza umana puo’ essere raccolta sulla capocchia di uno spillo.

In parte, è simile a quanto avevamo già visto su L’Universo in un Numero. Cominciamo notando come tutto lo scibile umano, dai sonetti ai temi del liceo, è scritto usando poche decine di caratteri: lettere, numeri, spazi… (Se consideriamo anche le lingue ad ideogrammi, più di poche decine, ma il ragionamento rimane uguale). E’ possibile associare a ciascuno di questi caratteri un numero che lo identifichi univocamente, e trasformare qualsiasi testo in un numero (molto) lungo. Ad esempio, limitandoci a lettere senza accenti e seguendo la codifica ASCII, l’inizio di questo articolo puo’ essere riscritto come 080114101…

Ora, prendiamo tutto quanto scritto finora dall’uomo, calcoliamo i numeri corrispondenti, e concateniamoli uno di seguito all’altro. Otteniamo un nuovo numero molto, molto lungo. Per concludere, facciamolo precedere da uno zero e da una virgola. Quindi, supponendo che l’enciclopedia del sapere umano cominci con quest’articolo (i casi della vita), otterremmo:

0, 080114101…

Chiaramente, ad un numero simile possiamo sempre associare una frazione compresa fra 0 ed 1: ad esempio, in questo caso, poco superiore a 2/25. Ad una frazione, a sua volta, possiamo associare un rapporto di distanze.

Siamo finalmente pronti: prendete uno spillo, ed una penna con una punta infinitamente piccola (se la trovate). Tracciate, sulla capocchia dello spillo, un punto infinitamente piccolo (se ci riuscite) a poco più di 2/25 dalla cima rispetto al punto inferiore. Tutto il sapere umano è ora codificato univocamente dal vostro spillo!

(Nonostante tutto, temo avro’ comunque bisogno di un nuovo ripiano per la mia libreria.)

L’esperimento l’ho trovato originariamente, per quanto strano, su un libro di narrativa:  “The Gold Bug Variations” di Richard Powers. Ovviamente, essendo un libro stupendo, non è tradotto in Italiano.

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Piccoli Giochi Crescono

Posted by scardax su ottobre 6, 2008

Esiste un modo estremamente rigoroso per misurare la “noiosità” di una qualche lezione universitaria: il numero di partite a Tris che siete disposti a giocare prima di stufarvi anche di quello. Sotto i cinque, probabilmente la lezione non é cosi noiosa. Sotto i dieci, indubbiamente facevate meglio a restare a casa. Sotto le venti, forse é ora che riconsideriate la vostra vita. Il Tris é sicuramente uno dei passatempi più semplici da giocare: quattro linee su un foglio di carta, niente di più. Dopo un po’, pero’, si tende a stufarsi in quanto si ha la sensazione di stare rigiocando, più o meno, sempre le solite partite, facendo sempre le stesse mosse.

Ed allora la domanda é: quante possibili partite si possono effettuare a Tris? Un modo per cominciare a farsene un’idea é quello di pensare: al primo turno, il giocatore 1 ha a sua disposizione 9 possibili mosse (una per ogni quadrato della griglia), mentre il giocatore 2, successivamente, ne avrà 8 (9 meno il quadrato in cui il primo giocatore ha disegnato il suo cerchietto o la sua croce), e cosi via finché la griglia non si riempie. Quindi, in tutto si dovrebbero avere 9 * 8 * … * 1 = 9! = 362 880 partite diverse. Questo numero sembra esagerato, ed in effetti nel nostro ragionamento ci sono svariate “falle”: prima di tutto, non é necessario che la griglia si riempia, visto che un giocatore potrebbe vincere anche solo in cinque turni, lasciando quindi quattro caselle vuote.

Eliminando queste partite impossibili (un conto per cui vi rimando ai links a fine post), ce ne rimangono 255 168. Ancora troppo alto? Naturalmente possiamo raffinare il conto tenendo presente le varie simmetrie della griglia. Ad esempio, pensiamo alle possibili mosse iniziali: giocare in uno dei quattro angoli del quadrato (in alto a sinistra, in basso a destra e cosi via) dà il via a quattro alberi di possibili partite uguali fra loro, ma semplicemente ruotati di 90°, 180° o 270°: in effetti, le possibili aperture non simmetriche fra loro non sono 9, ma tre: centro, angolo, oppure lato centrale. Eliminando anche queste simmetrie, le possibili partite si riducono (a seconda della definizione che diamo di simmetria) a 26 830 oppure 31 896. Tante, non é cosi? In effetti il Tris, nonostante la sua assoluta semplicità e compattezza, permette di passare diverse settimane di gioco prima di essere riusciti a provare tutte le diverse partite (anche se, in questo conto, permangono comunque partite sostanzialmente dementi, in cui quando il nostro avversario sta per fare Tris non facciamo nulla, oppure, viceversa, non lo facciamo noi quando ne abbiamo l’opportunità).

Ci si potrebbe chiedere cosa accade con un gioco nettamente più complicato come gli Scacchi, in cui (per esempio) solo le mosse d’apertura possibili sono 20. Fare un calcolo preciso come prima risulta essere praticamente impossibile, ma gli esperti sono riusciti a trovarne un numero minimo (nonostante molto probabilmente la realtà sia maggiore): 10120, anche chiamato Numero di Shannon: un numero addirittura maggiore degli atomi nell’Universo. Metaforicamente parlando, sembra proprio vero che gli Scacchi siano un gioco… infinito!

Fonti:

Tic-Tac-Toe su btinternet.com
Numero di Shannon su lestinto.it

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Sempre di Più

Posted by scardax su settembre 8, 2008

Spesso ci si stupisce di come concetti che a noi sembrano tremendamente ovvii potessero essere, in un qualche tempo remoto, neanche lontanamente compresi. L’esempio sicuramente più celebre é quello dei numeri: oggi nessuno ha difficoltà a capire il significato di “passami un quarto di torta” (o di sue strane varianti come “passami uno 0.25 di torta“), eppure quando la Matematica muoveva i suoi primi, neanche troppo timidi, passi, i numeri erano solo quelli che oggi chiamiamo Naturali: 1,2,3… Anche lo zero era ben lontano dalla sua comparsa!

Poi, pian piano, l’insieme dei numeri si é andato ampliando, andando ad includere numeri negativi (-2,-7), numeri razionali (le frazioni, ovvero numeri nella forma n/m) ed infine irrazionali (ovvero con uno sviluppo decimale infinito che non diventa mai periodico, come la radice quadrata di due), arrivando cosi al cosiddetto insieme dei Numeri Reali. Eppure, nonostante la nostra concezione “naturale” di numero si fermi qui, i matematici hanno fatto altri passi avanti: si é scoperto che si puo’ ulteriormente ampliare l’insieme arrivando a quello che é stato chiamato l’insieme dei numeri iperreali, comprendente anche gli infinitesimi, ovvero numeri più piccoli di ogni altro numero ma ancora maggiori di zero (ed anche i loro reciproci, ovvero numeri più grandi di qualunque reale, quelli che generalmente vengono chiamati infiniti).

Ma questo é solo l’inizio. Posizionando tutti questi numeri su un foglio, ci accorgiamo che possiamo tranquillamente segnarli tutta su una retta (continua se consideriamo solo i reali, discontinua nel caso degli iperreali): ovvero, sono tutti in una dimensione. Perché mai limitarsi in questa maniera? Da tempo oramai sono conosciuti i numeri complessi, formati da due componenti: una parte reale, ed una parte immaginaria, ovvero un multiplo dell’unità immaginaria i, la radice quadrata di meno uno. La loro storia é affascinante: all’inizio ci si stupi’ di queste ‘creature’, ed il loro nome (immaginari) ricalca questa visione, di una semplice costruzione mentale che non rispecchia nulla di naturale. Eppure, sempre più spesso questi ricorrevano in calcoli fisici, ed oggi non sono considerati meno reali di qualunque altro numero!

Nessuno vieta di ampliare ancora le dimensioni, ma questi numeri che si ottengono risultano via via sempre meno utili: i quaternioni (formati da quattro componenti), sono usati principalmente per la grafica vettoriale sul pc (almeno per mia conoscenza), mentre gli ottetti (otto dimensioni) ed i sedenioni sono praticamente non considerati. Questo probabilmente é dovuto al fatto che, man mano che si va avanti, si perdono delle proprietà considerate fondamentali: i quaternioni, ad esempio, non sono commutativi, ovvero scrivere a*b non é uguale a scrivere b*a. Ancora peggio: esistono due sedenioni diversi da zero che, moltiplicati… danno come prodotto zero! E’ chiaro che davanti a tali situazioni i matematici provino lo stesso “orrore” che provarono coloro che definirono numeri come pigreco “irrazionali”, o la radice di meno uno “immaginaria”. Chi puo’ dire che in futuro non saranno accettati e ci si stupirà di come noi li consideravamo “strani”?

PS: l’idea per questo post mi é venuta da un vecchio post di xmau, che pero’ non trovo più.

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Io Ce l’Ho Più Grande

Posted by scardax su settembre 4, 2008

Ricordo con particolare divertimento quei litigi infantili che nascevano quando si mettevano di fronte due bambini tremendamente orgogliosi e competitivi, del tipo:

“Mio papà ha appena comprato una macchina superveloce!”
“Ah si? Il mio ne ha una cinque volte più rapida!”
“Papà sta per acquistarne una cento volte di più!”
“Una volta ne ha guidata una mille volte migliore!”
“Un milione!”
“Un miliardo!”
[Sguardi particolarmente incattiviti, eventualmente vola qualche pugno]

Ora, discussioni del genere si concludevano non tanto per particolari limiti fisici raggiunti da queste misteriosi automobili (che probabilmente, almeno nei numeri, avevano già superato il muro del suono ed approssimato paurosamente la velocità della luce), quanto perché si toccava una sorta di “tetto massimo” nell’immaginazione di grandi numeri che potevano avere i ragazzi. “Un miliardo” era molto prossimo ad infinito, quasi insuperabile. Un litigio cosi, credo, sarebbe molto più interessante se a confrontarsi fossero due fisici.

Ad esempio, il primo potrebbe urlare qualcosa come “la distanza percorsa dalla luce in dieci miliardi di anni più rapida!“, che é circa dieci miliardi alla seconda, un numero già abbastanza difficile da concepire. L’altro, colto nel vivo, potrebbe replicare “il numero di atomi nell’universo più veloce della tua!“. Una stima approssimativa di questa grandezza é circa 4 * 10^79, ovvero un numero con ben 70 zeri in più del miliardo! Direi che questo é il punto in cui anche i due fisici comincerebbero ad avere problemi su come continuare, e probabilmente inizierebbero a volare copie dei “Principia Mathematica” o del “Dialogo sopra i Massimi Sistemi del Mondo“.

Ma… e se fossero matematici a litigare? Li inizierebbe il divertimento! Si potrebbe tirare in ballo il “googol“, ovvero un uno seguito da un centinaio di zeri, o addirittura farsi prendere la mano ed osare il “googolplex“, un uno seguito da… un googol di zeri! Una tale grandezza non sarebbe esprimibile neanche se scrivessimo una cifra su ogni atomo dell’universo! Ma i matematici non hanno problemi di esagerazione: perché non tentare anche il mitico “Numero di Graham“? Ecco come costruirlo:

Generalmente, indichiamo con 3^3 il tre elevato alla terza, ovvero ventisette. Possiamo pero’ calcolare anche 3^^3, ovvero 3^(3^3) = 3^27, che é decisamente grande. A questo punto possiamo fare 3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^^(3^27), e sta già diventando inutile andare troppo oltre nei calcoli, visto che otteremmo solo trafile di cifre lunghissime. Ora consideriamo il numero 3^^^…^^^3, in cui ci sono esattamente… 3^^^^3 elevamenti a potenza! Grande? Immenso? Inutile? E’ solo l’inizio! Adesso dobbiamo pensare il numero 3^^^…^^^3, con tanti elevamenti a potenza quanto era il 3^^^…^^^3 calcolato in precedenza! Finita la pazzia? No! Dobbiamo ripetere questo processo ancora… 61 volte! Provate a pensare che un numero del genere é stato realmente usato in una dimostrazione matematica.

Come potrebbe contrattaccare il povero matematico posto di fronte a quest’immensità? Bé, probabilmente tirerebbe in gioco i numeri transfiniti… Ma questa é un’altra storia (e forse un altro post).

PS: la spiegazione su come costruire il numero di Graham l’ho tradotta da qui.

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