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La Matematica dell’Amore

Posted by scardax su gennaio 4, 2012

Nel 1960 il fisico Ungherese Wigner (poi naturalizzato Statunitense) attirò l’attenzione del mondo con il suo articolo sull’«irragionevole efficacia della matematica» nelle scienze naturali, espressione che da allora viene spesso citata parlando del potere della matematica nel modellare i fenomeni che ci circondano. Un potere che, secondo lo stesso Wigner, sconfinava con il miracoloso,  visto come alcuni modelli, formulati inizialmente a partire da pochi aspetti di un problema, riescono poi ad estendersi ben oltre il contesto originario, arrivando a spiegare e confermare altri e sempre più numerosi aspetti dello stesso problema.

A questo si aggiunge poi spesso un secondo, apparente miracolo: il fatto che certe teorie, sviluppate per il solo gusto di esplorare i confini della matematica, riescano poi a trovare una perfetta applicazione nel mondo reale: dalle geometrie non euclidee (utilizzate da Einstein nella sua teoria della relatività), all’algebra di Boole, diventata oggi una delle fondamenta dell’informatica. E proprio dal legame fra modelli matematici e realtà scaturiscono le varie scuole di pensiero della matematica, dal Platonismo (i modelli matematici esistono indipendentemente da noi e dal nostro mondo), al Costruttivismo, per cui esistono solo quelle entità che possiamo effettivamente “costruire”, passando per una miriade di altre idee che lasciamo tranquillamente spiegare a Wikipedia.

Oggi celebriamo questo stesso potere della matematica (ed il 2012, e le 17000 visite che ci ha portato l’anno scorso) in un modo particolare: voglio mostrarvi un esempio umoristico di modellazione matematica, che rubo ad un famoso libro del 1994 sulla teoria del Caos (Nonlinear Dynamics And Chaos). Mi scuso fin da subito con chi non riuscirà a seguire il simbolismo (che si basa solo su concetti base dell’analisi matematica), ma spero che anche questi non si perdano d’animo e riescano comunque a cogliere il succo ironico dell’intero discorso.

Infatti oggi modelleremo… l’amore! O, meglio, modelliamo l’evoluzione del sentimento reciproco di due innamorati, che chiameremo con la solita fantasia che ci contraddistingue, A e B.

Cominciamo da un caso specifico: A è innamorato di B, ma più il suo sentimento cresce, più B si spaventa e fugge. Quando però A si stufa, B ricomincia a sentire dell’attrazione per lui. A invece evolve al contrario: il suo sentimento aumenta quando aumenta quello di B, e viceversa. Vi ricorda qualcosa? Mi spiace. Definiamo due funzioni per modellare i sentimenti reciproci:

A(t) = amore di A per B al tempo t
B(t) = amore di B per A al tempo t

Dove un valore positivo di A(t) significa amore, mentre un valore negativo significa odio. A questo punto, e basandoci sulla nostra descrizione, il modello è estremamente semplice da ricavare:

\dot{A}(t) = \alpha B(t)
\dot{B}(t) = -\beta A(t)

Dove \alpha e \beta vanno scelti in accordo con i particolari amanti che si stanno considerando, e \dot{A} indica la derivata di A rispetto al tempo, seguendo la notazione convenzionale della fisica (la derivata è una sorta di misura del tasso di cambiamento della funzione che si sta considerando). La conclusione qual è? Analizzando il sistema, scopriamo che l’unico risultato possibile è un circolo vizioso di amore ed odio, nel quale i due innamorati vengono ricambiati solo un quarto del tempo, odiandosi a vicenda nel restante 75%. Vi ricorda qualcosa anche questo? La matematica è spietata.

Prima abbiamo parlato della capacità di generalizzare a partire dal modello di partenza. Come si applica in questo caso? Una semplice generalizzazione che può venire in mente analizzando le due equazioni è:

\dot{A}(t) = \alpha A(t) + \beta B(t)
\dot{B}(t) = \gamma A(t) + \delta B(t)

In pratica, ora l’amore di A e B è una combinazione dell’amore di entrambi e non solo dell’amore del partner. Il bello è che questo modello ci permette di identificare numerose tipologie di innamorato, a seconda della scelta dei parametri: qualcuno con a, b > 0 , che Strogatz chiama “eager beaver”, vedrà il suo amore aumentare in proporzione all’amore dell’altro, ma sarà eccitato anche dal proprio stesso sentimento. Al contrario, un “innamorato cauto” (a < 0 e b > 0 ) sarà spaventato dai propri stessi sentimenti.

Come interagiscono fra loro questi innamorati? Bè, sapete benissimo come si concludono tutti questi esercizi: potete scoprirlo voi. 🙂

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