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“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

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La Matematica dell’Amore

Posted by scardax su gennaio 4, 2012

Nel 1960 il fisico Ungherese Wigner (poi naturalizzato Statunitense) attirò l’attenzione del mondo con il suo articolo sull’«irragionevole efficacia della matematica» nelle scienze naturali, espressione che da allora viene spesso citata parlando del potere della matematica nel modellare i fenomeni che ci circondano. Un potere che, secondo lo stesso Wigner, sconfinava con il miracoloso,  visto come alcuni modelli, formulati inizialmente a partire da pochi aspetti di un problema, riescono poi ad estendersi ben oltre il contesto originario, arrivando a spiegare e confermare altri e sempre più numerosi aspetti dello stesso problema.

A questo si aggiunge poi spesso un secondo, apparente miracolo: il fatto che certe teorie, sviluppate per il solo gusto di esplorare i confini della matematica, riescano poi a trovare una perfetta applicazione nel mondo reale: dalle geometrie non euclidee (utilizzate da Einstein nella sua teoria della relatività), all’algebra di Boole, diventata oggi una delle fondamenta dell’informatica. E proprio dal legame fra modelli matematici e realtà scaturiscono le varie scuole di pensiero della matematica, dal Platonismo (i modelli matematici esistono indipendentemente da noi e dal nostro mondo), al Costruttivismo, per cui esistono solo quelle entità che possiamo effettivamente “costruire”, passando per una miriade di altre idee che lasciamo tranquillamente spiegare a Wikipedia.

Oggi celebriamo questo stesso potere della matematica (ed il 2012, e le 17000 visite che ci ha portato l’anno scorso) in un modo particolare: voglio mostrarvi un esempio umoristico di modellazione matematica, che rubo ad un famoso libro del 1994 sulla teoria del Caos (Nonlinear Dynamics And Chaos). Mi scuso fin da subito con chi non riuscirà a seguire il simbolismo (che si basa solo su concetti base dell’analisi matematica), ma spero che anche questi non si perdano d’animo e riescano comunque a cogliere il succo ironico dell’intero discorso.

Infatti oggi modelleremo… l’amore! O, meglio, modelliamo l’evoluzione del sentimento reciproco di due innamorati, che chiameremo con la solita fantasia che ci contraddistingue, A e B.

Cominciamo da un caso specifico: A è innamorato di B, ma più il suo sentimento cresce, più B si spaventa e fugge. Quando però A si stufa, B ricomincia a sentire dell’attrazione per lui. A invece evolve al contrario: il suo sentimento aumenta quando aumenta quello di B, e viceversa. Vi ricorda qualcosa? Mi spiace. Definiamo due funzioni per modellare i sentimenti reciproci:

A(t) = amore di A per B al tempo t
B(t) = amore di B per A al tempo t

Dove un valore positivo di A(t) significa amore, mentre un valore negativo significa odio. A questo punto, e basandoci sulla nostra descrizione, il modello è estremamente semplice da ricavare:

\dot{A}(t) = \alpha B(t)
\dot{B}(t) = -\beta A(t)

Dove \alpha e \beta vanno scelti in accordo con i particolari amanti che si stanno considerando, e \dot{A} indica la derivata di A rispetto al tempo, seguendo la notazione convenzionale della fisica (la derivata è una sorta di misura del tasso di cambiamento della funzione che si sta considerando). La conclusione qual è? Analizzando il sistema, scopriamo che l’unico risultato possibile è un circolo vizioso di amore ed odio, nel quale i due innamorati vengono ricambiati solo un quarto del tempo, odiandosi a vicenda nel restante 75%. Vi ricorda qualcosa anche questo? La matematica è spietata.

Prima abbiamo parlato della capacità di generalizzare a partire dal modello di partenza. Come si applica in questo caso? Una semplice generalizzazione che può venire in mente analizzando le due equazioni è:

\dot{A}(t) = \alpha A(t) + \beta B(t)
\dot{B}(t) = \gamma A(t) + \delta B(t)

In pratica, ora l’amore di A e B è una combinazione dell’amore di entrambi e non solo dell’amore del partner. Il bello è che questo modello ci permette di identificare numerose tipologie di innamorato, a seconda della scelta dei parametri: qualcuno con a, b > 0 , che Strogatz chiama “eager beaver”, vedrà il suo amore aumentare in proporzione all’amore dell’altro, ma sarà eccitato anche dal proprio stesso sentimento. Al contrario, un “innamorato cauto” (a < 0 e b > 0 ) sarà spaventato dai propri stessi sentimenti.

Come interagiscono fra loro questi innamorati? Bè, sapete benissimo come si concludono tutti questi esercizi: potete scoprirlo voi. 🙂

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Dobbiamo stare vicini vicini…

Posted by scardax su settembre 23, 2008

Oggi tentiamo un improbabilissimo esperimento di “suicidio da blog“, tanto per sfruttare quest’ultima settimana prima dell’inizio dell’Università: voglio tentare di spiegare uno degli aspetti più controversi dell’intera Fisica, che peraltro non sono neanche troppo sicuro di avere “capito” io. Conosco diversi Fisici che storceranno il naso anche solo perché ho l’ardire di parlarne, quindi sappiate che questo post potrebbe anche costarmi qualche amicizia (o qualche fin troppo lunga discussione). Oggi parliamo di… “entanglement” quantistico.

Supponiamo di emettere due particelle, ad esempio due elettroni, in direzioni opposte. Possiamo costruire la nostra sorgente in maniera che una qualche proprietà delle due particelle sia correlata fra le due: ad esempio, se pensiamo allo spin, che nel mondo classico é una misura di come la particella ruota, e puo’ assumere due stati ben definiti (che possiamo chiamare “su” e “giù”), potremmo sfruttare la conservazione del momento angolare per far si che, se il primo elettrone ha un dato spin, l’altro dovrà avere per forza lo spin opposto.

Nel mondo classico, quello di tutti i giorni, questo é abbastanza intutitivo: se ho a disposizione due biglietti della lotteria, di cui uno solo vincente, e ne cedo uno ad un amico, nel momento in cui scopro che il mio é quello vincente so automaticamente che quell’altro é perdente (o viceversa). Purtroppo nel mondo quantistico, che é anche quello degli elettroni considerati, é tutto abbastanza diverso. Ogni proprietà osservabile della particella, al posto di essere in un singolo stato semplice (ad esempio “su” o “giù”), é in una composizione di tutti questi stati semplici, descritta dalla sua funzione d’onda.

Quindi, nel nostro esempio, al posto di dire banalmente che le loro proprietà sono “intrecciate” (in inglese, appunto, “entangled“), dovremmo dire che le loro funzioni d’onda sono interconnesse. Ora, quando effettuiamo una qualche misurazione sul sistema, si dice che la funzione d’onda “collassa“, e noi ritroviamo la particella in uno degli stati semplici, con una certa probabilità per ciascuno stato che dipende, anche lei, dalla funzione d’onda. Possiamo pensare, ad esempio, che misurando lo spin otteniamo il 50% delle volte il valore “su” ed il 50% il valore “giù”.

Riapplichiamo tutte queste nozioni alla situazione iniziale: emettiamo i due elettroni, lasciamo che si allontanino, quindi misuriamo lo spin del primo. Ogni qualvolta otteniamo la misura “su”, otterremo la misura “giù” sul secondo se lo misurassimo dopo, e viceversa, e possiamo ripetere la misurazione quante volte vogliamo. Tutto cio’ é strano, abbastanza contro intuitivo, ma non é il peggio. Se allontaniamo gli elettroni di diversi anni luce, misuriamo il primo spin, quindi il secondo un minuto dopo, abbiamo che la funzione d’onda collassata ha “viaggiato” fino al secondo ad una velocità maggiore di quella della luce, una cosa incompatibile con la Relatività di Einstein!

In effetti, proprio Einstein insieme a Podolsky e Rosen, propose un esperimento del genere (da allora denominato Paradosso EPR dal nome dei suoi ideatori) per dimostrare che la Teoria Quantistica era sostanzialmente incompleta, perché violava il principio di località. Da allora, l’entanglement é stato verificato con decine di altri esperimenti, dando vita, combinato con canali di comunicazione tradizionali, anche al bellissimo Teletrasporto Quantistico.

Ma ora sto esagerando. 😀

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