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“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

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La Matematica dell’Amore

Posted by scardax su gennaio 4, 2012

Nel 1960 il fisico Ungherese Wigner (poi naturalizzato Statunitense) attirò l’attenzione del mondo con il suo articolo sull’«irragionevole efficacia della matematica» nelle scienze naturali, espressione che da allora viene spesso citata parlando del potere della matematica nel modellare i fenomeni che ci circondano. Un potere che, secondo lo stesso Wigner, sconfinava con il miracoloso,  visto come alcuni modelli, formulati inizialmente a partire da pochi aspetti di un problema, riescono poi ad estendersi ben oltre il contesto originario, arrivando a spiegare e confermare altri e sempre più numerosi aspetti dello stesso problema.

A questo si aggiunge poi spesso un secondo, apparente miracolo: il fatto che certe teorie, sviluppate per il solo gusto di esplorare i confini della matematica, riescano poi a trovare una perfetta applicazione nel mondo reale: dalle geometrie non euclidee (utilizzate da Einstein nella sua teoria della relatività), all’algebra di Boole, diventata oggi una delle fondamenta dell’informatica. E proprio dal legame fra modelli matematici e realtà scaturiscono le varie scuole di pensiero della matematica, dal Platonismo (i modelli matematici esistono indipendentemente da noi e dal nostro mondo), al Costruttivismo, per cui esistono solo quelle entità che possiamo effettivamente “costruire”, passando per una miriade di altre idee che lasciamo tranquillamente spiegare a Wikipedia.

Oggi celebriamo questo stesso potere della matematica (ed il 2012, e le 17000 visite che ci ha portato l’anno scorso) in un modo particolare: voglio mostrarvi un esempio umoristico di modellazione matematica, che rubo ad un famoso libro del 1994 sulla teoria del Caos (Nonlinear Dynamics And Chaos). Mi scuso fin da subito con chi non riuscirà a seguire il simbolismo (che si basa solo su concetti base dell’analisi matematica), ma spero che anche questi non si perdano d’animo e riescano comunque a cogliere il succo ironico dell’intero discorso.

Infatti oggi modelleremo… l’amore! O, meglio, modelliamo l’evoluzione del sentimento reciproco di due innamorati, che chiameremo con la solita fantasia che ci contraddistingue, A e B.

Cominciamo da un caso specifico: A è innamorato di B, ma più il suo sentimento cresce, più B si spaventa e fugge. Quando però A si stufa, B ricomincia a sentire dell’attrazione per lui. A invece evolve al contrario: il suo sentimento aumenta quando aumenta quello di B, e viceversa. Vi ricorda qualcosa? Mi spiace. Definiamo due funzioni per modellare i sentimenti reciproci:

A(t) = amore di A per B al tempo t
B(t) = amore di B per A al tempo t

Dove un valore positivo di A(t) significa amore, mentre un valore negativo significa odio. A questo punto, e basandoci sulla nostra descrizione, il modello è estremamente semplice da ricavare:

\dot{A}(t) = \alpha B(t)
\dot{B}(t) = -\beta A(t)

Dove \alpha e \beta vanno scelti in accordo con i particolari amanti che si stanno considerando, e \dot{A} indica la derivata di A rispetto al tempo, seguendo la notazione convenzionale della fisica (la derivata è una sorta di misura del tasso di cambiamento della funzione che si sta considerando). La conclusione qual è? Analizzando il sistema, scopriamo che l’unico risultato possibile è un circolo vizioso di amore ed odio, nel quale i due innamorati vengono ricambiati solo un quarto del tempo, odiandosi a vicenda nel restante 75%. Vi ricorda qualcosa anche questo? La matematica è spietata.

Prima abbiamo parlato della capacità di generalizzare a partire dal modello di partenza. Come si applica in questo caso? Una semplice generalizzazione che può venire in mente analizzando le due equazioni è:

\dot{A}(t) = \alpha A(t) + \beta B(t)
\dot{B}(t) = \gamma A(t) + \delta B(t)

In pratica, ora l’amore di A e B è una combinazione dell’amore di entrambi e non solo dell’amore del partner. Il bello è che questo modello ci permette di identificare numerose tipologie di innamorato, a seconda della scelta dei parametri: qualcuno con a, b > 0 , che Strogatz chiama “eager beaver”, vedrà il suo amore aumentare in proporzione all’amore dell’altro, ma sarà eccitato anche dal proprio stesso sentimento. Al contrario, un “innamorato cauto” (a < 0 e b > 0 ) sarà spaventato dai propri stessi sentimenti.

Come interagiscono fra loro questi innamorati? Bè, sapete benissimo come si concludono tutti questi esercizi: potete scoprirlo voi. 🙂

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L’Infinito ed i suoi problemi

Posted by scardax su settembre 28, 2008

PhotobucketCome mi é già capitato di dire una volta, spesso é dai ragionamenti all’apparenza più stupidi che nascono le discussioni più interessanti. Ad esempio: oggi i numeri irrazionali sono entrati nel bagaglio culturale comune, e nessuno si fa più scrupolo a parlare di pigreco, radice quadrata di due o e elevato alla quarta. Pero’ il più delle volte, pensando a pigreco ci figuriamo un numero del tipo “3,14”, che non é altro che una sua semplice approssimazione, e non “é” lui più di quanto non lo sia, ad esempio, 1,36.

In effetti, dal momento stesso in cui tentiamo di figurarci pigreco con un numero finito e non in quanto entità, lo perdiamo di vista e siamo costretti ad accontentarci di concetti numericamente simili. Questa non é solo un’osservazione fine alla Matematica, ma ha delle ricadute enormi, ad esempio, nella Fisica.

Per dare un’idea: pensiamo di avere un tavolo di biliardo con sopra diverse palle. Per descriverlo matematicamente in ogni istante, dobbiamo fornire la posizione di ciascuna pallina (su un piano come quello del biliardo, sono sufficienti due numeri), e le loro velocità (altri due numeri ciascuna). Avendo tutti questi valori in un dato istante, possiamo (conoscendo le leggi fisiche che descrivono gli urti e l’attrito dell’aria) conoscere il “futuro” delle palline, ovvero la maniera in cui evolveranno. E qui cominciano i problemi.

Supponiamo di memorizzare i numeri in un computer con un’approssimazione di due cifre decimali: possiamo quindi dire, ad esempio, che all’istante iniziale la pallina 1 si trova, lungo l’asse delle ascisse, nella posizione 2,81. Questa, pero’, é già di per sé un’approssimazione notevole: le palline in posizione 2,814 e 2,809 ricadranno nella denominazione “pallina in posizione 2,81”, proprio perché per noi i decimali dopo il secondo sono virtualmente inesistenti. Naturalmente, queste palline daranno vita ad evoluzioni iniziali estremamente simili, a tratti praticamente identiche. Dopo un po’, pero’, queste cominceranno a scontrarsi con altre palline, ciascuna con un suo margine di errore, che colpiranno a loro volta altre palline, facendo aumentare, più o meno rapidamente, l’errore complessivo. Si giungerà in un punto in cui le varie palline che inizialmente abbiamo considerato identiche hanno provocato evoluzioni estremamente diverse, e noi saremo nell’impossibilità tecnica di scegliere quella giusta: il sistema é diventato caotico, imprevedibile (ma non casuale, attenzione)!

La prima soluzione che puo’ venire in mente per questo problema é abbastanza banale: comprare un nuovo computer. Purtroppo, qualunque somma di denaro decidessimo di investire, avremmo sempre un computer in grado di memorizzare numeri approssimati: tutti i computers del mondo, messi assieme, non basterebbero a memorizzare un singolo valore con decimali infiniti!

Qualcuno che macini un po’ di Matematica, pero’, potrebbe pensare ad una seconda soluzione, decisamente migliore: scrivere delle equazioni che descrivano l’evoluzione del sistema e che siano in forma chiusa, ovvero in cui possiamo calcolare qualunque valore prescindendo dai valori precedenti (una funzione del tipo sin(x), ad esempio, é in forma chiusa, mentre una funzione “sommatoria fino all’ennesimo valore, più uno” é in forma aperta). Escludendo il fatto che questa funzione dipenderebbe comunque dalle condizioni iniziali, é stato dimostrato che, in sistemi con numerosi corpi interagenti (nel caso tridimensionale, ne bastano addirittura tre) trovare queste equazioni chiuse é matematicamente impossibile! Dobbiamo accontentarci di approssimazioni.

Questo ha dei risvolti notevoli anche in campo filosofico: dobbiamo, sembra, rinunciare alla possibilità di conoscere l’evoluzione fino ad un momento imprecisato nel futuro di un sistema che, in sé, é completamente deterministico!

A chi interessasse questo argomento, consiglio la lettura di qualcosa sul problema dei Tre Corpi, magari da qua (sezione Meccanica Analitica):

Dal Quark al Quasar

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