6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Consistenza dell’Aritmetica

Il secondo problema di Hilbert ha un fascino tutto suo, che emerge già dalla sua semplice formulazione:

Provare che gli assiomi dell’aritmetica sono consistenti.

Anche se non avete un’idea (o non ce l’avete chiara) su cosa sia la consistenza, potete comunque intravedere una certa maestosità in una simile domanda. Sembra quasi la conclusione di un percorso durato millenni: la matematica, dopo essere partita come strumento per la risoluzione di problemi estremamente pratici (come la spartizione di eredità), e dopo essersi interessata via via a questioni sempre più astratte, passa ora a studiare sé stessa. Siamo entrati nel terreno della metamatematica.

Hilbert aveva molto a cuore il fondare la matematica puramente sulla logica: come molti altri dell’epoca, vedeva ogni teoria matematica come un semplice sistema formale, ovvero un sistema nel quale, a partire da una serie di assiomi, si possono generare tutti gli altri teoremi applicando un numero finito di operazioni, dette regole di inferenza.

Chi da ragazzo é venuto a contatto con la geometria, ed in particolare con gli Elementi di Euclide, si puo’ ritrovare abbastanza facilmente in questa descrizione: la geometria euclidea, a partire da cinque assiomi, deduce ogni teorema in maniera rigorosa, applicando solo risultati già ottenuti. Hilbert, pero’, poneva anche un forte accento sull’astrazione della teoria: non vedeva la necessità di rivolgersi al senso comune per mostrare la validità degli assiomi. In una sua famosa frase provocatoria contenuta in un trattato in cui assiomatizzava la geometria, egli scrisse che si poteva benissimo sostituire le parole “punto, retta e piano” con “tavoli, sedie e boccali di birra“, e nulla sarebbe cambiato.

In realtà, tutto questo é meno ovvio di quanto sembri. Probabilmente lo pensate solo perché vivete nel XXI secolo, ma provate a soffermarvici: chi vi dà la certezza che, a partire dagli assiomi, possiate veramente dedurre ogni singolo teorema? Oppure, che non arriviate a qualche contraddizione? Peggio ancora, chi vi assicura che gli assiomi che usate sono realmente quelli corretti?

La seconda domanda é quella che ci interessa qui: quando, a partire dagli assiomi, non é possibile giungere ad alcuna contraddizione (ovvero, non si puo’ provare contemporaneamente la verità e la falsità di qualche proposizione), allora quegli assiomi vengono detti consistenti. Questo é più cruciale di quanto non sembri a prima vista: in un sistema formale, provare una singola contraddizione porta a poter provare qualunque affermazione! Nel caso dell’aritmetica, ci stiamo chiedendo se gli assiomi correntemente in uso (gli assiomi di Peano) non ci porteranno mai a formulare cose come “0=1”, oppure “2×6 = 27”.

Notiamo che il problema non si rivolge direttamente all’Aritmetica, ma ad una versione dell’aritmetica espressa come sistema formale: l’Aritmetica di Peano.

La soluzione di questo problema é, come per il primo, abbastanza strana e nuovamente legata ai risultati di Gödel, in particolare al suo secondo teorema, che asserisce, in termini molto informali, questo:

Nessun sistema formale consistente T, sufficientemente complesso, puo’ dimostrare la propria consistenza. Ovvero, non é possibile in T dimostrare l’affermazione “T é consistente”.

Notiamo la necessità di specificare, nella formulazione del teorema, che il sistema T sia consistente: questa deriva dal fatto, già menzionato, che in un sistema inconsistente si puo’ in realtà dimostrare tutto, comprese quindi le affermazioni “T é consistente” e “T non é consistente“. La cosa buffa, quindi, é che se riuscissimo a dimostrare una di queste due affermazioni per l’Aritmetica di Peano, questa sarebbe in entrambi i casi non consistente (la cosa é paradossale in entrambi i casi: nel primo, poiché avremmo dimostrato che T é inconsistente dimostrando la sua consistenza; nel secondo, perché avremmo ottenuto un’affermazione molto simile al paradosso “Questa frase é falsa“). Lasciamo un abbozzo di dimostrazione del teorema di Gödel per la fine dell’articolo, per concentrarci per il momento su un ultimo argomento.

Possiamo vedere l’impossibilità data dal secondo teorema di Gödel come un caso particolare di un principio generale dell’Universo, quello secondo cui “nessun sistema puo’ eseguire compiti che siano superiori alle sue capacità“. Questo principio in apparenza vago é stato formalizzato matematicamente grazie all’idea di “complessità” di un sistema. Questo e altri argomenti a lui legati sono magistralmente spiegati in uno degli articoli che ha fatto la storia di questo genere di idee: Randomness and Mathematical Proof.

Il fatto che la consistenza di un sistema non possa essere provata all’interno dello stesso sistema pone un fastidioso problema di regresso all’infinito: per provare la consistenza dell’Aritmetica, dobbiamo usare un altro sistema formale, eventualmente di maggiore complessità. Ma per provare la consistenza di questo (e dunque la correttezza delle sue affermazioni) dovremo rivolgerci ad un terzo sistema formale, e cosi’ via all’infinito!

Ad esempio, Gentzen provo’, più o meno contemporaneamente ai risultati di incompletezza di Gödel, la consistenza dell’aritmetica appoggiandosi ad un’analisi che sfrutta le proprietà di alcuni numeri ordinali transfiniti.

Cosi’ come per il primo problema, il dibattito é ancora aperto!

Breve discussione sul secondo teorema di Gödel

Il secondo teorema di Gödel deriva in realtà dal primo. In questi, Gödel dimostro’ che in qualunque sistema formale che contenesse la possibilità di esprimere l’aritmetica, era possibile formulare una frase del tipo:

Quest’affermazione non puo’ essere dimostrata.

Nuovamente, é un’affermazione molto simile al paradosso del mentitore (“questa frase é falsa”, o “io sto mentendo”). Se si puo’ dimostrare, vuol dire che é falsa, e quindi il sistema é inconsistente. Se, al contrario, non si puo’ dimostrare, vuole dire che il sistema é incompleto, ovvero esistono affermazioni indimostrabili (abbiamo visto che il primo problema di Hilbert, l’ipotesi del continuo, é proprio una di queste affermazioni).

Gödel dimostro’ quindi che, sempre in un sistema capace di esprimere l’aritmetica, si poteva formulare la frase S “questo sistema é consistente”, e quindi sostituire S nella frase di prima ottenendo “S non puo’ essere dimostrato”.

Ovviamente, questa é solo una piccolissima intuizione sui due teoremi, ai quali é stato dedicata una letteratura, anche divulgativa e filosofica, sconfinata.

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2 Risposte to “Consistenza dell’Aritmetica”

  1. […] Consistenza dell’Aritmetica […]

  2. riccardo said

    prendiamo il tempo, infinito al futuro ma quindi anche al passato, quindi non ha avuto un inizio, se qualcosa non è mai iniziata non esiste, noi però abbiamo avuto un inizio all’interno di qualcosa che non esiste, come possiamo perciò noi stessi esistere? questo è un assioma consistente?

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