6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

L’Universo in un Numero

Posted by scardax su marzo 22, 2010

I ragionamenti che coinvolgono l’infinito (ed i suoi derivati) sono sempre il più grande spartiacque fra chi possiede una mentalità scientifica e chi non la possiede: quello che a qualcuno può sembrare completamente assurdo, per un matematico, e per i suoi compagni, è la cosa più sensata al mondo. Guardando da quest’ottica, prendete cio’ che segue come un esperimento su voi stessi: lo trovate senza capo né coda? La scienza astratta non fa per voi.

Cominciamo prendendo un numero ad espansione decimale infinita piuttosto buffo: in particolare, i cui decimali sono formati dalla concatenazione di tutti i numeri naturali in sequenza:

0.123456789101112…

Non ci crederete mai, ma ha anche diritto ad un nome: viene detto numero (o costante) di Champernowne. Cos’ha di interessante? In pratica, i suoi decimali seguono una distribuzione di probabilità uniforme; ovvero, prendendo un decimale a caso, é ugualmente probabile che esso sia una qualunque delle dieci cifre decimali. E questa proprietà vale anche per sequenze di più di una cifra: prendendo due decimali consecutivi, ad esempio, la probabilità che essi siano, diciamo, uguali a 56 é 1/100. E non é finita qui: in questo caso abbiamo scritto il numero sfruttando la base decimale, ma questa proprietà continua a valere costruendo lo stesso numero in qualsiasi base!

Un numero per cui vale tutto quello appena descritto viene detto normale (Champernowne lo ha dimostrato per l’omonima costante). Ok, di nuovo la stessa domanda: e quindi? Supponiamo che ad ogni tripletta di decimali sia associato un carattere, ad esempio seguendo la codifica ASCII. Dalle proprietà di normalità, segue che all’interno della sua espansione decimale é possibile ritrovare… qualsiasi testo!

Sparsi in qualche punto dell’espansione si trovano le opere Shakespeare, la Bibbia, ed anche libri che ancora debbono essere scritti! Il vostro tema di maturità? E li’, da qualche parte, dovete solo cercare sufficientemente bene. E la lettera d’amore che cosi’ gelosamente avete custodito tutto questo tempo senza spedirla? La matematica non ha rispetto per la vostra privacy: anche lei è li’.

Sulla falsariga del ragionamento è possibile costruire molti altri apparenti paradossi: una scimmia che, battendo le dita a caso su un computer per un tempo sufficientemente lungo, produce un qualsiasi libro di vostra scelta; od una libreria che, per costruzione, contenga tutti i libri dell’Universo, come quella del celebre racconto dello scrittore Borges.

Dite la verità: quanto trovate assurdo tutto questo? Per approfondimenti, consiglio la seguente pagina di Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_monkey_theorem

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Utopie Matematiche

Posted by scardax su gennaio 28, 2010

Nel 1951, a pochi anni dalla conclusione della Seconda Guerra Mondiale, l’americano Kenneth Arrow dimostro’ matematicamente un risultato che sconvolse l’intera comunità scientifica, e che gli valse in seguito anche il premio Nobel: nessun sistema di voto, egli disse, esistente o ancora da inventarsi, puo’ realmente considerarsi “giusto”; di conseguenza, nessuna democrazia potrà mai realmente dirsi “perfetta”, almeno in un senso classico del termine.

Da allora, questo teorema fu ripreso e frainteso infinite volte, fino ad entrare nell’immaginario collettivo di molte persone insieme ad altri teoremi “incapacitanti” simili come quello di Gödel. Ma cosa dimostro’ realmente Arrow?

Per capirlo, partiamo dall’inizio: cos’é un sistema di voto?

Un sistema di voto puo’ considerarsi come un qualcosa che fa corrispondere ad una serie di preferenze individuali (quelle di ogni cittadino) un’unica preferenza della società; e per poter essere considerato corretto, ovviamente, il sistema deve cercare di rispettare equamente ciascuna delle preferenze di partenza. Matematicamente parlando, supponiamo di avere un certo numero di candidati per un’elezione (C1, …, Cn). Ciascun elettore ha un proprio ordine di preferenza per questi candidati, ed in tutto vi sono m elettori. Se indichiamo con P(C) un possibile ordinamento dei candidati, possiamo definire un generico sistema di voto come una funzione che associa alle m preferenze degli elettori una singola preferenza (di società):

V: (P(C))^m \rightarrow P(C)

Qualunque sistema di voto che conoscete, in sostanza, puo’ essere descritto in questa maniera: dal più semplice “contare le preferenze in ciascuna posizione”, a modalità estremamente più complesse, questa formalizzazione cattura lo spirito della discussione. A questo punto, arriviamo al punto focale del dibattito: come possiamo definire “giusto” un sistema di voto? Quali proprietà esso deve possedere? Arrow ne scelse tre (potete divertirvi a formalizzarle rispetto a quanto detto prima):

  • Unanimità (o efficienza di Pareto): se tutti gli elettori preferiscono un candidato A ad un candidato B, allora anche nell’ordine risultante A sarà preferito a B.
  • Non Dittatorialità: non esiste un elettore le cui preferenze prevalgono sempre sugli altri, ovvero non esiste un elettore tale che il risultato del voto sia sempre uguale alle sue scelte personali.
  • Indifferenza delle Alternative: se A é preferito a B dati un certo numeri di candidati, introdurne di nuovi non cambierà questa preferenza (ovvero, non é possibile che un candidato perda contro tre concorrenti, ma vinca se vi si aggiunge un quarto).

Ed eccoci infine al risultato: Arrow dimostro’ che, se vi sono almeno due elettori e tre candidati, non esiste nessuna funzione matematica che soddisfi queste tre condizioni insieme!

Da qualunque lato lo si guardi, é comunque un teorema sconfortante, in quanto dimostra che una votazione, nonostante la sua facilità di descrizione, é un problema estremamente complesso e difficile da analizzare (e da progettare). Sembra che, comunque vadano le cose, dobbiamo accontentarci di un sistema non ottimale. Ovviamente, un risultato matematico é valido nei limiti in cui sono valide le premesse. In particolare, in che misura deve essere realmente verificata la terza condizione? E’ proprio vero che un candidato nuovo non possa modificare le mie preferenze individuali? E soprattutto, é proprio vero che io debba avere un ordine completo di tutti i candidati in testa?

Per una rapida discussione su questi problemi, potete tranquillamente cominciare dalla pagina di Wikipedia (e dai suoi links):
http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow’s_impossibility_theorem

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Tempi (Matematici) Moderni

Posted by scardax su gennaio 21, 2010

C’é un paradosso affascinante nell’insegnamento odierno della matematica: nonostante questa abbia subito un’espansione incredibile negli ultimi due Secoli, non solo quantitativamente (con la nascita di numerosissime sotto-sotto-sottobranche), ma anche qualitativamente, passando ad interessarsi di oggetti via via più astratti e lontani dai numeri per i quali era nata (gruppi, varietà, sistemi, informazione, ragionamento…), la stragrande maggioranza di quella che viene insegnata nei licei é in sostanza derivata dai buoni vecchi Greci, escludendo poche branche da ultimo anno che pero’ con loro hanno comunque un collegamento diretto (come l’analisi delle funzioni).

Lungi da me il voler buttarmi nella spinosa questione della possibilità o meno di aggiornare i programmi correnti per includere argomenti più recenti, voglio solo far notare la fastidiosa conseguenza di tutto cio’: la maggior parte delle persone é ancora convinta che matematica significhi essenzialmente calcoli e formule, ed il distacco fra l’esperto ed il profano si fa di giorno in giorno maggiore.

Vediamo, per dare un esempio, una branca della matematica che ha, in sostanza, poco più di cento anni: la topologia, ovvero lo studio delle figure e delle forme. Qualunque oggetto che vi stia accanto definisce una superficie nello spazio: una palla da calcio definisce una superficie sferica, mentre un foglio di carta una superficie piana. Una ciambella (esempio classico della topologia), rappresenta una superficie leggermente più strana, ma pur sempre una superficie, e cosi’ via. Queste superfici possono essere aperte (come un foglio di carta), o chiuse (come la sfera), e quindi possedere o meno un bordo, avere dei “buchi” (come la ciambella), e cosi’ via.

La domanda é: ogni oggetto definisce una superficie, ma molte di queste sembrano simili fra loro. E’ possibile classificarle in diversi gruppi, cosicché ciascuno di essi possegga particolari proprietà matematiche? Per arrivare a questa classificazione, dobbiamo prima capire che non ci interessano la reale dimensione delle superficie, o la sua forma particolare, quanto il modo in cui questa é composta ed i suoi elementi sono connessi. Possiamo quindi arrivare alla seguente definizione (molto informale):

Due superfici sono topologicamente equivalenti se é possibile tramutare l’una nell’altra attraverso una serie di trasformazioni (allungamenti, stiramenti, torsioni) che non comportino il “taglio” o “l’incollamento” di due parti della superficie.

Seguendo questa definizione, scopriamo che per la matematica qualunque pallone é topologicamente equivalente: quello da rugby é equivalente a quello da calcio semplicemente comprimendolo ai lati. Anche la bottiglia dell’acqua é equivalente alla sfera, mentre una ciambella é equivalente ad una tazza di caffé. E la ciambella e la sfera, sono equivalenti? La risposta parrebbe no dopo qualche minuto di riflessione, ma ovviamente “parrebbe” é un po’ orrendo come risultato.

La topologia ha scoperto che esistono una serie di proprietà delle superfici (chiamate invarianti topologici) che consentono di classificarle in maniera accurata: ovvero, due superfici aventi determinati valori degli invarianti apparteranno per certo ad una data classe, mentre due superfici con invarianti diversi apparterranno a due classi diverse (e non potranno essere trasformate l’una nell’altra senza taglia e cuci). Nel caso delle superfici, due soli invarianti sono sufficienti alla classificazione:

  1. La caratteristica di Eulero della superficie. Questo valore é generalmente associato ad un poliedro, ed é uguale a V – E + F, dove V é il numero di vertici del poliedro, E il numero di spigoli (connessioni fra vertici) ed F il numero di facce. Supponete di ricoprire tutta la vostra superficie di poliedri: non importa come li scegliate, il valore di Eulero ottenuto sarà sempre lo stesso. Ad esempio, ricoprendo una sfera di triangoli, o di quadrati, o di qualsiasi altro poliedro, otterrete sempre un valore di Eulero pari a 2. Nel caso di una ciambella, invece, otterrete sempre un valore pari a 0: ciambella e sfera sono superfici topologicamente differenti. Da solo questo numero non é sufficiente: ad esempio, sia la ciambella che il nastro di Möbius hanno una caratteristica di Eulero pari a 0, ma non sono certo equivalenti.
  2. La seconda caratteristica é l’orientabilità, ovvero la possibilità di poter definire orientamenti destrorsi o sinistrorsi. Provate a pensare di disegnare una freccia su una sfera, e di farle compiere un giro completo intorno alla sfera: riotterrete lo stesso orientamento della freccia. Provate a farlo su un nastro di Möbius, invece, e dopo un giro otterrete una freccia orientata nel verso opposto! Su un nastro di Möbius é impossibile orientarsi.

Ora, é possibile trasformare una sfera in una qualsiasi altra superficie, in questo modo:

  • Se la superficie é orientabile, basta aggiungere una serie di “manici” alla sfera che dipendono dalla differenza di caratteristica di Eulero.
  • Se la superficie non é orientabile, bisogna incollare sulla sfera una serie di nastri di Möbius (un’operazione impossibile nello spazio tridimensionale).

E’ possibile determinare numerosi altri invarianti, e cominciare ad ottenere seri risultati utili in moltissimi campi partendo da questi concetti di base. Si puo’ poi estendere il discorso a superfici n-dimensionali considerando l’estensione della sfera in queste n-dimensioni (ad esempio, un’ipersfera é una superficie a tre dimensioni in uno spazio a quattro dimensioni).

(Ed adesso sapete perché questo cose non si insegnano al liceo! 🙂 ).

Spazio pubblicitario: l’ispirazione al post é venuta da un capitolo del libro “I Problemi del Millennio” di Keith Devlin, consigliato a chi interessi l’argomento.

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Persi in uno Spazio a Troppe Dimensioni

Posted by scardax su dicembre 21, 2009

Goethe disse una volta che “i matematici sono come i Francesi: qualunque cosa gli dite, lo traducono nel loro linguaggio, e non é più la stessa cosa“. In realtà, io trovo più corretta questa affermazione rivolta verso i fisici: almeno, i matematici parlano di cose astratte; i fisici, invece, sembrano parlare del nostro mondo.

Prendiamo un esempio semplice: tutti noi abbiamo, almeno intuitivamente, nozione di cosa voglia dire che “lo spazio nel quale viviamo ha tre dimensioni”. Allo stesso modo, sappiamo che un foglio di carta puo’ essere pensato come una superficie a due dimensioni, in quanto la terza é “trascurabile”, mentre un filo assomiglia ad una superficie unidimensionale. La domanda é: come si formalizza il concetto di “dimensione“?

Il modo più semplice é pensare che la dimensionalità di una qualche varietà (un’area, una superficie, uno spazio) sia il minimo numero di punti che sono necessari ad individuare un punto su di essa, una volta che si sia fissato un sistema di riferimento. Quindi, lo spazio ‘classico’ é a tre dimensioni perché, una volta fissata un’origine e tre assi ortogonali fra loro, é sufficiente fornire tre distanze dall’origine per individuare univocamente un punto. Similmente, la superficie della Terra é una varietà a due dimensioni, in quanto sono necessarie solo longitudine e latitudine per individuare un punto (l’altitudine, supponendo che non andiate sott’acqua o in aria, dipende dalle altre due coordinate).

La scelta dei tre punti non é univoca (ad esempio, possiamo individuare un punto nello spazio classico con due angoli ed una lunghezza, o due lunghezze ed un angolo); é sufficiente che sia minima.

Ora che abbiamo il nostro concetto di base, possiamo cominciare a giocarci ed a vedere cosa ne esce fuori (in gergo, “facciamo i matematici”). Per cominciare, l’idea si puo’ rendere astratta a sufficienza da essere indipendente da una nozione di spazio “fisico”: ad esempio, una particella é in generale individuata dalla sua posizione (tre numeri) e dalla sua velocità (o, meglio, dal suo momento, altri tre numeri). Quindi, lo “stato” di una particella é un punto su uno spazio a sei dimensioni! Questo ragionamento porta rapidamente ad introdurre un numero di dimensioni esponenziale (cinque particelle ci portano già a 6×5 = 30 dimensioni!), al punto che il matematico Richard Bellman conio’ il termine “la maledizione della dimensionalità” per indicare questo problema.
(Al limite, possiamo arrivare ad uno spazio ad infinite dimensioni, come quello richiesto dalla teoria quantistica.)

Altri fisici hanno richieste più accettabili: lo spaziotempo della teoria della relatività ha solo quattro dimensioni (potete immaginare uno spazio del genere come una successione infinita di spazi a tre dimensioni identificati dalla variabile temporale); alcune teorie delle stringhe ne vorrebbero undici (alcuni dicono ripiegate su se stesse).

Fin qua, é tutto ancora comprensibile. I problemi cominciano quando consideriamo i frattali (di cui abbiamo parlato in “Camminando in una Spirale Infinita“), ovvero quegli oggetti che mantengono la loro struttura a qualunque ingrandimento. Se raffiniamo il nostro concetto di dimensionalità, scopriamo che in generale un frattale ha un numero di dimensioni che non é un numero intero! Intuitivamente, per individuare un punto su un frattale, n numeri sono pochi, ma n+1 sono troppi.
(Se ve la cavate con l’inglese, qui trovate un esempio sia del raffinamento del concetto di dimensione, sia del frattale:
http://www.math.harvard.edu/archive/21b_fall_03/shirpinski/index.html).

In ogni caso, il blog ha superato le 10mila visite, ed il 25 Dicembre si avvicina: buon Newton-mas a tutti!

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Cogito Ergo Sum

Posted by scardax su dicembre 6, 2009

Oltre un Secolo fa, “progresso” era una gran bella parola. L’unico impedimento alla nostra piena comprensione della Natura, allora, era solo il tempo: presto, le scienze fisiche ci avrebbero spiegato il comportamento dell’Universo, e le nascenti scienze sociali, forse, quello dell’Uomo. E la tecnologia avrebbe sfruttato queste conoscenze per farci andare sempre più veloci da un punto all’altro del pianeta, per curarci, per farci vivere meglio.

Ed oggi, cosa ne é dei vecchi sogni positivisti? Nel secolo successivo al Titanic, ad Hiroshima e Nagasaki, alle guerre batteriologiche organizzate (al cui confronto gli eccidi di Indiani a base di influenza ed alcool ci sembrano uno sciocchezzuola infantile), ad Einstein e Bohr, il mondo ci sembra più complicato di sempre. Abbiamo capito che i progressi della tecnologia non coincidono sempre con i progressi della mentalità umana, ma non per questo abbiamo smesso di cercare.

Anzi: senza vantarci troppo, possiamo dire di avere un quadro (anche se in alcuni punti solo accennato) abbastanza preciso di tutto l’Universo. Se domani un alieno misteriosamente sbarcasse da noi e fosse in grado di capirci, potremmo spiegargli il magico mondo delle particelle subatomiche, l’incanto della nascita e dello sviluppo delle galassie, i misteri dell’elettrone, il brio delle cellule, il dinamismo dell’evoluzione, le sottili complessità del cervello umano… Ma ci manca ancora un grande tassello. “D’accordo”, ci direbbe l’alieno. “Il vostro occhio viene stimolato da dei raggi di luce, il tutto é convertito in segnali elettrici, questi vengono analizzati per attivare simboli di oggetti e persone note, che provocano il rilascio di particolari sostanze chimiche e neurotrasmettitori, eccetera. Ma per quale ragione siete coscienti? Perché il rosso, oltre ad essere riconosciuto come rosso dal cervello, provoca in voi una sensazione di (scusatemi il termine) rossità?”.

Che brutta domanda da farsi ad uno scienziato. Uno ti volterebbe le spalle dicendoti che la coscienza non esiste, un altro ti direbbe che deriva evidentemente da tutto il resto, il sincero ti risponderebbe che non ne ha la più pallida idea. Su questo argomento, ne sappiamo quanto prima. Perché sentiamo le sensazioni? Da dove deriva la coscienza che abbiamo di noi stessi? Un gatto é cosciente? Se organizzassimo gli abitanti della Cina come i neuroni del nostro cervello, la Cina stessa diventerebbe un essere cosciente? (Immagine in gentile concessione da Pinker).

Non ne sappiamo niente, ma abbiamo delle gran belle idee in merito. Hofstadter, premio Pulitzer, pensa che il simbolo dell’Io nel nostro cervello sia un simbolo come gli altri, che a causa del grandissimo tempo durante il quale é stimolato, e grazie ad un non meglio specificato meccanismo di retroazione, diventa cosciente. E’ un’immagine più poetica di quanto non sembri, in quanto vuol dire che pezzi della nostra coscienza vivono in altre persone, seppur in misura minore. Penrose, fisico di eccellenza, é convinto invece che nella coscienza siano coinvolti processi quantistici ad un livello più basso del singolo neurone. Le sue idee oggi sanno di fiasco, ma continuano a far discutere.

Jaynes non sapeva dire cos’é la coscienza, ma aveva idee intriganti comunque. In particolare, era convinto che noi uomini non siamo sempre stati coscienti, ma che si tratta di una conquista relativamente recente, successiva ad un periodo in cui un’umanità non cosciente era guidata da voci interiori che hanno dato origine a tutta la civiltà di Dei che tanto bene conosciamo. Visto che buona parte delle sue previsioni stanno venendo oggi confermate, vale la pena di dare un’occhiata ad una delle teorie scientifiche più controverse del Secolo.

Pinker descrive un abbozzo del funzionamento di tutto il cervello, ma lascia totalmente da parte la coscienza. Chalmers, al contrario, é uno dei pochi a focalizzarsi su un tentativo di spiegarla. Anche non riuscendoci, indubbiamente é uno di quelli che ha spiegato meglio il problema.
Per finire,  recenti sviluppi ci mostrano come (sembra che) il cervello metta in moto un’azione volontaria circa mezzo secondo prima che un soggetto ne abbia effettivamente coscienza! Esiste il libero arbitrio o siamo solo coscienti delle scelte che il nostro cervello fa per noi? E’ forse il cervello ad essere libero? Oppure noi siamo il nostro cervello?

Ok, mi fermo.

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Dove Nasce la Cooperazione

Posted by scardax su novembre 29, 2009

Come i lettori di più lungo corso ricorderanno, più di un anno fa vi avevo parlato di un gioco molto interessante chiamato Il Dilemma del Prigioniero: riepilogando, si tratta di un gioco a due giocatori in cui ciascuno di essi ha la possibilità di cooperare o di non cooperare. Se entrambi cooperano ottengono un’utilità abbastanza alta, ma hanno anche la tendenza a non cooperare in quanto, se uno coopera e l’altro no, quello che non coopera ottiene un’utilità maggiore, mentre l’altro un’utilità estremamente bassa. In conclusione, se entrambi sono razionali finiranno sempre per non cooperare, ottenendo cosi’ un’utilità relativamente bassa, come riassunto nella seguente tabella (i due giocatori sono A e B, C indica l’azione di cooperare, mentre NC quella di non cooperare):

A / B C NC
C (2, 2) (-1, 3)
NC (3, -1) (0, 0)

(Per maggiori delucidazioni sulla struttura del gioco, potete fare riferimento all’articolo linkato ad inizio post. Se non siete molto familiari con le nozioni di giocatore, di gioco o di utilità, potete dare un’occhiata alla prima parte dell’Introduzione alla Teoria dei Giochi (la cui seconda parte é ancora in fase di scrittura)).

Come si puo’ capire da questa formulazione molto generale, questo gioco permette di descrivere una grandissima gamma di possibili situazioni. Una molto famosa, seppur leggermente ambiziosa, é la corsa al nucleare: se i due giocatori sono due nazioni, che cooperano non costruendo bombe nucleari e non cooperano costruendole (entrambe le nazioni preferirebbero essere le uniche a possedere la bomba, o che nessuno dei due la possieda, ma in nessun caso vorrebbero non averla mentre l’altro ce l’ha), ne concludiamo che la corsa al nucleare é “scontata“.

In generale, possiamo dire che la conclusione che i due giocatori non coopereranno é abbastanza deludente. Pero’, cosa succederebbe se si decidesse di ripetere numerose volte questo gioco? L’utilità di un giocatore sarebbe l’utilità ottenuta in ciascuna partita, e diversi problemi verrebbero alla luce: in particolare, vale la pena non cooperare, sapendo che l’altro giocatore, nel turno successivo, se ne ricorderà e potrebbe “farcela pagare”? Analizziamo due diversi casi, e poi cerchiamo di vedere come se la cavano le nostre conclusioni teoriche quando messe in pratica.

  1. Prima di tutto, pensiamo di ripetere il gioco N volte, con N fissato in anticipo e conosciuto da entrambi i giocatori. Si puo’ facilmente dimostrare che la strategia ottima é non cooperare per N volte di fila: all’n-sima iterazione del gioco, esso é un normale Dilemma del Prigioniero, e quindi la strategia ottima é non cooperare; all'(n-1)esima, i risultati dell’iterazione successiva sono prefissati, quindi nuovamente l’azione ottima é non cooperare; per induzione, la strategia ottima é non cooperare sempre. Deludente, come prima, forse anche peggio di prima.
  2. Supponiamo invece che N non sia conosciuto, o sia infinito. L’analisi di prima non tiene più, e si puo’ dimostrare che in questo caso é possibile portare l’avversario a cooperare “minacciandolo” di non cooperare per un certo numero di turni se anch’esso non coopera. Intuitivamente, questo equivale ad annullare i vantaggi dati dal non cooperare riducendo la sua utilità in un certo numero di turni successivi (una strategia del genere é sempre possibile in tutti i giochi ripetuti infinite volte).

Quanto sono vere queste idee in pratica? Nel 1984 Axelrod decise di indire un torneo in cui diversi programmi avrebbero potuto confrontarsi giocando il Dilemma del Prigioniero N volte, ma con N piuttosto grande. In generale, ne usci’ fuori che i programmi migliori adottavano si’ varianti della strategia vista al punto (2), ma avevano anche tratti che potremmo definire “gentili”: tendevano a cooperare il più possibile, tendevano a “perdonare” eventuali non cooperazioni dell’avversario, e non cercavano di fare più punti del loro avversario.

La cosa più impressionante di tutte, pero’, fu che la strategia vincente fu anche la più semplice: Tit for Tat (traducibile più o meno come “occhio per occhio”), che faceva semplicemente questo:

  • Coopera al primo turno.
  • Copia la mossa fatta dall’avversario al turno precedente.

Come ci dice la saggezza popolare, “le cose semplici sono sempre le migliori”.

Per un’estesa discussione su questi aspetti, vi é un intero capitolo a loro dedicato nel best-seller di Dawkins Il Gene Egoista, ed anche una pagina di Wikipedia fatta piuttosto bene (in Inglese):
http://en.wikipedia.org/wiki/Prisoner’s_dilemma

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La Musica di Tutti i Giorni

Posted by scardax su novembre 9, 2009

Vi siete mai chiesti cosa accomuna la musica al linguaggio parlato di tutti i giorni? Come si produce un generico suono? Cosa lo distingue dagli altri? Se si’, questo é decisamente l’articolo (molto, molto introduttorio) che fa per voi (e noterete come io stia cercando di migliorare le mie capacità pubblicitarie).

Un suono é, in termini tecnici, un’onda meccanica: questo vuol dire che viene prodotto un suono ogni qualvolta un oggetto produce una vibrazione, e questa vibrazione si trasmette nel mezzo che lo circonda tramite continui cambiamenti di pressione nel mezzo stesso. Quando quest’onda raggiunge un secondo oggetto pronto a riceverla, vi é la percezione del suono. Generatore, mezzo, e ricevitore possono essere dei tipi più diversi, ad esempio:

  • Generatore: uno strumento musicale (a fiato, a corde…); l’aria che passa attraverso le corde vocali (che, in realtà, non sono corde) e viene poi modulata all’interno della bocca umana; un’esplosione che provoca uno spostamento d’aria…
  • Mezzo di propagazione: l’aria é chiaramente il mezzo più comune, ma é possibile sentire suoni sott’acqua, o propagarli attraverso un mezzo solido (come un muro). Come avrete capito, non ci puo’ essere suono nel vuoto, non essendoci un mezzo di propagazione.
  • Ricevitore: l’orecchio umano é uno dei più sofisticati, ma abbiamo anche i microfoni, e cosi’ via.

Descrivere il suono come un’onda mette in evidenza il fatto che, in generale, qualunque suono puo’ essere pensato come periodico, anche se di breve durata o particolarmente complesso. Il suono più semplice di tutti, chiaramente, é quello che segue un andamento sinusoidale (immagine in gentile concessione da torinoscienza.it):


Onda
Dall’immagine possiamo notare le prime due caratteristiche salienti di un generico suono: l’ampiezza, ovvero l’altezza massima raggiunta dall’onda, che é in relazione con l’intensità del suono che percepiamo; e la lunghezza d’onda, ovvero la distanza fra due creste, che determina la frequenza dell’onda, ovvero il suo numero di oscillazioni al secondo (che viene generalmente misurato in Hertz). L’orecchio umano é sensibile ad un determinato intervallo di frequenze che decresce con l’età, e che é compreso in media fra i 20 ed i ventimila Hertz. Suoni di frequenza maggiore vengono detti ultrasuoni (e sono percepiti, in parte, dai cani), mentre suoni di frequenza più bassa sono gli infrasuoni.

La frequenza di un suono, in termini generali, determina quanto acuto é quel suono (in realtà questo viene determinato dall’altezza del suono, che dipende a sua volta dalla frequenza): maggiore la frequenza, maggiore l'”acutezza” (provate a pensare a quello che viene chiamato un suono “basso”, ovvero a bassa frequenza). La frequenza e l’ampiezza non determinano da sole tutto il suono: due suoni con stessa frequenza possono essere percepiti in maniera molto diversa a seconda del loro “timbro“, ovvero della forma della loro onda. Un suono con una forma sinusoidale perfetta viene detto armonica, ed un suono generale puo’ sempre essere espresso come la somma di un certo numero di queste armoniche.

(L’altezza di un suono viene misurata con riferimento alla frequenza di oscillazione del Diapason in La, che potete vedere durante l’accordatura degli strumenti prima di un concerto.)

In particolare, un suono emesso da uno strumento musicale o dalla voce umana é la somma di un’armonica detta fondamentale e dai multipli di questa armonica. Per darvi un esempio di quanto detto fin qua, potete seguire questi due links per ascolta una serie di suoni che si differenziano per altezza, frequenza e timbro:

http://www.soloclassica.it/suono.htm
http://www.soloclassica.it/suoniarmonici.htm

Vi interessa questo argomento o suoi aspetti specifici? Fortunati! Uno dei siti più interessanti sull’argomento é proprio in Italiano:

http://fisicaondemusica.unimore.it/

Per lasciarvi con un’ultima curiosità, esistono alcune persone, in particolare i maggiori compositori classici quali Bach o Paganini, dotati di un “orecchio assoluto“, ovvero della capacità di riconoscere istantaneamente le note di una melodia senza bisogno di altri riferimenti!

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Inseguendo i Sogni (parte 2)

Posted by scardax su ottobre 11, 2009

Poco più di un anno fa, avevamo calcolato le probabilità di fare uno sperato 6+1 al Superenalotto. Visto che negli ultimi giorni spopola un nuovo gioco, l’ormai celebre Win for Life, cerchiamo di ripetere i calcoli per vedere se anche in questo caso le probabilità sono cosi’ assurdamente contro di noi nel caso pensassimo di cominciare a giocare.

Come per il Superenalotto, concentriamoci sul premio più ambito, ovvero la rendita vitalizia (o, meglio, ventennale) di 4000 al mese. Il gioco é abbastanza semplice: con una giocata di un euro, dobbiamo scegliere dieci numeri su venti da una schedina, e la macchina delle scommesse ci assegnerà automaticamente un undicesimo numero, il “Numerone”, indipendente dai primi dieci. Ogni giorno, vengono estratti dieci numeri ed un Numerone, e se tutti gli undici numeri coincidono con la vostra schedina la rendita vitalizia é vostra (altrimenti, si vincono premi minori indovinando dai sette ai dieci numeri).

Le probabilità di vincere il superpremio é quindi legata a due fattori indipendenti: i dieci numeri, ed il numerone.

P_{superpremio} = P_{dieci numeri} * P_{numerone}

La probabilità di azzeccare il numerone é esattamente 1/20, mentre quella dei dieci numeri é la probabilità di azzeccare una combinazione di dieci numeri fra venti, indipendentemente dall’ordine (la formula per questo caso l’avevamo ricavata nell’altro post):

P_{dieci numeri} = \displaystyle \frac{1}{C_{20,10}} = 1 / \frac{20!}{10!(20 - 10)!} = 5.41 * 10^{-6}

Complessivamente:

P_{superpremio} = 5.41 * 10^{-6} / 20 = 2.7 *10^{-7}

Confrontandola con quella del superenalotto, otteniamo che vincere al Win for Life é più semplice di un fattore ottantaquattro (circa), mentre in generale il ricavato (senza considerare che i soldi ottenuti fra diversi anni sarebbero da scontare) é in proporzione maggiore (quattromila euro per vent’anni sono meno di un milione di euro in totale).

Vi é una seconda possibilità nel Win for Life, che é giocare 2 €, che ci permette di vincere la rendita quasi-vitalizia anche non azzeccando nessun numero fra i venti, ma azzeccando il numerone, il cosiddetto 0+1. Poiché ci sono solo venti numeri in tutto, questo equivale ad azzeccare i dieci numeri che non si sono giocati fra i venti complessivi, e quindi i conti sono esattamente uguali al primo caso: giocando due euro, quindi, raddoppiamo la nostre probabilità di vincita, esattamente come nel Superenalotto (quindi nessun particolare vantaggio).

Vi sono sette estrazioni per il Win for Life, contro le due del Superenalotto, fattore che non partecipa al calcolo delle probabilità, ma indubbiamente aumenta l’apparenza di facilità di vittoria (“cinque vincitori questa settimana! tre la scorsa settimana!”).

Vale la pena giocare? A voi la risposta! 🙂

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Introduzione alla Teoria dei Giochi – Parte 1

Posted by scardax su ottobre 8, 2009

Cominciamo oggi una serie di articoli che parlano della Teoria dei Giochi e delle sue applicazioni, dall’evoluzionismo alla computer science passando per l’economia. Per il momento non c’é nulla di completamente definito, quindi li scrivero’ man mano a seconda del gradimento e/o delle richieste (e prendetelo come un consiglio: se vi piace, commentate! 🙂 ).

La Teoria dei Giochi é estremamente interessante perché, in fin dei conti, il suo oggetto di studio é tanto astratto da risultare anche difficilmente definibile: in termini generali, si occupa di analizzare tutte quelle situazioni in cui due o più agenti (razionali) si confrontano in un’attività competitiva, o cooperativa, cercando di prevalere sugli altri, o formando opportune alleanze. Ma quante situazioni di questo tipo potete immaginare? Provate a rifletterci per pochi attimi:

  • Animali in lotta per prevalere in un determinato habitat naturale.
  • Computer connessi in rete che cercano di ottenere l’accesso al mezzo condiviso (ad esempio un cavo telefonico, o l’etere).
  • Ognuno dei moduli cerebrali che si sforzano di guadagnare l’attenzione del settore cosciente del cervello.
  • Aziende in competizione, politici in gara per un seggio.
  • Giochi nel termine ludico della parola: scacchi, dama, backgammon…

Questa varietà di applicazioni spiega il suo enorme successo: in pratica, non vi é materia che non l’abbia sfruttata per i propri scopi. La teoria dei Giochi, quindi, non é altro che un insieme di strumenti, a disposizione di chiunque ne necessiti: se riuscite a modellare una qualche situazione con uno delle tante definizioni di “gioco” che la teoria vi mette a disposizione, potrete sfruttare tutte le tecniche risolutive a lui associate per ottenere importanti chiarimenti sulla situazione stessa.

Cominciamo dalla situazione più semplice in assoluto: ci sono una serie di giocatori, e ciascuno é chiamato a compiere una qualche scelta, all’insaputa delle decisioni degli altri. Dalla decisione complessiva dipende l’esito del gioco. Questo (o, meglio, il modello matematico corrispondente) viene detto gioco in forma normale, e costituisce il mattoncino fondamentale con cui vengono costruite ed analizzate tutte le situazioni più complesse.

Come possiamo definirlo matematicamente? Abbiamo bisogno di tre categorie di oggetti:

  1. Un insieme I per i giocatori: il caso più semplice é quello in cui ve ne sono due, ma niente impedisce che ve ne siano di più (purché in numero finito).
  2. Per ciascun giocatore, un insieme di azioni A_i che gli é permesso compiere. Generalmente queste vengono dette le sue strategie (e l’insieme indicato con S_i), ma nei casi più complessi i due concetti sono separati: qui, ad ogni scelta di un’azione corrisponde una strategia, ma in generale questo non é vero.
  3. Una qualche funzione che ci indichi il grado di soddisfazione di ogni giocatore per ogni possibile esito del gioco. Il gioco ha una diversa conclusione per ogni possibile combinazione delle scelte dei giocatori: indicando l’insieme di queste scelte con S (matematicamente, é un prodotto cartesiano degli insiemi delle azioni di ciascun giocatore), possiamo dire che ad ogni giocatore deve essere associata una funzione di utilità u_i(s): S \rightarrow R, ovvero una funzione che ritorni un numero reale per ogni esito.

L’ultimo punto é quello più misterioso: come ottenere questa funzione? In realtà, é estremamente semplice, perché é importante solo che i suoi valori permettano di comparare fra loro due diverse scelte. Per costruirla, é sufficiente ordinare tutti i possibili esiti di un gioco dal peggiore al migliore (dal punto di visto del giocatore per il quale la stiamo costruendo) e poi assegnare valori numerici crescenti a ciascuno di essi. Facciamo un esempio preso dal mondo reale:

E’ tardo pomeriggio, e state decidendo con il vostro compagno (o la vostra compagna) come passare la serata. Lui (o lei) preferirebbe andare al cinema, mentre voi preferireste andare a teatro. Se non riuscite a mettervi d’accordo, rimanete a casa entrambi.

Vi sono due persone in ballo, ed in competizione, quindi é sicuramente terreno fertile per la teoria dei Giochi. Vediamo come ottenere la forma normale di questo gioco:

  1. L’insieme dei giocatori ha due elementi, voi ed il vostro compagno/a. Per facilità, lasciatemi chiamarvi A e B. Quindi I = \{ A, B \}.
  2. Ognuno di voi ha le stesse due azioni possibili: decidere di andare al cinema (chiamiamola C), e decidere di andare a teatro (chiamiamola T). Quindi A_A = A_B = \{ C, T \}.
  3. Assumiamo che ciascuno di voi due preferisca uscire per fare qualcosa (pur avendo una preferenza fra le due alternative). Assegnando 0 all’utilità dello stare a casa, 1 all’uscire andando dove preferisce l’altro, e 2 al fare quello che si preferisce, e riorganizzando tutte queste informazioni in una comoda tabella, otteniamo:

A / B C T
C (2, 1) (0, 0)
T (0, 0) (1, 2)

La tabella dovrebbe essere abbastanza intuitiva da leggere: le righe sono le possibili azioni del primo giocatore, le colonne le possibili azioni del secondo giocatore, ogni casella un esito del gioco con relative utilità.

Ma ora, cosa ce ne facciamo di questo modello? Se fossimo A, cosa dovremmo giocare per vincere? E se fossimo B? Nel prossimo post vedremo alcuni esempi di concetti risolutivi che ci permetteranno di rispondere, almeno parzialmente, a queste domande.

Prima di concludere, pero’, un ultimo dettaglio. Abbiamo detto che il giocatore ha una strategia possibile per ogni azione: in realtà, ne ha molte di più. Ciascun giocatore potrebbe decidere di associare una qualche distribuzione di probabilità al suo insieme di strategie, e decidere in funzione di quello. Ad esempio, A potrebbe decidere di giocare C il 60% delle volte e T un altro 40%: questa é quella che viene detta strategia mista, in opposizione alle strategie pure (la scelta sicura di un’azione).

Più che mista, quest’ultima trovata puo’ sembrare molto mistica: che vuol dire “scegliere in funzione di una distribuzione di probabilità“? Riempire una ciotola di palline colorate ed estrarne una a caso? Tirare una monetina? Quando mai si vedono cose del genere nella realtà? In realtà, é più comprensibile se lo vediamo come un espediente matematico: il più delle volte le strategie miste servono per modellare alcuni casi particolari, come quando non sappiamo con certezza quello che giocherà un giocatore, o quando vogliamo rappresentare la “scelta media” di un insieme di giocatori, o ancora quando vogliamo rappresentare la scelta di uno stesso giocatore, ma quando si trova davanti al gioco un numero ripetuto di volte.

E questo é tutto per i giochi in forma normale. Commenti, consigli, proposte ed insulti: commentate!

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Ricerche (in)utili

Posted by scardax su ottobre 3, 2009

Facciamo un piccolo inframezzo comico, visto che é il fine settimana e non ho voglia di scrivere nulla di troppo serio.
Pochi giorni fa sono stati assegnati gli igNobel per il 2009, ovvero i premi che hanno il ruolo opposto dei Nobel: premiare le ricerche apparentemente più inutili (dico apparentemente, ma forse potrei dire anche “decisamente”). Quest’anno l’onore é spettato a (evito la facile ironia perché le notizie si commentano da sole):

  • Medicina veterinaria: Catherine Douglas e Peter Rowlinson della Newcastle University, per aver scoperto che le mucche a cui viene dato un nome producono più latte delle mucche a cui il nome non viene dato (nota divertente: la Douglas non é potuta partecipare perché ha recentemente partorito, ma ha inviato una foto di lei insieme alla figlia vestita con una tuta da mucca).
  • Pace: cinque ricercatori dell’University of Bern, per aver determinato che rompere una bottiglia vuota di birra sulla testa di qualcuno é più pericoloso che rompere una bottiglia piena (almeno, questo é quello che ho capito dall’abstract della ricerca. Ero troppo impegnato a ridere). Link all’articolo.
  • Economia: ad una serie di gestori e direttori di banche Islandesi, per aver dimostrato come piccole banche possono diventare improvvisamente grandi banche, collassare, e far seguire lo stesso percorso all’intera economia nazionale (questo é un pelino cattivo).
  • Chimica: tre ricercatori dell’Universidad Nacional Autónoma de México che sono riusciti a creare diamanti dalla Tequila!
  • Medicina: Donald L. Unger, originario della California, che per esplorare le possibili cause di artrite ha fatto scrocchiare le dita della propria mano sinistra ma non quelle della mano destra, ogni giorno per oltre sessant’anni.
  • Fisica: Katherine K. Whitcome dell’University of Cincinnati per aver dimostrato analiticamente il motivo per il quale le donne incinte non si ribaltano.
  • Letteratura: An Garda Siochana, il corpo di polizia Irlandese, i cui agenti hanno multato oltre cinquanta volte Prawo Jazdy, che si é poi rivelato il termine polacco per “Patente di guida”.
  • Salute Pubblica: tre ricercatori di Chicago che hanno inventato un reggiseno che, all’occorrenza, si trasforma in una coppia di maschere antigas.
  • Matematica: Gideon Gono, governatore della Reserve Bank dello Zimbabwe, per aver fatto stampare banconote con un taglio variabile dal centesimo al centinaio di migliaia di miliardi di dollari, ed aver dato quindi alla gente una nuova maniera di affrontare l’aritmetica.
  • Biologia: tre ricercatori dell’Università di Kitasato, in Giappone, per aver dimostrato che i rifiuti organici della cucina possono essere ridotti del 90% usando batteri estratti – persone sensibili non leggete oltre – dalle feci del Panda.

Qui trovate il link originale, da cui ho tratto la traduzione (ed anche le premiazioni degli anni precedenti):

http://improbable.com/ig/winners/#ig2009

Venitemi ancora a dire che tutti i ricercatori sono persone noiose e serie, dai. Vi sfido.

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