6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Il Casinò Quantico

Traduzione dell’articolo originale The Quantum Casino

In due parole, l’obiettivo della Meccanica Quantistica é calcolare le proprietà (come la posizione ed il momento) delle particelle. Nella Fisica Classica (quella generalmente usata per desrivere gli oggetti di tutti i giorni che ci circondano), tutti gli oggetti possiedono proprietà che sono delle loro qualità intrinseche. Per esempio, si potrebbe dire di una mela verde che il suo colore “ha” la proprietà “verde”. Possiamo chiamare questi oggetti, che hanno proprietà a loro inerenti e ben definite – come una mela – oggetti ordinari. Nella Fisica Classica tutto il mondo consiste di soli oggetti ordinari.

Pero’, come abbiamo visto nell’articolo Un’Introduzione alla Fisica Quantistica, la Meccanica Quantistica ci rivela che il mondo non é cosi’ semplice: tutto nell’Universo é fatto di peculiari oggetti quantici onde/particelle. Ciascuna proprietà chiave delle particelle – come la loro posizione – era stabilita solamente dopo che una qualche misura era stata effettuata. Prima di questa misura, la particella non aveva una posizione definita, essendo dilatata in tutto lo spazio proprio come un’onda.

Quindi la Meccanica Quantistica ci mostra che non possiamo parlare di oggetti aventi un particolare valore per una proprietà prima di fare la misura – come se la misura stessa creasse il valore della proprietà. Ancora più stranamente, vedremo successivamente che non possiamo neanche stabilire con certezza quale proprietà emergerà dalla misura – tutto quello che possiamo dire é che questa sarà una scelta casuale da un insieme di possibili valori!

Quindi la Meccanica Quantistica ci dice che la Natura, al suo livello più basilare, é fondamentalmente casuale. Questo puo’ essere uno shock per noi che siamo abituati a sequenze di cause ed effetti che si seguono l’una con l’altra in una maniera completamente prevedibile, deterministica. Questo é il modello di Newton chiamato “Universo Meccanico“, nel quale, se conoscessimo la posizione e la velocità di ogni atomo nell’Universo ad un tempo dato, conosceremmo automaticamente il suo intero futuro. In questo modello, l’Universo é visto come una grande macchina, i cui ingranaggi funzionano in maniera meccanicistica. Invece, la Meccanica Quantistica ci dice che la Natura, al livello più basso, é in realtà gestita da una serie di piccoli, casuali eventi, e non ci é concesso di indagare più a fondo per conoscere il motivo di questa casualità, a causa dei nostri limiti nell’ottenere una conoscenza più profonda (vedi il Principio di Indeterminazione di Heisemberg discusso nel primo articolo).

In fin dei conti, é come se fossimo tutti giocatori al tavolo del Casino’ Quantico della Natura.

Photobucket

Nel Casino’ Quantico possiamo immaginare una roulette come un congegno che determina i valori delle proprietà. Quando la pallina si ferma, é come se avessimo fatto una misura di quella proprietà: il suo valore sarà lo slot nel quale si é fermata la pallina stessa. E’ chiaro che la scelta é casuale, e vedremo successivamente che la proprietà puo’ assumere solo determinati valori (gli slot della roulette).

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Questo comportamento casuale ci rivela qualcosa di fondamentale sulla Meccanica Quantistica: essa puo’ solo mostrarci la probabilità di ottenere un determinato valore da una misura, ma non puo’ essere usata per fare predizioni esatte su un singolo valore. Questo perché la MQ é una teoria statistica: si applica a serie di misure. Si potrebbe pensare a questo come ad un difetto, ma in realtà é un’ottima cosa poter predire la probabilità di un risultato, specialmente quando si sta lavorando con milioni di eventi casuali (come nel caso di milioni di particelle). Nessun Casino’ conosce il risultato di ciascun giro di roulette, ma sanno che la Probabilità é dalla loro parte. E non vedrete mai un Casino’ povero!

Il Casino’ Quantico é speciale anche per un altro motivo: su una roulette, é possibile (in teoria) predire dove si fermerà la pallina, perché si puo’ misurare la velocità con cui viene lanciata, con cui gira, e, usando le leggi classiche del Moto di Newton, scoprire dove finirà la sua corsa. Non é facile, ma é possibile.

Il Casino’ Quantico é differente: non esiste una maniera di calcolare dove atterrerà la pallina. E’ come se ci fosse un buttafuori che vi impedisca di fare rilevazioni. Non siete capaci di determinate la velocità della ruota, né la velocità della pallina. Similmente, nel mondo Quantico misuriamo la proprietà di una particella per la quale ci é fondamentalmente proibito indagare più a fondo per analizzarne il meccanismo Quantistico e predire il risultato. E’ un limite fondamentale della Fisica. Dobbiamo accettare che i risultati delle nostre misure saranno casuali, e che non possiamo ottenere di meglio. Non potremo mai ottenere di meglio. E’ per questo che abbiamo detto che il comportamenteo della Natura é fondamentalmente casuale: perché non ci é possibile analizzare gli strati più profondi.

In maniera vagamente bizzarra, vedremo che prima di fare la misura, dovremo considerare la proprietà come se stesse prendendo tutti i possibili valori. Questo é equivalente alla situazione nella quale la pallina sta rotolando sulla ruota della roulette, e potrebbe potenzialmente fermarsi in qualunque slot. Questo spiega l’interferenza dell’esperimento della doppia fenditura: prima che la posizione della particella sia misurata, deve essere considerata come stante in tutte le possibile posizioni.

Ora considereremo come questi risultati sono ottenuti, creando un modello matematico che ci permetta di calcolare le probabilità quantistiche.

La Funzione d’Onda

Nell’articolo precedente, avevamo visto i risultati di Planck e de Broglie, che rivelavano che a volte le onde agiscono come particelle, e a volte le particelle agiscono come onde:

Photobucket

La domanda era: é possibile capire questa strana dualità onda/particella combinando i due risultati in un’unica equazione, e nel processo ottenere qualche intuizione sulla vera natura della Realtà al livello Quantistico?

Se la particella agisce come un’onda, questo solleva la domanda “qual’é la natura dell’onda“? Consideriamo l’equazione di un’onda che si propaga:

Photobucket

Usando questa formula possiamo costruire un modello estremamente semplificato che tratti l’onda associata ad una particella come un’onda che si propaga in una sola dimensione. L’onda risultante é chiamata Funziona d’Onda, Photobucket. Potremmo immaginarla come una strana entità che si propaga nell’intero spazio. Per l’esperimento della doppia fenditura, possiamo pensare alla Funzione d’Onda come all’entità che passa attraverso entrambe le fessure contemporaneamente, creando lo schema d’interferenza.

Photobucket

(Nota: l’equazione (v) é una forma compatta dell’equazione di Schrödinger. Possiamo ottenere la forma completa rimpiazzando l’energia, E, con la somma dell’Energia Cinetica e dell’Energia Potenziale di una particella. La vedremo fra qualche articolo [se ci arriveremo, NdT].)

Nelle equazioni (iv) e (v) vediamo che abbiamo due forme differenti della Funzione d’Onda a seconda che ci interessi misurare il momento di una particella o la sua energia (le proprietà di un oggetto che sono soggette al meccanismo Quantistico – come la posizione ed il momento – sono chiamate osservabili).

(Le due coppie di osservabili in queste due equazioni – posizione/momento ed energia/tempo – sono chiamate coppie di osservabili complementari o coniugate, perché il Principio di Indeterminazione di Heisenberg ci dice che più accuratamente determiniamo il valore di un’osservabile di una coppia di coniugate, meno accuratamente potremo conoscere il valore dell’altra. Per esempio, come già visto, più accuratamente misuriamo la posizione di una particella, meno accuratamente potremo conoscere il suo momento. L’energia di una particella in un certo istante di tempo forma una seconda coppia di osservabili.)

Considerando le equazioni, ciascun tipo di osservabile é associata ad un diverso operatore (un’operatore rappresenta un’operazione matematica più o meno complessa, come “+” o “x”). Per esempio, considerando l’osservabile del momento nell’equazione (iv), l’operatore del momento della parte sinistra dell’equazione é una derivazione rispetto alla posizione.

Photobucket

Quindi possiamo rappresentare la Funzione d’Onda come:

Photobucket

Quello che abbiamo nella parte sinistra dell’equazione é l’operatore del momento applicato alla Funzione d’Onda, mentre nella parte destra abbiamo un valore scalare del momento (un numero), P, che moltiplica la Funzione d’Onda. Questo tipo di equazione é ben noto in Matematica: la Funzione d’Onda viene detta autofunzione, mentre il momento scalare viene detto autovalore.

La forma della Funzione d’Onda é differente a seconda di quale osservabile desideriamo misurare. Per l’osservabile del momento misurata sull’asse x puo’ essere dimostrato che la Funzione d’Onda prende la forma di un’Onda Piana:

Photobucket

Questo si puo’ fare sostituendo questo valore di Photobucket nella parte sinistra dell’equazione degli autovalori (vi) ed arrivando alla corretta parte destra:

Photobucket

Quindi la Funzione d’Onda (vii) é una soluzione dell’equazione degli autovalori (vi). Si dimostra che la (vii) ha la forma di un’onda nel piano complesso – non il comune piano Euclideo a tre dimensioni. Quindi é meglio non fare lo sbaglio di tentare di immaginare la Funzione d’Onda come una semplice onda nel nostro spazio (come fosse un’onda dell’oceano, ad esempio). Deve essere considerata come un’onda nel piano complesso. L’apparentemente esoterico spazio dei numeri complessi si rivela essere un elemento chiave della realtà Quantistica.

Fin qui abbiamo mostrato come la Funzione d’Onda é una particolare entità che si diffonde nello spazio, ma quando facciamo una precisa misura di una certa osservabile di una particella (come la posizione) otteniamo un valore preciso. Per una particella in un dato stato, questo valore puo’ essere solo uno di un insieme di possibili valori – uno degli autovalori. In questo senso, gli autovalori possono essere considerati come gli unici stati “permessi”, con i corrispondenti stati “permessi” chiamati autostati (i valori consentiti sono l’equivalente degli slot numerati nella ruota della roulette del Casino’ Quantico). Questo assomiglia alla situazione di un’onda stazionaria su una corda: fissando la corda ad entrambe le estremità, solo certe combinazioni risonanti sono consentite:

Photobucket

Lo Spazio degli Stati

La Funzione d’Onda puo’ essere pensata come se descrivesse il valore di una qualche osservabile prima di una misura. In altre parole, puo’ essere pensata come se fosse lo stato quantico del sistema. Per poter analizzare il comportamento del sistema, é utile rappresentare lo stato della Funzione d’Onda come un vettore in uno spazio degli stati:

Photobucket

Il tipo particolare di Spazio degli Stati usato per la rappresentazione dei vettori di stato della Funzione d’Onda é chiamato uno spazio di Hilbert. Questi non é altro che uno spazio vettoriale complesso (ovvero i valori che moltiplicano i vettori ortogonali di base possono essere numeri complessi). Possiamo rappresentare gli autostati tramite dei vettori ortogonali chiamati autovettori:

Photobucket

Il Teorema Spettrale ci dice che questi autovettori formano una base ortogonale che puo’ essere usata per raggiungere l’intero spazio dei vettori. Questo vuol dire che, in qualunque stato si trovi il sistema (rappresentato dalla freccia rossa nella figura sotto), possiamo rappresentarlo come la somma (o meglio, sovrapposizione) di diverse quantità degli autostati. Il valore con cui ciascun autostato contribuisce al totale viene detto componente:

Photobucket

Quindi qualunque stato della Funzione d’Onda del sistema puo’ essere generato da una combinazione lineare degli autostati (un fenomeno conosciuto come sovrapposizione quantistica). Stranamente, prima che venga effettuata una misurazione, lo stato quantico del sistema esiste come un mix di tutti i suoi stati simultaneamente. Questo é proprio quello che osserviamo nell’esperimento della doppia fenditura: tutte le possibili posizioni dell’elettrone si combinano per produrre uno schema d’interferenza. (Questo é equivalente allo stato in cui la pallina sta girando sulla ruota della roulette nel Casino’ Quantico: potrebbe potenzialmente finire su qualsiasi slot prima di arrestarsi, quindi in quell’istante dobbiamo considerare il sistema come se fosse in una sovrapposizione di tutti i possibili stati).

Possiamo fare un’analogia con la sovrapposizione di onde. Puo’ essere dimostrato che una qualunque onda, complicata quanto si vuole (che rappresenta il vettore di stato) é composta da diverse quantità di semplici armoniche (che rappresentano gli autostati):

Photobucket

Applicando uno specifico operatore (associato ad una particolare osservabile) risulta quindi che il sistema sembra “saltare” ad un particolare autostato, con un autovalore a lui associato (equivalente alla pallina che si ferma sullo ruota della roulette nel Casino’ Quantico). Questo é l’equivalente matematico del processo di “misurare” una quantità osservabile. Per gli operatori autoaggiunti (il tipo di operatori che si incontrano nella Meccanica Quantistica) gli autovalori sono sempre reali (quindi non immaginari). Questi numeri reali rappresentano i valori delle osservabili che misuriamo quando il sistema salta al corrispondente autostato:

Photobucket

A questo punto, si dice che la Funzione d’Onda ha “collassato” su un autostato (questo processo di salto significa che noi non abbiamo generalmente a che fare con oggetti nella loro sovrapposizione di stati quantici – un gatto che allo stesso istante é sia vivo che morto, ad esempio). Considerando l’analogia con la sovrapposizione di onde, questo é come se il sistema scegliesse solo un’armonica dalla complicata composizione di onde.

Se misuriamo nuovamente l’osservabile otteniamo lo stesso risultato – nessuna probabilità in gioco. Si dice che la Funzione d’Onda ha collassato ad un particolare (auto)valore dell’osservabile.

(Nota storica: questa rappresentazione di spazio degli stati fu sviluppata dal grande fisico e matematico Inglese Paul Dirac. Cosi facendo, mostro’ che le due rappresentazioni in competizione allora, quella di Schrödinger (di cui abbiamo considerato la Funzione d’Onda) e la Meccanica Matriciale di Heisenberg, avevo la stessa rappresentazione nello spazio degli stati ed erano, quindi, identiche.)

Ma su quale dei molti possibili autostati il sistema sembra saltare? L’autovalore, come abbiamo già detto, é selezionato su basi puramente probabilistiche. Quando prendiamo una misura é come se un dado (dietro il sipario) fosse lanciato ed uno dei possibili stati fosse selezionato casualmente.

Tutto quello che possiamo dire é che se un’autovalore porta un grande contributo alla forma della Funzione d’Onda, la probabilità per lui di essere selezionato aumenta. La probabilità di un vettore degli stati di saltare ad un particolare autostato é quindi legata al prodotto scalare del vettore stesso con il particolare autovettore. In pratica, più vicino lo stato corrente é ad un particolare autostato, più é probabile che esso ci salti sopra (che é anche abbastanza logico una volta che ci si pensa).

Questo comportamento casuale ci rivela qualcosa di veramente fondamentale sulla Meccanica Quantistica, che abbiamo già ripetuto più volte: essa puo’ solo dirci le probabilità di ottenere un dato valore da una misurazione, ma non puo’ mai fare una predizione esatta.

Sommario

Ecco un utile sommario di quello che abbiamo scoperto finora:

  • Le particelle hanno delle caratteristiche chiamate osservabili.
  • Dopo la misura (osservazione), l’osservabile di una particella puo’ prendere uno dei possibili valori chiamati autovalori.
  • Prima della misura (osservazione), l’osservabile di una particella agisce come se fosse in un mix (sovrapposizione) di questi possibili autovalori.
  • La selezione del particolare autovalore sembra essere un processo totalmente casuale. Quindi, la Meccanica Quantistica puo’ dare predizioni puramente statistiche: non puo’ accuratamente predire il risultato di una singola misura, ma puo’ solo fornire le probabilità dei risultati quando facciamo una serie di misure.

La Notazione Bra-Ket

Paul Dirac sviluppo’ la notazione bra-ket come metodo per descrivere la Meccanica Quantistica. Uno stato (vettore) é descritto da un vettore colonna, Photobucket, chiamato “ket“. Ad ogni vettore “ket” é associato un vettore colonna, , chiamato “bra“. Il bra é la trasposizione del complesso coniugato del vettore ket (anche chiamato trasposto coniugato).

Il prodotto scalare del vettore bra con il vettore ket é scritto come:

E’ stato detto in precedenza che la probabilità di un vettore degli stati di saltare ad un particolare autostato era legata al prodotto scalare del vettore degli stati con il particolare autovettore. La probabilità é data, in effetti, dal quadrato del modulo del prodotto scalare. Quindi la probabilità dello stato Photobucket di saltare all’autostato é denotata in notazione bra-ket da:

E’ anche possibile definire un prodotto tensoriale del vettore ket con il vettore bra, indicato come:

Quindi il prodotto scalare é:

Photobucket

Ed il prodotto tensoriale é:

Photobucket

NB: cliccate sulle ultime due immagini per ingrandirle, ho dovuto scalarle perché non entravano nella pagina.

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4 Risposte to “Il Casinò Quantico”

  1. AkiRoss said

    Tutto cio’ e’ molto complicato per me 😐 Dovro’ rileggere con calma.

  2. AkiRoss said

    Oh, ora ho capito anche la parte degli autovalori 🙂 Interessante!

    Faccio notare un piccolo errore nella parte finale: quando spieghi la divisione bra-ket usi l’immagine di ket anziche’ la bra.

    Ora la parte 3 😉

  3. alessandro said

    molto interessante!

  4. scardax said

    Grazie!

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