6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Utopie Matematiche

Posted by scardax su gennaio 28, 2010

Nel 1951, a pochi anni dalla conclusione della Seconda Guerra Mondiale, l’americano Kenneth Arrow dimostro’ matematicamente un risultato che sconvolse l’intera comunità scientifica, e che gli valse in seguito anche il premio Nobel: nessun sistema di voto, egli disse, esistente o ancora da inventarsi, puo’ realmente considerarsi “giusto”; di conseguenza, nessuna democrazia potrà mai realmente dirsi “perfetta”, almeno in un senso classico del termine.

Da allora, questo teorema fu ripreso e frainteso infinite volte, fino ad entrare nell’immaginario collettivo di molte persone insieme ad altri teoremi “incapacitanti” simili come quello di Gödel. Ma cosa dimostro’ realmente Arrow?

Per capirlo, partiamo dall’inizio: cos’é un sistema di voto?

Un sistema di voto puo’ considerarsi come un qualcosa che fa corrispondere ad una serie di preferenze individuali (quelle di ogni cittadino) un’unica preferenza della società; e per poter essere considerato corretto, ovviamente, il sistema deve cercare di rispettare equamente ciascuna delle preferenze di partenza. Matematicamente parlando, supponiamo di avere un certo numero di candidati per un’elezione (C1, …, Cn). Ciascun elettore ha un proprio ordine di preferenza per questi candidati, ed in tutto vi sono m elettori. Se indichiamo con P(C) un possibile ordinamento dei candidati, possiamo definire un generico sistema di voto come una funzione che associa alle m preferenze degli elettori una singola preferenza (di società):

V: (P(C))^m \rightarrow P(C)

Qualunque sistema di voto che conoscete, in sostanza, puo’ essere descritto in questa maniera: dal più semplice “contare le preferenze in ciascuna posizione”, a modalità estremamente più complesse, questa formalizzazione cattura lo spirito della discussione. A questo punto, arriviamo al punto focale del dibattito: come possiamo definire “giusto” un sistema di voto? Quali proprietà esso deve possedere? Arrow ne scelse tre (potete divertirvi a formalizzarle rispetto a quanto detto prima):

  • Unanimità (o efficienza di Pareto): se tutti gli elettori preferiscono un candidato A ad un candidato B, allora anche nell’ordine risultante A sarà preferito a B.
  • Non Dittatorialità: non esiste un elettore le cui preferenze prevalgono sempre sugli altri, ovvero non esiste un elettore tale che il risultato del voto sia sempre uguale alle sue scelte personali.
  • Indifferenza delle Alternative: se A é preferito a B dati un certo numeri di candidati, introdurne di nuovi non cambierà questa preferenza (ovvero, non é possibile che un candidato perda contro tre concorrenti, ma vinca se vi si aggiunge un quarto).

Ed eccoci infine al risultato: Arrow dimostro’ che, se vi sono almeno due elettori e tre candidati, non esiste nessuna funzione matematica che soddisfi queste tre condizioni insieme!

Da qualunque lato lo si guardi, é comunque un teorema sconfortante, in quanto dimostra che una votazione, nonostante la sua facilità di descrizione, é un problema estremamente complesso e difficile da analizzare (e da progettare). Sembra che, comunque vadano le cose, dobbiamo accontentarci di un sistema non ottimale. Ovviamente, un risultato matematico é valido nei limiti in cui sono valide le premesse. In particolare, in che misura deve essere realmente verificata la terza condizione? E’ proprio vero che un candidato nuovo non possa modificare le mie preferenze individuali? E soprattutto, é proprio vero che io debba avere un ordine completo di tutti i candidati in testa?

Per una rapida discussione su questi problemi, potete tranquillamente cominciare dalla pagina di Wikipedia (e dai suoi links):
http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow’s_impossibility_theorem

Annunci

10 Risposte to “Utopie Matematiche”

  1. peppe said

    Sempre interessante! Mi fa sempre piacere passare di qui

  2. scardax said

    E’ molto interessante, soprattutto perché sono temi poco conosciuti!
    Grazie della visita e del commento. 🙂

  3. vfede said

    quoto, non avrei mai pensato potesse esistere.
    ora si.

    vf

  4. Volevo segnalare che l’opera di Arrow (che poi è la trasformazione in libro della sua tesi di dottorato) è scaricabile gratuitamente dal sito della Cowles Commission Foundation:

    http://cowles.econ.yale.edu/

    Per la precisione, sono disponibili sia l’edizione originale del 1951 che la seconda edizione del 1963. Sono scaricabili sia “capitolo per capitolo” che l’opera completa:

    http://cowles.econ.yale.edu/P/cm/m12/index.htm

    http://cowles.econ.yale.edu/P/cm/m12-2/index.htm

  5. scardax said

    Grazie mille, sempre gentilissimo! 🙂

  6. […] tra le altre cose, quanto è complessa la cooperazione fra individui; abbiamo accennato “l’impossibilità” della democrazia; abbiamo scherzato sul populismo della politica. Tutti questi sono ovviamente esempi molto […]

  7. Aki said

    Oh cavoli, questo me l’ero perso!! Molto interessante 🙂 Anche se personalmente l’unanimità mi sembra semplicemente un vincolo troppo restrittivo e poco sensato in democrazia.

    Però è interessante come prospettiva 🙂

  8. scardax said

    Grazie! come l’unanimità? Forse intendevi l’indifferenza alle alternative?

  9. Aki, la unanimità è intesa in senso diverso da come immagini. Non si richiede l’unanimità per scegliere tra A e B. Si dice solo che, se TUTTI preferiscono A a B, allora la società deve preferire A a B.

  10. Aki said

    Ah giusto, grazie 😀 In effetti ho associato quel termine all’idea solita di unanimità senza pensarci troppo, ma rileggendo è evidente che non è da intendersi nel senso classico. Rimangio il mio commento di prima 🙂

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

 
%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: