6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Tempi (Matematici) Moderni

Posted by scardax su gennaio 21, 2010

C’é un paradosso affascinante nell’insegnamento odierno della matematica: nonostante questa abbia subito un’espansione incredibile negli ultimi due Secoli, non solo quantitativamente (con la nascita di numerosissime sotto-sotto-sottobranche), ma anche qualitativamente, passando ad interessarsi di oggetti via via più astratti e lontani dai numeri per i quali era nata (gruppi, varietà, sistemi, informazione, ragionamento…), la stragrande maggioranza di quella che viene insegnata nei licei é in sostanza derivata dai buoni vecchi Greci, escludendo poche branche da ultimo anno che pero’ con loro hanno comunque un collegamento diretto (come l’analisi delle funzioni).

Lungi da me il voler buttarmi nella spinosa questione della possibilità o meno di aggiornare i programmi correnti per includere argomenti più recenti, voglio solo far notare la fastidiosa conseguenza di tutto cio’: la maggior parte delle persone é ancora convinta che matematica significhi essenzialmente calcoli e formule, ed il distacco fra l’esperto ed il profano si fa di giorno in giorno maggiore.

Vediamo, per dare un esempio, una branca della matematica che ha, in sostanza, poco più di cento anni: la topologia, ovvero lo studio delle figure e delle forme. Qualunque oggetto che vi stia accanto definisce una superficie nello spazio: una palla da calcio definisce una superficie sferica, mentre un foglio di carta una superficie piana. Una ciambella (esempio classico della topologia), rappresenta una superficie leggermente più strana, ma pur sempre una superficie, e cosi’ via. Queste superfici possono essere aperte (come un foglio di carta), o chiuse (come la sfera), e quindi possedere o meno un bordo, avere dei “buchi” (come la ciambella), e cosi’ via.

La domanda é: ogni oggetto definisce una superficie, ma molte di queste sembrano simili fra loro. E’ possibile classificarle in diversi gruppi, cosicché ciascuno di essi possegga particolari proprietà matematiche? Per arrivare a questa classificazione, dobbiamo prima capire che non ci interessano la reale dimensione delle superficie, o la sua forma particolare, quanto il modo in cui questa é composta ed i suoi elementi sono connessi. Possiamo quindi arrivare alla seguente definizione (molto informale):

Due superfici sono topologicamente equivalenti se é possibile tramutare l’una nell’altra attraverso una serie di trasformazioni (allungamenti, stiramenti, torsioni) che non comportino il “taglio” o “l’incollamento” di due parti della superficie.

Seguendo questa definizione, scopriamo che per la matematica qualunque pallone é topologicamente equivalente: quello da rugby é equivalente a quello da calcio semplicemente comprimendolo ai lati. Anche la bottiglia dell’acqua é equivalente alla sfera, mentre una ciambella é equivalente ad una tazza di caffé. E la ciambella e la sfera, sono equivalenti? La risposta parrebbe no dopo qualche minuto di riflessione, ma ovviamente “parrebbe” é un po’ orrendo come risultato.

La topologia ha scoperto che esistono una serie di proprietà delle superfici (chiamate invarianti topologici) che consentono di classificarle in maniera accurata: ovvero, due superfici aventi determinati valori degli invarianti apparteranno per certo ad una data classe, mentre due superfici con invarianti diversi apparterranno a due classi diverse (e non potranno essere trasformate l’una nell’altra senza taglia e cuci). Nel caso delle superfici, due soli invarianti sono sufficienti alla classificazione:

  1. La caratteristica di Eulero della superficie. Questo valore é generalmente associato ad un poliedro, ed é uguale a V – E + F, dove V é il numero di vertici del poliedro, E il numero di spigoli (connessioni fra vertici) ed F il numero di facce. Supponete di ricoprire tutta la vostra superficie di poliedri: non importa come li scegliate, il valore di Eulero ottenuto sarà sempre lo stesso. Ad esempio, ricoprendo una sfera di triangoli, o di quadrati, o di qualsiasi altro poliedro, otterrete sempre un valore di Eulero pari a 2. Nel caso di una ciambella, invece, otterrete sempre un valore pari a 0: ciambella e sfera sono superfici topologicamente differenti. Da solo questo numero non é sufficiente: ad esempio, sia la ciambella che il nastro di Möbius hanno una caratteristica di Eulero pari a 0, ma non sono certo equivalenti.
  2. La seconda caratteristica é l’orientabilità, ovvero la possibilità di poter definire orientamenti destrorsi o sinistrorsi. Provate a pensare di disegnare una freccia su una sfera, e di farle compiere un giro completo intorno alla sfera: riotterrete lo stesso orientamento della freccia. Provate a farlo su un nastro di Möbius, invece, e dopo un giro otterrete una freccia orientata nel verso opposto! Su un nastro di Möbius é impossibile orientarsi.

Ora, é possibile trasformare una sfera in una qualsiasi altra superficie, in questo modo:

  • Se la superficie é orientabile, basta aggiungere una serie di “manici” alla sfera che dipendono dalla differenza di caratteristica di Eulero.
  • Se la superficie non é orientabile, bisogna incollare sulla sfera una serie di nastri di Möbius (un’operazione impossibile nello spazio tridimensionale).

E’ possibile determinare numerosi altri invarianti, e cominciare ad ottenere seri risultati utili in moltissimi campi partendo da questi concetti di base. Si puo’ poi estendere il discorso a superfici n-dimensionali considerando l’estensione della sfera in queste n-dimensioni (ad esempio, un’ipersfera é una superficie a tre dimensioni in uno spazio a quattro dimensioni).

(Ed adesso sapete perché questo cose non si insegnano al liceo! 🙂 ).

Spazio pubblicitario: l’ispirazione al post é venuta da un capitolo del libro “I Problemi del Millennio” di Keith Devlin, consigliato a chi interessi l’argomento.

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4 Risposte to “Tempi (Matematici) Moderni”

  1. carlo said

    Come tu sei il mio interesse per la topologia sfiora quello per le palestre, però condivido la critica ai programmi scolastici che relegano la matematica a semplice strumento di calcolo e non ne spiegano la filosofia e il reale utilizzo che se ne fa in contesti più ampi (questo vale anche per la storia, la filosofia, le lettere, le lingue, ecc.). E’ anche vero che con la recente riforma questo sarà l’ultimo dei problemi e già mantenere il minimo (?) decoro attuale sarà ben difficile.

  2. scardax said

    E’ anche vero che con la recente riforma questo sarà l’ultimo dei problemi e già mantenere il minimo (?) decoro attuale sarà ben difficile.

    Tristemente vero… Grazie del commento. 🙂

  3. vfede said

    ok ma non mi tornano queste, non sono importanti ma sono pignolo XD:
    “Anche la bottiglia dell’acqua é equivalente alla sfera, mentre una ciambella é equivalente ad una tazza di caffé.”

    una bottiglia chiusa? la bottiglia aperta è concava…
    la tazzina ha un buco??? la tazzina pure è concava! e avrebbe pure un manico!!!

    non mi tornano XD

    vf

  4. scardax said

    La bottiglia chiusa é equivalente ad una sfera, la bottiglia aperta é equivalente ad un piano, che a meno del contorno é a sua volta equivalente alla sfera! 😀

    Per la tazzina, ecco la dimostrazione:

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