6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Persi in uno Spazio a Troppe Dimensioni

Posted by scardax su dicembre 21, 2009

Goethe disse una volta che “i matematici sono come i Francesi: qualunque cosa gli dite, lo traducono nel loro linguaggio, e non é più la stessa cosa“. In realtà, io trovo più corretta questa affermazione rivolta verso i fisici: almeno, i matematici parlano di cose astratte; i fisici, invece, sembrano parlare del nostro mondo.

Prendiamo un esempio semplice: tutti noi abbiamo, almeno intuitivamente, nozione di cosa voglia dire che “lo spazio nel quale viviamo ha tre dimensioni”. Allo stesso modo, sappiamo che un foglio di carta puo’ essere pensato come una superficie a due dimensioni, in quanto la terza é “trascurabile”, mentre un filo assomiglia ad una superficie unidimensionale. La domanda é: come si formalizza il concetto di “dimensione“?

Il modo più semplice é pensare che la dimensionalità di una qualche varietà (un’area, una superficie, uno spazio) sia il minimo numero di punti che sono necessari ad individuare un punto su di essa, una volta che si sia fissato un sistema di riferimento. Quindi, lo spazio ‘classico’ é a tre dimensioni perché, una volta fissata un’origine e tre assi ortogonali fra loro, é sufficiente fornire tre distanze dall’origine per individuare univocamente un punto. Similmente, la superficie della Terra é una varietà a due dimensioni, in quanto sono necessarie solo longitudine e latitudine per individuare un punto (l’altitudine, supponendo che non andiate sott’acqua o in aria, dipende dalle altre due coordinate).

La scelta dei tre punti non é univoca (ad esempio, possiamo individuare un punto nello spazio classico con due angoli ed una lunghezza, o due lunghezze ed un angolo); é sufficiente che sia minima.

Ora che abbiamo il nostro concetto di base, possiamo cominciare a giocarci ed a vedere cosa ne esce fuori (in gergo, “facciamo i matematici”). Per cominciare, l’idea si puo’ rendere astratta a sufficienza da essere indipendente da una nozione di spazio “fisico”: ad esempio, una particella é in generale individuata dalla sua posizione (tre numeri) e dalla sua velocità (o, meglio, dal suo momento, altri tre numeri). Quindi, lo “stato” di una particella é un punto su uno spazio a sei dimensioni! Questo ragionamento porta rapidamente ad introdurre un numero di dimensioni esponenziale (cinque particelle ci portano già a 6×5 = 30 dimensioni!), al punto che il matematico Richard Bellman conio’ il termine “la maledizione della dimensionalità” per indicare questo problema.
(Al limite, possiamo arrivare ad uno spazio ad infinite dimensioni, come quello richiesto dalla teoria quantistica.)

Altri fisici hanno richieste più accettabili: lo spaziotempo della teoria della relatività ha solo quattro dimensioni (potete immaginare uno spazio del genere come una successione infinita di spazi a tre dimensioni identificati dalla variabile temporale); alcune teorie delle stringhe ne vorrebbero undici (alcuni dicono ripiegate su se stesse).

Fin qua, é tutto ancora comprensibile. I problemi cominciano quando consideriamo i frattali (di cui abbiamo parlato in “Camminando in una Spirale Infinita“), ovvero quegli oggetti che mantengono la loro struttura a qualunque ingrandimento. Se raffiniamo il nostro concetto di dimensionalità, scopriamo che in generale un frattale ha un numero di dimensioni che non é un numero intero! Intuitivamente, per individuare un punto su un frattale, n numeri sono pochi, ma n+1 sono troppi.
(Se ve la cavate con l’inglese, qui trovate un esempio sia del raffinamento del concetto di dimensione, sia del frattale:
http://www.math.harvard.edu/archive/21b_fall_03/shirpinski/index.html).

In ogni caso, il blog ha superato le 10mila visite, ed il 25 Dicembre si avvicina: buon Newton-mas a tutti!

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3 Risposte to “Persi in uno Spazio a Troppe Dimensioni”

  1. AkiRoss said

    Ooooh :O
    Molto interessante! Non sapevo di questa proprieta’ dei frattali!

    Buone feste 😉

  2. Andrea said

    E’ possibile indicare un punto in uno spazio con n dimensioni usando solo n angoli?
    Partendo da una retta unidimensionale mi sembra ragionevole fissare l’origine all’esterno della retta. Applicando lo stesso ragionamento e spostando l’origine fuori dallo spazio mi sembra intuitivamente sempre possibile… Eppure in una superficie bidimensionale è possibile utilizzare due origini, scegliendo opportunamente la seconda in base alla prima inclinazione, per mantenere entrambi gli angoli all’interno della superficie…
    Tutte idee così campate per aria =)

  3. scardax said

    Trovi qualcosa di simile sulla pagina di Wikipedia dedicata agli angoli! 🙂

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