6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Tartarughe e Guerrieri

Posted by scardax su settembre 15, 2009

I paradossi sono sempre stati fonti di audience per un blog che si rispetti, e chi sono io per sottrarmi alle dure leggi del mercato?

In molti conoscono il famoso paradosso di Achille e della Tartaruga, formulato dal greco Zenone assieme ad altri tre per esporre la non esistenza del moto: Achille gareggia con la Tartaruga in una gara di velocità, concedendole un piccolo vantaggio. Purtroppo, proprio a causa di questo vantaggio si ritrova nell’impossibilità di raggiungerla: nel tempo che impiega a percorrere l’intervallo che lo separa alla partenza dalla Tartaruga, questa avrà percorso un altro tratto, più piccolo, e nel tempo che Achille impiega a percorrere questo secondo tratto, la Tartaruga ne percorrerà un terzo, e cosi’ via ad infinitum

Meno conosciuto, ma altrettanto intrigante, é un altro paradosso che coinvolge questi due strambi personaggi, formulato da Lewis Carroll e poi ripreso in tempi più recenti da numerosi autori cognitivisti, quali Hofstadter e Pinker. La Tartaruga fa prendere ad Achille un blocco notes ed una penna, quindi gli fa scrivere le seguenti tre frasi (tratte dagli Elementi di Euclide):

  1. Cose che sono uguali ad una terza sono uguali fra loro.
  2. Due lati di questo triangolo sono uguali ad una stessa cosa.
  3. I due lati sono uguali fra loro.

La Tartaruga inizialmente convince Achille che, se si accettano per vere le proposizioni a e b, si deve concludere “logicamente” che anche la c é vera. Quindi, si dissocia dal suo stesso ragionamento, asserendo che, fra la proposizioni da accettare, dovrebbe essere presente anche “Se a é vera e b é vera, allora c é vera”. Achille ammette che ha ragione, e la aggiunge fra le frasi del suo blocchetto:

  1. Cose che sono uguali ad una terza sono uguali fra loro.
  2. Due lati di questo triangolo sono uguali ad un altro lato.
  3. I due lati sono uguali fra loro.
  4. Se a é vera e b é vera, allora c é vera.

A questo punto, commenta Achille, bisogna concluderne per forza che la c é vera. Ma la Tartaruga si oppone nuovamente: anche la d deve essere presa per vera! E’ quindi necessario aggiungere un’ulteriore frase:

  1. Cose che sono uguali ad una terza sono uguali fra loro.
  2. Due lati di questo triangolo sono uguali ad un altro lato.
  3. I due lati sono uguali fra loro.
  4. Se a é vera e b é vera, allora c é vera.
  5. Se a é vera e b é vera e d é vera, allora c é vera.

Non ci vuole un genio per capire che questo ragionamento é iterativo: la Tartaruga fa aggiungere ad Achille milioni di proposizioni del tipo “Se a é vera e b é vera e d é vera ed e é vera e… allora c é vera”, e non sembra esserci modo di poter arrivare ad una conclusione definitiva!

Qual’é il problema qui? Già, qual é il problema? E che, devo dirvi tutto io?
Vediamo chi é il primo a spiegarlo con chiarezza! 😀

Annunci

11 Risposte to “Tartarughe e Guerrieri”

  1. Andrea P. said

    A me sembra che siano saltati i collegamenti tra implicazione linguistica e deduzione metalinguistica. Non so se Carroll avesse mai sentito parlare del teorema di deduzione. Il mio paradosso preferito è quello di Laurence Sterne sull’impossibilità di scrivere la propria autobiografia. Larga la foglia, stretta la via, dite la vostra che tanto è meglio la mia 😛 Ora vogliamo sentire la tua soluzione scard!

  2. scardax said

    Non sono troppo sicuro di aver capito la spiegazione! 😮
    Aspettiamo ulteriori proposte, nel frattempo vado a scoprirmi questo paradosso di cui parli (anche se lo intuisco)…
    Grazie del commento! 😉

  3. AkiRoss said

    Visto che camminiamo, il paradosso di Zenone ha un fondamento sbagliato 🙂 Puo’ sembrare giusto, ma evidentemente non lo e’. La spiegazione reale non la so (o non si sa), anche se ce ne sono tante che sembrano plausibili (come pensare che lo spazio, ad un certo punto, sia discreto anche se infinitamente piccolo).

    Benche’ abbia letto di Carrol da Hofstadter, e ricordi bene questo evento, non ricordo minimamente che conclusioni ne trae.
    Ad occhio e croce, il problema e’ lo stesso… Ovviamente su un livello diverso (come diceva Andrea P. e’ un fatto di interpretazione del linguaggio (il metalinguaggio) e il linguaggio stesso).

    A me viene da chiedermi… Come faccio a prendere per vera la frase “cose che sono uguali ad una terza, sono uguali tra loro?”
    Semplicemente perche’ accettiamo un livello massimo per il nostro ragionamento, una sorta di discretizzazione che avviene nel linguaggio sotto forma di ragionamento a proposito di esso.
    La tartaruga, li, non fa altro che mischiare il linguaggio e il ragionamento sul linguaggio, ottenendone un nulla di fatto…

    … E’ come il discorso della lampada del genio, che a sua volta invoca un genio per farsi esaudire un desiderio, che ne deve invocare un altro…

  4. scardax said

    “[…] accettiamo un livello massimo per il nostro ragionamento” si avvicina molto alla spiegazione. 😀

  5. Fabio said

    ciao

    ah, “qual è” senza apostrofo…

    f.

  6. scardax said

    Non imparero’ mai a non metterlo!
    Grazie (niente tentativo di soluzione?). 😉

  7. Ufo.rob said

    Cerco di ridurre all’osso la spiegazione che si trova nella sezione “Il paradosso dell’inferenza” de “I paradossi dalla A alla Z” di Michael Clark (sono solo 3 pagine di un libro in formato tascabile ma qui siamo in un commento) aggiungendo qualche idea tratta da Wikipedia sperando di non prendere cantonate. Per chiarezza userò le maiuscole (tra l’altro di solito si usano quelle per le proposizioni proprio per questo motivo….).
    Per aggiungere D già abbiamo usato la regola d’inferenza (in questo caso il modus ponens) lo dimostra il fatto che se anche C non seguisse da A e B sarebbe comunque una conclusione valida aggiungendo D. Tra i nostri assiomi quindi ci teniamo “modus ponens è una regola di inferenza corretta” senza poi ammuchiare inutilmente premesse infinite e, come ha suggerito Bertrand Russell, http://en.wikipedia.org/wiki/What_the_Tortoise_Said_to_Achilles#Discussion ci guardiamo bene dal trattare la regola d’inferenza come fosse un’ulteriore implicazione tra le premesse (credo che Andrea P. intedesse questo con differenza tra deduzione metalinguistica, che sarebbe l’inferenza al di fuori del linguaggio logico usato, e implicazione linguistica, cioè le implicazioni tra le premesse).
    Solo 3 anni per risolvere un paradosso (da quando lo hai proposto tu)! Per quelli di Zenone ce ne sono voluti circa 2200… anche se qualcuno è ancora convinto che la convergenza di serie infinite sia una convenzione matematica e veramente il movimento non esiste… Qualche giorno fa ho letto su un forum di matematica uno che diceva: “c’è ancora una parte di me che ancora non crede ai teoremi neanche quando sono stati dimostrati” che è una frase bellissima (i matematici sono umani e non robot o persone stravaganti, o almeno non sempre…) e preoccupante al tempo stesso (quali certezze abbiamo se nemmeno la matematica è certa?). Persino Cantor quando ha dimostrato che nello spazio ci sono tanti punti quanti in un segmento pare abbia detto “Lo vedo, ma non ci credo” (da “C’era una volta un paradosso” di Odifreddi).
    Quello di poter scrivere la propria autobiografia completa è solo una dimostrazione di impossibilità, il vero paradosso è che con una vita infinita si potrebbe invece scriverla tutta nel dettaglio anche se ci si mette 1 anno per descrivere ogni giorno! (sempre dallo stesso libro sui paradossi).

  8. scardax said

    Grande! Se solo mi ricordassi qual’era il premio… 🙂

  9. Ufo.rob said

    Qual era è come qual è…

  10. scardax said

    Io sbaglio per errore, ma altri ci si sono incaponiti: http://www.mauriziopistone.it/testi/discussioni/gramm01_qual.html! 🙂

  11. Ufo.rob said

    Infatti anch’io per ricordarmi la regola mi ricordo sempre solo “qual buon vento” perché altre frasi con “qual” davanti a consonante non mi vengono mai…
    Molti linguisti dicono che “la lingua la fa l’uso e non la grammatica” e se fosse così dovrei solo rassegnarmi insieme a tutti gli altri che vorrebbero “qual è”…
    Mi piace la frase “io sbaglio per errore”.

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...

 
%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: