6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Numeri e Figure

Posted by scardax su settembre 6, 2009

Cambiando prospettiva nella vita, si sa, si ottengono straordinari risultati.

Ad esempio, oggi siamo abituati a considerare i numeri naturali (1, 2, 3…) principalmente in relazione al contare: “due mele”, “tre euro”, “quattro deficienti che cercano di fregarmi la macchina anche se ho l’antifurto satellitare”, e cosi’ via. Questo ha la sua base nella matematica moderna, che come punto di partenza per l’interpretazione dei numeri prende la teoria insiemistica.

Certo é che non sempre é stato cosi’. Per lungo tempo, i numeri sono stati interpretati semplicemente come grandezze geometriche: cinque era la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente cateti 3 e 4. Ancora prima di questo, presso i Pitagorici, celebre setta insediatasi a Crotone nel sesto secolo a.C., i numeri naturali venivano visti come portanti con sé la chiave dell’Universo: ciascun numero, concepito come un conglomerato di unità, recava in sé un significato simbolico. Ad esempio, il 2 ed il 3 erano, rispettivamente, il numero femminile ed il numero maschile e, di conseguenza, il 5 era il numero del matrimonio (essendo la somma di due e tre).

Anche se questi aspetti del pensiero pitagorico durarono relativamente poco, molti altri, mescolandosi al pensiero platonico, pervasero la cultura per millenni, riemergendo durante il Rinascimento e durando fino ai nostri giorni. Fra questi vi é, ad esempio, l’interesse per i numeri figurati. Come abbiamo detto prima, possiamo vedere ogni numero come una somma di unità: possiamo quindi anche disporre queste unità per vedere quale figura geometrica si ottiene. Quindi, ad esempio, il tre viene visto come un numero triangolare (poiché tre unità disposte in modo simmetrico formano un triangolo), cosi come il sei, mentre il nove forma un quadrato, ed il cinque un pentagono.

Questo genere di numeri sono stati ampiamente studiati in seguito. In particolare, si sono scoperte formule per determinare tutti i numeri appartenenti ad una data categoria: ad esempio, tutti i numeri triangolari assumono la forma \displaystyle \frac{n(n+1)}{2} . I numeri quadrati sono anche più semplici: come ovvio, sono dati dalla forma n^2 . Fra i numeri figurati intercorrono diverse relazioni: ad esempio, la somma di due numeri triangolari successivi dà luogo ad un numero quadrato.

Il teorema indubbiamente più bello di tutti, pero’, é quello di Fermat sui numeri poligonali:

Ogni numero puo’ essere scritto come la somma di, al massimo, tre numeri triangolari, quattro numeri quadrati, cinque numeri pentagonali e, più in generale, n numeri n-agonali.

Vi sono alcuni casi particolari: ad esempio, un numero puo’ sempre essere scritto come la somma di esattamente quattro numeri quadrati.

Ci sono anche numeri figurati tridimensionali, ad esempio i numeri piramidali, i quali si dividono a seconda della base della piramide. Ad esempio, tutti i numeri della forma \displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6} sono numeri piramidali triangolari (ovvero, permettono di costruire una piramide a base triangolare).

Per la prossima settimana, prometto un post che non sia di Matematica pura! 😀

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3 Risposte to “Numeri e Figure”

  1. frensis87 said

    il giochino delle figure lo conoscevo :), m’era capitato di sentirne parlare il ” Zio Petros e la congettura di Goldbach” [http://www.ibs.it/code/9788845248610/doxiadis-apostolos/zio-petros-congettura] ^^.

  2. AkiRoss said

    Nuooo a me va bene la matematica pura 😀

  3. scardax said

    Non ti preoccupare, la matematica io la infilo ovunque! 😀
    Ringrazio Frensis del commento e del libro, che non conoscevo e mi sembra interessante.

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