6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Numeri d’Oro e Successioni di Conigli

Posted by scardax su settembre 2, 2009

Nota: le immagini a correlazione del post sono orrende, non rispettano le proporzioni (nonostante si parli proprio di quello) e sembrano disegnate da un quindicenne. Sono il meglio che ho potuto fare, munito di un programmino stupido e del solo touchpad (no, non é vero. Non avevo proprio voglia di farle).

Fra i tanti argomenti che abbiamo affrontato in tutti i post che hanno seguito la nascita di questo blog, mi stupisce che ancora non abbia avuto occasione di parlare del famosissimo “rapporto aureo“, un concetto tanto caro ai Greci che essi non trovarono nemmeno necessario dargli un vero nome (e lo chiamavano semplicemente “sezione”), che Keplero descriveva come una delle meraviglie della matematica e Leonardo da Vinci come il rapporto in assoluto più gradevole all’occhio umano. Un rapporto usato da millenni in architettura, scultura, pittura, e, perché no, in Natura: per farvi un esempio, il vostro avambraccio sta al vostro braccio esattamente in rapporto aureo.

Quindi, cominciamo: cos’é questo fantastico rapporto? Dopo questa prolissa introduzione, forse la sua descrizione vi sembrerà fin troppo triviale: se prendiamo un segmento AB, e lo dividiamo in due segmenti AC e CB, questi due si dicono in rapporto aureo se il rapporto fra il più breve ed il più lungo é uguale al rapporto fra il più lungo e l’intero segmento, come vediamo nella figura.

Sezione-aurea
In termini geometrici, quindi, abbiamo rapporto aureo quando

\displaystyle \frac{CB}{AC} = \displaystyle \frac{AC}{AB}

Possiamo ora calcolare l’esatto valore del rapporto aureo, che indichiamo con \phi , che sarà uguale al rapporto fra CB ed AB. AB, pero’, é la somma di AC e CB. Sostituendo nell’equazione di prima, otteniamo:

\phi = \displaystyle \frac{AC}{AC + CB} = \displaystyle \frac{CB}{AC} + 1 = \displaystyle \frac{1}{\phi} + 1

Abbiamo quindi un’equazione in una incognita (il rapporto aureo), che, mettendo a denominatore comune, risulta essere di secondo grado:

\phi^2 - \phi - 1 = 0

Risolvendo (considerando solo la radice positiva), otteniamo che:

\phi = \displaystyle \frac{1 + \sqrt{5}}{2}

Che é un numero irrazionale, e vale circa 1,61.

Una delle proprietà più note del rapporto aureo é il suo legame con la successione di Fibonacci, la celebre sequenza di numeri in cui ciascun termine é uguale alla somma dei due termini precedenti (esclusi i primi due, che vengono posti uguali ad 1): 1 1 2 3 5… La sequenza prende il nome dallo pseudonimo del celebre matematico italiano che la studio’ per primo, Leonardo Pisano (uno dei massimi matematici del Medioevo, anche se bisogna ammettere che la concorrenza non era particolarmente serrata), che la introdusse studiando il tasso di crescita di una popolazione di conigli (in cui ciascuna coppia fertile ha un’altra coppia di conigli al mese, i quali diventano fertili il mese successivo, cominciando con una sola coppia).

Di sicuro lo stesso Fibonacci si stupi’ del fatto che il rapporto fra un numero della sequenza ed il numero immediatamente precedente approssima il rapporto aureo, e che questa approssimazione migliora considerando numeri sempre più in là nella sequenza. Considerando le equazioni ricorsive della sequenza di Fibonacci, é possibile dimostrare che, al limite, questo rapporto é proprio uguale alla sezione aurea. Chiamando f_n l’n-esimo numero della sequenza, possiamo allora affermare che:

\phi = \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{f_{n+1}}{f_n}

Il rapporto aureo é avvistato ovunque, a volte anche troppo forzatamente, e questa vuol solo essere una brevissima introduzione per lanciarvi preparati alla ricerca di queste comparse. Solo per invogliarvi, ne cito uno (anzi due): consideriamo un pentagono regolare:

pentagon

E tracciamo le cinque diagonali del pentagono. Otteniamo, oltre alla famosa stella a cinque punte, un altro pentagono regolare più piccolo all’interno del pentagono stesso:

pentagramBene: ogni diagonale del pentagono viene tagliata in due da un’altra diagonale, ed i due segmenti stanno fra loro esattamente nel rapporto aureo!

Qui vediamo anche un’altra proprietà della sezione aurea piuttosto ricorrente: essa tende a “riprodursi”. Ad esempio, potremmo tracciare le diagonali del pentagono più piccolo, ottenendo un altro pentagono ancora più piccolo, ed ottenendo la sezione aurea delle sue diagonali. Oppure, consideriamo il segmento di inizio post, ed inseriamo un quarto punto D tale che AD sia uguale a CB. Indovinate? D taglia il segmento AC in due parti che stanno fra loro in rapporto aureo!

rapporto-aureo-ripetuto

Bé, ora potete anche divertirvi con Google. 😀

Nota sulle fonti: la stragrande maggioranza del post é stata estrapolata e rivista da sezioni diversi della Storia della Matematica di Boyer.

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5 Risposte to “Numeri d’Oro e Successioni di Conigli”

  1. vaaal said

    bel post : )

  2. scardax said

    Grazie! 😀

  3. AkiRoss said

    Vero, m’e’ piaciuto 🙂 Sara’ che era qualche giorno che mi ronzava in mente il rapporto aureo XD

  4. vfede said

    anche la spirale delle conchiglie nautilus ha dentro il numero aureo, e il rapporto con cui alcune piante posizionano i boccioli intorno a un ramo, è il numero aureo…eccecc…

    ma “esiste” una spiegazione a tutto ciò? >perché< ricorre questo 1,6? è così "e basta" ?
    perché circa 3:2 sta dappertutto? XD

    vf

  5. scardax said

    Vuoi la verità? Non ne ho la minima idea! 😀

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