6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Pensando In Grande

Posted by scardax su giugno 10, 2009

Una delle cose sicuramente più affascinanti nella matematica é come alcune idee, scoperte inizialmente per uno o più casi particolari, si siano nel tempo generalizzate, incastrandosi perfettamente, ad ogni generalizzazione, nell’impalcatura complessiva matematica.

Prendiamo ad esempio il caso dell’elevamento a potenza: quando viene insegnato ai ragazzi a scuola, viene esplicitamente detto che “a elevato alla b vuol dire a moltiplicato per se stesso b volte“. In simboli, questo equivale a dire che ab = a * a * … * a (dove a compare esattamente b volte, appunto). Notate come, mentre a puo’ assumere qualsiasi valore, in questa definizione b é implicitamente un numero intero positivo (ovvero, un numero naturale, escludendo lo zero).

Possiamo pensare di estendere questa definizione includendo anche lo zero: pero’, cosa vuol dire “a moltiplicato per se stesso zero volte“? Qui possiamo fare quel che viene tecnicamente detto “far quadrare i conti”: dare all’operazione a0 un valore convenzionale di modo che le proprietà dell’elevamento a potenza siano preservate. In particolare, pensiamo alla proprietà ab+c = ab * ac. Se c=0, il membro di sinistra vale esattamente ab, quindi a destra ac dovrà essere pari a 1. Poiché c é zero, possiamo dire che un numero elevato alla zero fa sempre uno (convenzionalmente).

Notiamo come ci stiamo allontanando dalla definizione intuitiva per rendere quest’operazione astratta, ma generale. Il passo successivo é ovviamente dare la possibilità a b di essere negativo: saltando i ragionamenti fatti sulle proprietà, si arriva ad affermare che ab (con b<0) = 1/a-b (ovvero il reciproco di a elevato alla –b). Qui ci stiamo completamente lasciando guidare dalla matematica: affermare “a moltiplicato per se stesso meno tre volte” non ha più alcun senso.

Una delle proprietà dell’elevamento a potenza, peraltro, é che abc = ab*c. Ricordiamoci poi la definizione di radice n-esima: la radice n-esima di un numero a é quel numero che, moltiplicato per se stesso n volte, dà come risultato proprio a. Scrivendo questa seconda proprietà in formule (l’immagine é presa da Wikimedia):

Ricollegandoci alla proprietà degli esponenziali, capiamo quindi che possiamo scrivere la radice ennesima di un numero come a1/n. Infatti, a(1/n)n = an/n = a1 = a. Adesso, quindi, possiamo anche scrivere il risultato di ab/c: la radice c-esima di a, elevata alla b. Abbiamo generalizzato la formula di partenza anche per un qualunque b razionale!

E questo non é ovviamente tutto: e se b fosse irrazionale (ad esempio, pi greco)? Bé, possiamo generalizzare la formula in modo che sia valida per qualunque numero reale b (non voglio esasperarvi: su Wikipedia, comunque, c’é un accenno a questa definizione). Poi possiamo passare ai numeri complessi, agli iperreali, ecc.

Oppure, potremmo pensare all’operazione: “a elevato a potenza b c volte” (operazione di tetrazione in matematica). Ma qui c é un numero intero! E se fosse un numero negativo? Bé, possiamo pensare che…


NB: l’ispirazione del post viene in parte da un capitolo de “La Strada che Porta alla Realtà” di Penrose, sia da un articolo di Odifreddi su un numero di “Le Scienze” di qualche tempo fa. Fra l’altro, abbiamo superato 5000 visite, ed io non posso neanche andare ad ubriacarmi per festeggiare visto che sto sotto esami. In ogni caso: grazie a tutti! 😀

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