6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Camminando in una Spirale Infinita

Posted by scardax su novembre 17, 2008

Di tutti gli argomenti della Matematica, uno di quelli che sicuramente più intriga ed affascina allo stesso tempo é quello dei Frattali: quei misteriosi oggetti che mantengono la loro forma a qualunque ingrandimento, ripetendosi all’infinito ad ogni livello. L’esempio classico con cui si introducono é l’abete: il suo tronco da cui si dipartono i rami é simile al singolo ramo da cui partono rametti, che a sua volta é simile al singolo rametto da cui nascono le foglie, e cosi via.

La costruzione di un frattale é un’operazione un po’ particolare: a differenza della geometria classica, non si ha una funzione analitica che ci indica come sarà il risultato e che possiamo passare ad un programma di computer grafica: un qualcosa come (x+y)²=r² che indica una circonferenza, ad esempio, o y=x²+3x-4 che forma una parabola. Al contrario, abbiamo un algoritmo ciclico: una sequenza di passi da eseguire uno dopo l’altro non una sola volta, ma in continuazione, per ottenere il risultato. Dopo averlo applicato, dobbiamo applicarlo nuovamente sul risultato per ottenere un frattale di qualità maggiore, e possiamo ripetere il processo quante volte vogliamo per ottenere risoluzioni sempre migliori.

(Fra l’altro, si capisce perché i frattali sono una materia relativamente recente, di pochi decenni: era quasi impossibile disegnarli (o anche solo immaginarli) senza l’ausilio dei calcolatori elettronici).

Fra tutti i possibili frattali, quello che generalmente suscita più interesse é quello di Mandelbrot, la cui costruzione merita un po’ di attenzione. Come punto di partenza, consideriamo la successione:

fn+1 = fn² + c (con fn,fn+1 e c numeri complessi, cioé della forma a+ib, con i radice quadrata di -1).

Ovvero una successione in cui l’n+1 elemento é dato dal quadrato dell’n elemento (il precedente) più una costante c. Ad essere precisi, questa é una famiglia di successioni: a seconda di quale siano l’elemento iniziale f0 e la costante c, se ne ottiene una diversa. Ad esempio, con f0 = 1 e c=2+i, otteniamo {1; 3+i; -6+7i …}. In generale, la successione che si ottiene potrà essere limitata o divergente: limitata se i suoi valori sono sempre minori di un dato valore k, divergente se i suoi valori tendono ad infinito.

Bene: l’insieme di Mandelbrot é l’insieme dei valori di c per cui la successione risulta limitata (con f0 = 0). Qui sorge un problema tecnico leggermente fastidioso: come stabilire se una successione é limitata? Questo sembrerebbe richiedere l’analisi di un infinità di valori! Fortunatamente, abbiamo a disposizione alcuni criteri che ci dicono quando non é limitata: in questo caso, se il modulo di un dato fn (la radice quadrata di a²+b²) diventa maggiore di 2, sicuramente la successione é divergente. Ora, ricordandoci che é possibile disegnare i numeri complessi su un normale piano euclideo, considerando come ascisse ed ordinate rispettivamente la loro parte reale e la loro parte immaginaria (a e b), potremmo pensare di scrivere un programma per computer che esaminasse in sequenza vari c, e disegnasse mano mano l’insieme (o una sua ragionevole approssimazione). Risultato: un frattale!

Vi lascio guardarlo da soli tramite queste bellissime immagini: The Mandelbrot set.

Esistono anche altre maniere meno “matematiche” per ottenere un frattale, che coinvolgono generatori di numeri casuali: una delle più semplici é la cosiddetta Diffusion Limited Aggregation (DLA, sembra una malattia, lo ammetto). Il procedimento é questo: si parte da una particella al centro dello schermo, e:

  1. Si genera un’altra particella in un punto qualsiasi dello schermo.
  2. La si fa muovere in maniera casuale.
  3. Se tocca una particella presente sullo schermo, la si attacca nel punto in cui l’ha toccata. Altrimenti, se esce dallo schermo, non la si considera più.
  4. Si ricomincia dal punto 1.

Vederlo é più semplice che leggerlo: Applet sulla DLA (cliccate su Grow per cominciare la simulazione).

Una nota di servizio: questo post era nato come topic per il (piccolo ma in crescita) gruppo su Facebook Io Amo La Matematica. Chiaramente ve lo consiglio. Fra l’altro, se siete su FB potete anche iscrivervi al network di questo blog:

http://apps.facebook.com/blognetworks/blogpage.php?blogid=72075

Che, nel momento in cui scrivo, conta la bellissima cifra di 10 iscritti! Dieci persone che conosco e che mi leggono, mi commuovo.

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4 Risposte to “Camminando in una Spirale Infinita”

  1. paolo said

    Ho tre blog, l’ultimo, scopiazzando, arronza matematica, gli altri due dormono da un paio di anni.
    Uno dei due era scritto al femminile ed era intitolato “diario di una puttana triste” ti posto qui l’ultimo racconto, credo sia decisamente in tema.
    IL SESSO DEI DIAVOLI
    “puttanatriste@libero.it??”
    “In persona.”
    La voce al telefono è curiosamente profonda, sembra stia parlando dal fondo di un barile, curioso anche il fatto che mi chiami per account.
    “Un secondo e sono da lei.”
    Quasi contemporaneamente suona il campanello, ci ha messo anche meno. Apro.
    Opperbacco.
    Sembra la caricatura dell’ uomo in frack di Domenico Modugno, tutto come da regolamento: ha il cilindro per cappello, due diamanti per gemelli, la gardenia nell’occhiello e sul candido gilet un papillon di seta blu. E non solo: s’avvicina lentamente e con incedere elegante. Ed ha pure l’aspetto trasognato malinconico ed assente, solo che al posto del bastone di cristallo ha un forcone che tenta maldestramente di nascondere dietro la schiena. Nella penombra dell’ingresso i suoi occhi appaiono sorprendentemente fosforescenti.
    “Non tragga conclusioni affrettate, assolutamente non sono il Diavolo.”
    Nell’aria si sparge un vago odore di zolfo.
    “E ad occhio e croce nemmeno l’arcangelo Gabriele.”
    Gli rispondo mentre lo sguardo mi cade prima su due piccole corna che fanno capolino sotto le falde del cilindro e poi sulla punta della coda a forma di freccia da Cupido che gli pende fra gli zoccoli di capra che gli spuntano dal risvolto dei pantaloni.
    E’ proprio lui, sicuramente e ben oltre ogni ragionevole dubbio.
    “Confessa: sei il diavolo!”
    “Vedo che non le si può nascondere niente.”
    “E sei venuto qui a propormi di cederti la mia anima in cambio di tutto l’oro del mondo per poi scaraventarla in mezzo alle fiamme dell’inferno per tutta l’eternità. Vade retro!”
    “Ma non dica sciocchezze, sono qui per il motivo per cui vengono tutti.”
    Se è così, la professionalità innanzi tutto, lo faccio accomodare e lo aiuto mentre comincia a spogliarsi..
    Da secoli l’ umanità si è fatta le seghe mentali più strampalate sul sesso degli angeli e mai nessuno che si sia chiesto qualcosa su quello dei diavoli. Ci pongo un istintivo rimedio chiedendomelo adesso che si è appena tolto i pantaloni, dal momento che fra le gambe non gli vedo assolutamente un cazzo. In tutti e due i sensi dell’espressione.
    “Non ci badi, noi puri spiriti non abbiamo bisogno nè di apparati nè di appendici; se c’è da trombare lo si fa sul serio, con maschi o femmine indifferentemente e con tutto il nostro perfettissimo essere, altrochè. Ha mai sentito parlare di Anassagora?”
    “Mai.”
    “E di Mandelbrot?”
    “Nemmeno.”
    Mi guarda sconsolato.
    “Il primo era un filosofo greco che aveva scoperto l’autosimilitudine, in poche parole ogni parte di qualsiasi cosa ne contiene una in scala e perfettamente uguale di tutte le altre, il secondo era un matematico che aveva espresso lo stesso concetto enunciando quanto segue: z(n+1) = z(n)*z(n) + c. Le è un pochino più chiaro adesso?”
    “No”
    “Immagini allora che le cellule che compongono le parti del suo corpo preposte al piacere sessuale non siano localizzate solo nei punti che lei ben conosce ma siano presenti in ogni altre parte anche la più piccola e periferica, quindi fra poco non avrà il suo solito orgasmo ma ne avrà uno moltiplicato all’infinito come dalla formula che le ho appena enunciata. I due illustri personaggi, ça va sans dire, hanno cominciato a vederci più chiaro dopo un incontro sessuale con il sottoscritto.”
    Fatto: siamo nudi, siamo sul letto e non vedo più nulla. Sento soltanto. Sento con tutto il corpo. Mi sfiora, mi accarezza, mi bacia e mi sento frammentare e ripercuotere tutto dentro all’infinito. Mi penetra ed è come se non fossi fatta di miliardi e miliardi e miliardi di cellule ma di miliardi e miliardi e miliardi di passere tutte insieme contemporaneamente penetrate da miliardi e miliardi e miliardi di cazzi. E quando inizia ad entrare e ad uscire da me è come se il Tutto moltiplicato per l’intero universo mi entrasse e mi uscisse facendomi crepitare ed esplodere insieme nella somma di orgasmi più inconcepibile di tutta la storia passata e futura dell’umanità.”
    Mentre si riveste penso che d’ora in poi niente sarà più come prima.
    “Ehm… bisognerebbe ora espletare la piccola formalità del pagamento, ovviamente il prezzo non è quantificabile in euro.”
    “Come sarebbe a dire? Vuoi essere pagato???? Ecco, lo sapevo, vuoi la mia anima!”
    “Ma non dica stupidaggini, quella è già mia, me ne serve un’altra. Ha qualcuno da suggerirmi? Se mi indica un uomo posso assumere sembianze femminili e l’effetto sarà specularmente identico a quello che lei ha appena vissuto.”
    “Vuole un nome?”
    “Mi basta l’account”
    ” ok: paolo.verre@libero.it
    “Grazie, ma non lo avverta, adoro organizzare le feste a sorpresa.”

  2. scardax said

    Originale!
    Mi é piaciuta molto la descrizione iniziale, aveva una cadenza quasi poetica, é voluto o me lo sono immaginato io?

  3. paolo said

    Quelli a cui ti riferisci sono i versi leggermente modificati dell'”uomo in frack” di Domenico Modugno. Il riferimento è voluto per accentuare l’aspetto comico della scena.

  4. […] I problemi cominciano quando consideriamo i frattali (di cui abbiamo parlato in “Camminando in una Spirale Infinita“), ovvero quegli oggetti che mantengono la loro struttura a qualunque ingrandimento. Se […]

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