6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Modi di Vedere il Mondo

Posted by scardax su novembre 14, 2008

Pochi scienziati dell’antica Grecia hanno goduto, e godono tuttora, di una fama paragonabile a quella di Euclide. Nonostante le informazioni su di lui siano molto scarse, sappiamo che visse intorno al 300 a.C. sotto il regno di Tolomeo I, e scrisse trattati di Ottica, di Catottrica (la parte dell’ottica che si occupa della riflessione della luce), di Musica, di Meccanica e, soprattutto, di Geometria: i suoi Elementi in tredici libri furono la summa della materia dell’epoca, e gli sopravvissero praticamente intatti per Secoli a venire.

Oggi, pero’, il nome di Euclide é soprattutto associato a quello che fu chiamato in seguito il “problema della parallele“: vediamolo più in dettaglio. Per cominciare, bisogna avere ben chiaro un punto chiave di qualunque disciplina matematica: ogni teorema, per poter essere dimostrato, ha bisogno di altri teoremi, che a loro volta poggiano la loro dimostrazione su altri teoremi e cosi via. E’ chiaro che, per evitare una regressione all’infinito, bisogna inizialmente stabilire alcuni enunciati “veri per principio“, per i quali non si richiede una dimostrazione: quelli che oggi vengono detti assiomi, o postulati, o principi.

La loro scelta é una delle operazioni più complicate per la nascita di una materia: devono essere il minor numero possibile, e, soprattutto, devono essere “intuitivi”. Euclide ne scelse cinque per la sua Geometria, ed i primi quattro non richiedono molti commenti:

  1. Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.
  2. E che una retta terminata [finita] si possa prolungare continuamente in linea retta.
  3. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza.
  4. E che gli angoli retti siano uguali fra loro.

Da cosa deriva la loro intuitività é chiaro: qualunque persona dotata di una riga, di un compasso e di un foglio puo’ “verificarli” sperimentalmente. Il quinto non é cosi semplice, invece:

5. E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.

Oggi é più comune sentir pronunciare questo postulato come “per un punto passa una ed una sola retta parallela ad una retta data“. Euclide non ne fu mai soddisfatto, ed infatti limito’ il più possibile il suo uso nella dimostrazione di Teoremi, e molto probabilmente cerco’ di dimostrarlo a partire dai primi quattro, senza pero’ mai riuscirci. Il compito fu passato quindi alle generazioni successive, poi agli Arabi che ripresero e tradussero i lavori dei Greci, ed infine torno’ in Europa per il “Rinascimento” scientifico. Qui i matematici, stanchi di cercare dimostrazioni dirette, ne tentarono alcune per assurdo: in particolare il gesuita Gerolamo Saccheri fu il primo, nella prima metà del 1700, a:

  • Negare il quinto postulato.
  • Con il nuovo corpo assiomatico (i quattro postulati più la negazione del quinto) dedurre numerosi teoremi.
  • Osservare che molti di questi teoremi male si conciliavano con la nozione comune che abbiamo di spazio.
  • Dedurne un assurdo, e quindi la “verità” del quinto postulato.

Pur sbagliato, questo procedimento diede il via ad altri ragionamenti che, in poco meno di un Secolo, avrebbero portato ad una vera e propria rivoluzione: la comprensione che, negando il quinto postulato in varie maniere, si ottenevano Geometrie che pur non andando d’accordo con quello che noi pensiamo sia lo spazio, sono coerenti al loro interno e descrivono un “altro” spazio: erano nate le Geometri Non Euclidee. E’ difficile riuscire ad immaginare oggi la vera portata di questa rivoluzione: finalmente si era (ri)scoperto che la Scienza fornisce solo modelli della Realtà e non verità assolute, e nulla impedisce di avere diversi modelli per lo stesso fenomeno.

La Geometria di Saccheri, che lui aveva ritenuto assurda, fu ripresa in seguito da Gauss, Lobachevsky, Klein ed altri, e prese il nome di Geometria Iperbolica: una geometria in cui il piano non é più illimitato, ma delimitato da una circonferenza (in realtà, delimitato da una qualunque conica), ed i punti diventano tutti i punti interni a questa circonferenza, mentre le rette tutte le sue corde (segmenti che uniscono due punti qualunque della circonferenza). In questa Geometria, per un punto passano almeno due rette parallele ad una retta data!

E’ interessante come, per poter comprendere queste Geometrie, dobbiamo modificare le nostre idee su concetti come “punto” e “retta” che abbiamo fin dalle elementari. Questo é ancora più chiaro se consideriamo un’altra Geometria Non Euclidea creata dal matematico tedesco Riemann: la Geometria Ellittica. Qui il piano diventa la superficie di una sfera, e:

  • Un “punto” é una coppia di punti diametralmente opposti sulla sfera (“agli antipodi”, potremmo dire).
  • Una “retta” é una circonferenza di raggio massimo.

Su una geometria del genere… non esistono parallele! (e, nel tentativo di visulizzare questa cosa, vi lascio e concludo il post che si é fatto chilometrico 🙂 ).

PS: a chi interessasse l’argomento, rimando ad una pagina del Politecnico di Torino:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Apr_02/APPUNTI.HTM

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