6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

L’Impossibilità del Compasso

Posted by scardax su ottobre 29, 2008

Proprio ieri mi é capitato di risentire un’espressione abbastanza comune: “cercare di far quadrare il cerchio“, ovvero tentare un qualcosa di impossibile. Un modo di dire molto interessante: la quadratura del cerchio, ovvero il problema di costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio dato, é uno dei tre famosi problemi della Matematica Greca Classica.

Purtroppo la distanza intercorsa fra loro e noi non ci permette di apprezzare a pieno il problema perché lo distorce leggermente: ad esempio, oggi verrebbe spontaneo un ragionamento del genere.

Poiché un cerchio ha area = pigreco*r², ed un quadrato area = l², combinando le due formule otteniamo che, dato un cerchio, un quadrato avente stessa area avrà lato = (radice quadrata di pigreco) * r.

Chiaramente, l’impressione di aver “risolto” il problema deriva dall’averlo decontestualizzato: i Greci ragionavano in termini Geometrici, e risolvere il problema voleva dire disegnare il quadrato della soluzione, e poi eventualmente misurarne il lato. Per di più, non con qualunque strumento si avesse a disposizione: solo con la riga ed il compasso. Questo non deriva da una sorta di arretratezza matematica Greca, come spesso si pensa, ma solo dal fatto che, in assenza di strumenti di calcolo progrediti, le soluzioni trovate in via Geometrica erano le più semplici da ottenere, con un piccolo errore, e soprattutto facili da riprodurre. In effetti, già all’epoca si conoscevano alcune soluzioni alla quadratura del cerchio usando punti e cerchi che si intersecavano muovendosi di moto uniforme, ma chiaramente erano abbastanza complicate da realizzare ed il più delle volte le soluzioni erano estremamente (troppo) approssimate.

Ritornando all’argomento principale, possiamo rispondere all’osservazione di partenza: il problema é impossibile perché non si puo’ disegnare, solo con la riga ed il compasso, la radice quadrata di pigreco (altrimenti avremmo trovato un valore algebrico di pigreco, ovvero con cifre decimali finite, cosa chiaramente impossibile).

Per completezza, diamo un’occhiata agli altri due grandi problemi:

  • La duplicazione del Cubo, ovvero la costruzione di un cubo di volume doppio rispetto ad un cubo dato, famoso soprattutto per i miti che ci sono stati tramandati a proposito: ad esempio gli abitanti di Delo, un giorno, chiesero all’oracolo la maniera di liberarsi della peste, e questi rispose che bisognava costruire un altare di volume doppio rispetto a quello attuale (un oracolo che ricorda molti politici di oggigiorno, bisogna ammetterlo). Gli abitanti si accorsero della difficoltà del problema (sempre in via geometrica) quando, dopo aver raddoppiato il lato si ritrovarono con un volume otto volte maggiore!
  • La trisezione di un angolo, ovvero la costruzione di un angolo di ampiezza pari ad un terzo di un’altra data.

Nonostante quest’ultimo problema ammetta alcune soluzioni particolari (é possibile trisecare un angolo retto, ad esempio), tutti e due, esattamente come il primo, non ammettono soluzioni generali solo grazie alla riga ed il compasso, ma ne ammettono usando strumenti più complessi. A questo proposito, é interessante come ben due dei tre problemi (quadratura e trisezione) possano essere risolti tramite la Spirale Archimedea, una curva estremamente bella nella sua semplicità ed eleganza:

http://www.math.it/spirale/spirale-archimede.htm

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Una Risposta to “L’Impossibilità del Compasso”

  1. Andrea P said

    Oddio… appena partita l’animazione mi è paurosamente tornato in mente Nyquist o.O
    Che incubo! Comunque bell’articolo Scard, trattato veramente bene!

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