6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

L’Infinito ed i suoi problemi

Posted by scardax su settembre 28, 2008

PhotobucketCome mi é già capitato di dire una volta, spesso é dai ragionamenti all’apparenza più stupidi che nascono le discussioni più interessanti. Ad esempio: oggi i numeri irrazionali sono entrati nel bagaglio culturale comune, e nessuno si fa più scrupolo a parlare di pigreco, radice quadrata di due o e elevato alla quarta. Pero’ il più delle volte, pensando a pigreco ci figuriamo un numero del tipo “3,14”, che non é altro che una sua semplice approssimazione, e non “é” lui più di quanto non lo sia, ad esempio, 1,36.

In effetti, dal momento stesso in cui tentiamo di figurarci pigreco con un numero finito e non in quanto entità, lo perdiamo di vista e siamo costretti ad accontentarci di concetti numericamente simili. Questa non é solo un’osservazione fine alla Matematica, ma ha delle ricadute enormi, ad esempio, nella Fisica.

Per dare un’idea: pensiamo di avere un tavolo di biliardo con sopra diverse palle. Per descriverlo matematicamente in ogni istante, dobbiamo fornire la posizione di ciascuna pallina (su un piano come quello del biliardo, sono sufficienti due numeri), e le loro velocità (altri due numeri ciascuna). Avendo tutti questi valori in un dato istante, possiamo (conoscendo le leggi fisiche che descrivono gli urti e l’attrito dell’aria) conoscere il “futuro” delle palline, ovvero la maniera in cui evolveranno. E qui cominciano i problemi.

Supponiamo di memorizzare i numeri in un computer con un’approssimazione di due cifre decimali: possiamo quindi dire, ad esempio, che all’istante iniziale la pallina 1 si trova, lungo l’asse delle ascisse, nella posizione 2,81. Questa, pero’, é già di per sé un’approssimazione notevole: le palline in posizione 2,814 e 2,809 ricadranno nella denominazione “pallina in posizione 2,81”, proprio perché per noi i decimali dopo il secondo sono virtualmente inesistenti. Naturalmente, queste palline daranno vita ad evoluzioni iniziali estremamente simili, a tratti praticamente identiche. Dopo un po’, pero’, queste cominceranno a scontrarsi con altre palline, ciascuna con un suo margine di errore, che colpiranno a loro volta altre palline, facendo aumentare, più o meno rapidamente, l’errore complessivo. Si giungerà in un punto in cui le varie palline che inizialmente abbiamo considerato identiche hanno provocato evoluzioni estremamente diverse, e noi saremo nell’impossibilità tecnica di scegliere quella giusta: il sistema é diventato caotico, imprevedibile (ma non casuale, attenzione)!

La prima soluzione che puo’ venire in mente per questo problema é abbastanza banale: comprare un nuovo computer. Purtroppo, qualunque somma di denaro decidessimo di investire, avremmo sempre un computer in grado di memorizzare numeri approssimati: tutti i computers del mondo, messi assieme, non basterebbero a memorizzare un singolo valore con decimali infiniti!

Qualcuno che macini un po’ di Matematica, pero’, potrebbe pensare ad una seconda soluzione, decisamente migliore: scrivere delle equazioni che descrivano l’evoluzione del sistema e che siano in forma chiusa, ovvero in cui possiamo calcolare qualunque valore prescindendo dai valori precedenti (una funzione del tipo sin(x), ad esempio, é in forma chiusa, mentre una funzione “sommatoria fino all’ennesimo valore, più uno” é in forma aperta). Escludendo il fatto che questa funzione dipenderebbe comunque dalle condizioni iniziali, é stato dimostrato che, in sistemi con numerosi corpi interagenti (nel caso tridimensionale, ne bastano addirittura tre) trovare queste equazioni chiuse é matematicamente impossibile! Dobbiamo accontentarci di approssimazioni.

Questo ha dei risvolti notevoli anche in campo filosofico: dobbiamo, sembra, rinunciare alla possibilità di conoscere l’evoluzione fino ad un momento imprecisato nel futuro di un sistema che, in sé, é completamente deterministico!

A chi interessasse questo argomento, consiglio la lettura di qualcosa sul problema dei Tre Corpi, magari da qua (sezione Meccanica Analitica):

Dal Quark al Quasar

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