6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Affari del Caso

Posted by scardax su settembre 18, 2008

Lo studio delle probabilità é una di quelle materie scientifiche abbastanza recenti, un po’ come l’evoluzionismo, che tutti credono di aver capito e nessuno sa. Nulla espone meglio questo concetto di un bellissimo “paradosso” (che poi paradosso non é), generalmente denominato come quello “delle tre porte“. Per esporlo in maniera conforme ai nostri standard televisivi:

Supponete di partecipare ad un gioco televisivo in cui dovete scegliere fra tre pacchi (e se vi ricorda qualcosa, ho paura che guardiate troppo la televisione). Dentro uno di questi é contenuto il premio della serata (credo che una velina sia adatta al nostro esempio), mentre negli altri due vi attende una sonora sconfitta (una velona?). Scegliete inizialmente uno dei pacchi, quindi il conduttore decide di aiutarvi aprendone uno dei tre da cui esce una delle velone, e vi chiede se volete cambiare la vostra scelta con l’altro pacco rimasto in gioco.

Adesso abbiamo tre possibilità:

1) Vi viene in mente che, in fondo, scegliendo ora avreste il 50% delle probabilità di indovinare il pacco vincente, quindi scegliere se tenerlo o no é totalmente indifferente. E lo tenete.

2) Cercando di acciuffare una mosca che passa di là fate credere al conduttore di voler cambiare pacco.

3) Siete svenuti dopo lo choc dell’antisirena uscita dal pacco, e vi risvegliate con sopra una corpulenta dottoressa russa di nome Ivanovka che fa strani esperimenti col vostro.

Bene: nel primo caso, avete 2 possibilità su 3 di… perdere! Poiché questo é decisamente controintuitivo, in quanto siamo convinti che il passato non influenzi, almeno in casi come questo, il presente, é doveroso un tentativo di spiegare questo “strano” risultato. Prima di tutto, se non siete convinti, potete considerare tutti le possibili alternative: o inizialmente avevate scelto uno dei due pacchi perdenti (diciamo A o B), oppure il pacco vincente (diciamo C). Nel primo caso, dopo l’apertura da parte del conduttore rimarranno sulla scena un solo pacco perdente (il vostro) ed uno vincente (l’altro), e quindi cambiando vi garantirete la vittoria; mentre nel secondo caso, speculare al primo, cambiando perderete miseramente. Pero’, all’inizio avevate mediamente 2/3 di probabilità di scegliere un pacco perdente, quindi successivamente avrete esattamente i 2/3 di probabilità di vincere cambiando!

Potete anche pensare che i due pacchi perdenti “collassino” in un solo con il 66% circa di probabilità di essere quello che tenete in mano. Questo é un ottimo spunto per riflettere su una materia utilissima, ma anche piena di piccole insidie all’inizio accuratamente celate allo sguardo e all’intuito.

NB: la statistica é, per definizione, una materia i cui risultati sono di una qualche utilità solo se applicati a numerose ripetizioni di un esperimento. Quindi, é inutile venirvi a lamentare di aver perso seguendo il mio consiglio. Mi spiace.

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9 Risposte to “Affari del Caso”

  1. BerryHey' said

    Ehhe… questo trucchetto l’avevo già letto, su un libro…

    (Oddio, Ivanovka e il pacco! 😀 )

    SpasticLizard.

  2. Speppe said

    uhm…very very interesting.

    Io credo questo. Il problema, secondo me, risiede nel “tempo”. Mi spiego meglio.
    Prima di qualsiasi estrazione è abbastanza accettato e chiaro (ad oggi) il fatto che
    la probabilità di perdere è 2/3 ed è “relativa” al “momento” della decisione.
    E fin qui ci siamo. Se supponiamo che tutti e tre i pacchi vengano scoperti “all’istante”,
    non ci sono possibilità di equivoco. La probabilità che avevo di vincere “era” di 1/3 e quella
    che invece avevo di perdere “era” di 2/3. Il fatto che abbia vinto o perso non ha cambiato la
    probabilità che avevo, se caccettiamo anche il fatto che avere qualche probabilità di vincere non
    significa che io vinca e viceversa.
    Nel momento che viene aperto un solo pacco e mi si dà la possibilità di scegliere nuovamente cosa
    fare, allora secondo me la probabilità che ho di vincere “adesso” è di 1/2 così come quella che ho di perdere. La probabilità calcolata “ora” è diversa da quella calcolata precedentemente.
    Si potrebbe fare lo stesso discorso nel caso in cui ad essere aperti siano tutti e due i pacchi.
    Se ad essere aperti sono quelli che contengono le “velone” allora mi chiedo, “adesso”
    quale è la probabilità che ho di vincere?
    Considerare la probabilità in “istanti diversi” e tentare di equipararla ad un suo istante precedente fa perdere il significato della stessa.

    Forse il concetto potrebbe essere riformulato così:
    Qual’è la probabilità di estrarre il pacco vincente se avessi a disposizione 2 possibilità di scelta (la seconda mi sarebbe data “dopo” la mia prima scelta e “dopo” aver saputo cosa c’era nel
    primo pacco estratto)? Ma in questo caso non è possibile dare risposta perchè se il primo
    pacco estratto fosse quello vincente, allora avrei probabilità nulla; in caso contrario invece
    avrei qualche possibilità di vittoria. Dipende dal “tempo” della scelta e da cosa c’era nel
    pacco estratto. Il calcolo però porterebbe (se non sbaglio qualcosa) sempre ad 1/2, infatti nel
    caso avessi a disposizione 2 estrazioni, avrei 2 possibilità per vincere:
    1. Prima scelta: scelgo il pacco giusto (1/3). Seconda scelta lo mantengo (1/2): probabilità
    totale: 1/3*1/2=1/6
    2. Prima scelta: scelgo il pacco sbagliato (2/3). Seconda scelta lo cambio (1/2): probabilità
    totale: 1/2*2/3=2/6
    La probablità quindi che ho di vincere è la somma delle due:1/6+2/6=3/6=1/2
    come vedete ritorna 1/2.

    Che c’entri la relatività anche nel calcolo statistico?

    SPeppe.

  3. scardax said

    I tuoi ragionamenti sono classici per chi si approccia le prime volte a questo problema, ed in effetti é proprio la loro intuitività che ne ha fatto un problema estremamente celebre.

    Diciamo che é possibile descrivere il gioco partendo direttamente dal momento della seconda scelta, ma che é falso affermare che entrambii pacchi in quel momento abbiano probabilità 0,5 di essere quello vincente: questo dipende semplicemente dalla maniera in cui hai “costruito” la situazione. Per questa stessa ragione, i tuoi ragionamenti matematici sono errati.

    Il problema di spiegare la soluzione al problema é che in pratica, quando lo hai capito, il problema semplicemente non esiste più, perché capisci la fallacia del ragionamento iniziale e non la ripeti più.

  4. SPeppe said

    Si in effetti hai ragione…affermare che entrambii pacchi in quel momento abbiano probabilità 0,5 di essere quello vincente è falso. Solo credo che bisognerebbe riconsiderare il problema per dargli un significato…in un istante successivo…

  5. scardax said

    Non capisco cosa intendi con “in un istante successivo”! 😀

  6. Peppe said

    Allora siamo rimasti che una volta scelto uno dei tre pacchi e supponendo che ne venga aperto uno e che questo non sia quello vincente, la probabilità che ho di perdere ora è di 2/3.
    Questo perchè quello estratto non era quello vincente.
    Se invece quello estratto è quello vincente la probabilità che ho di perdere è ora del 100%.
    Quindi il verificarsi di un dato evento influisce sulla probabilità del verificarsi del successivo.
    Dunque, secondo me è importante sapere in che istante si vuole calcolare la probabilità.

    Poi supponiamo che il pacco estratto sia quello perdente e quindi ritorniamo al fatto che
    adesso a me conviene cambiare pacco visto che la probabilità che ho di perdere è di 2/3.
    Quindi per me non è vero che la probabilità di vincere è di 1/2.
    Ora supponiamo di far entrare una persona completamente ignara di tutto ciò che è accaduto (cioè del fatto che prima c’erano 3 pacchi e ora ne sono rimasti due e del fatto che l’altra
    persona ne ha scelto già uno) e mostriamogli i due pacchi e diciamo che uno è quello vincente.

    Per questa persona ora quale è la probabilità di vincere?

    Secondo me quella risponde 1/2….

  7. scardax said

    […] e mostriamogli i due pacchi e diciamo che uno è quello vincente. […]

    Questa frase descrive un’altra situazione (più semplice), quella (appunto) in cui ti mostro due pacchi ed in uno dei due é nascosta la velina. In questo caso, in effetti, la probabilità di vincere é proprio 1/2.

    Nel caso che stiamo considerando, invece, abbiamo si’ due pacchi, uno vincente ed uno perdente, ma inoltre uno dei due é già in mano alla persona che sta giocando e (per come é stato scelto precedentemente) ha probabilità 2/3 di essere quello perdente.

    Se vuoi partire solo da quell’istante, sei costretto a descrivere la situazione proprio in questa maniera, altrimenti ti stai dimenticando un pezzo cruciale.

  8. Herzeleid said

    Premetto che di statistica non ne so nulla, e che avendo poco tempo a disposizione non potrò esporre bene quello che secondo me e’ l’errore di cui sopra.

    Nel complesso viene “dimenticato” un passaggio.

    L’ipotesi è, il concorrente ha il 66% di probabilita’ di vincere se alla seconda scelta cambia il pacco. Questo perch alla prima puo’ aver fatto 3 differenti scelte: pacco giusto, pacco sbagliato 1, pacco sbagliato 2.
    Se ha scelto il pacco giusto, viene eliminato uno dei due sbagliati. Se ha scelto lo sbagliato 1, verra’ eliminato lo sbagliato 2, e viceversa.

    Ponendo la questione in questo modo, e’ evidente che sia vantaggioso cambiare, poiché in 2 casi su 3 il pacco vincente e’ quello “non scelto”.

    Tuttavia, in questo modo stiamo eclissando una possibilità. Ossia, non teniamo conto del fatto che se inizialmente il concorrente sceglie il pacco vincente, al secondo passaggio il conduttore può eliminare il pacco sbagliato 1 O il pacco sbagliato 2. In questo modo, 2 volte su 4 il pacco inizialmente scelto è il vincente, e le restanti 2 su 4 è uno dei due sbagliati.

    Ripeto, di probabilità e statistica non ne so nulla, ma se fossi il concorrente, non cambierei la mia scelta 🙂

  9. Scardax said

    L’osservazione é originale, ma non ha molto senso! 😀

    Quale dei due pacchi il conduttore scelga nel caso tu abbia scelto quello vincente all’inizio é totalmente indifferente. Potrei dirti che, se il pacco vincente é A, il conduttore apre sempre B a meno che non sia quello che tu hai scelto, ed il gioco non cambierebbe.

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