6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Sempre di Più

Posted by scardax su settembre 8, 2008

Spesso ci si stupisce di come concetti che a noi sembrano tremendamente ovvii potessero essere, in un qualche tempo remoto, neanche lontanamente compresi. L’esempio sicuramente più celebre é quello dei numeri: oggi nessuno ha difficoltà a capire il significato di “passami un quarto di torta” (o di sue strane varianti come “passami uno 0.25 di torta“), eppure quando la Matematica muoveva i suoi primi, neanche troppo timidi, passi, i numeri erano solo quelli che oggi chiamiamo Naturali: 1,2,3… Anche lo zero era ben lontano dalla sua comparsa!

Poi, pian piano, l’insieme dei numeri si é andato ampliando, andando ad includere numeri negativi (-2,-7), numeri razionali (le frazioni, ovvero numeri nella forma n/m) ed infine irrazionali (ovvero con uno sviluppo decimale infinito che non diventa mai periodico, come la radice quadrata di due), arrivando cosi al cosiddetto insieme dei Numeri Reali. Eppure, nonostante la nostra concezione “naturale” di numero si fermi qui, i matematici hanno fatto altri passi avanti: si é scoperto che si puo’ ulteriormente ampliare l’insieme arrivando a quello che é stato chiamato l’insieme dei numeri iperreali, comprendente anche gli infinitesimi, ovvero numeri più piccoli di ogni altro numero ma ancora maggiori di zero (ed anche i loro reciproci, ovvero numeri più grandi di qualunque reale, quelli che generalmente vengono chiamati infiniti).

Ma questo é solo l’inizio. Posizionando tutti questi numeri su un foglio, ci accorgiamo che possiamo tranquillamente segnarli tutta su una retta (continua se consideriamo solo i reali, discontinua nel caso degli iperreali): ovvero, sono tutti in una dimensione. Perché mai limitarsi in questa maniera? Da tempo oramai sono conosciuti i numeri complessi, formati da due componenti: una parte reale, ed una parte immaginaria, ovvero un multiplo dell’unità immaginaria i, la radice quadrata di meno uno. La loro storia é affascinante: all’inizio ci si stupi’ di queste ‘creature’, ed il loro nome (immaginari) ricalca questa visione, di una semplice costruzione mentale che non rispecchia nulla di naturale. Eppure, sempre più spesso questi ricorrevano in calcoli fisici, ed oggi non sono considerati meno reali di qualunque altro numero!

Nessuno vieta di ampliare ancora le dimensioni, ma questi numeri che si ottengono risultano via via sempre meno utili: i quaternioni (formati da quattro componenti), sono usati principalmente per la grafica vettoriale sul pc (almeno per mia conoscenza), mentre gli ottetti (otto dimensioni) ed i sedenioni sono praticamente non considerati. Questo probabilmente é dovuto al fatto che, man mano che si va avanti, si perdono delle proprietà considerate fondamentali: i quaternioni, ad esempio, non sono commutativi, ovvero scrivere a*b non é uguale a scrivere b*a. Ancora peggio: esistono due sedenioni diversi da zero che, moltiplicati… danno come prodotto zero! E’ chiaro che davanti a tali situazioni i matematici provino lo stesso “orrore” che provarono coloro che definirono numeri come pigreco “irrazionali”, o la radice di meno uno “immaginaria”. Chi puo’ dire che in futuro non saranno accettati e ci si stupirà di come noi li consideravamo “strani”?

PS: l’idea per questo post mi é venuta da un vecchio post di xmau, che pero’ non trovo più.

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2 Risposte to “Sempre di Più”

  1. Ufo.rob said

    Incredibile come trovi in questo blog un sacco di cose che ho sentito di recente, nei commenti di un post del blog di Odifreddi a un certo punto era uscita la questione dei numeri negativi e si rimandava al sito linkato qui sotto e mi sono stupito di quanto fosse “recente” l’accordo dei matematici sul loro significato e la regola dei segni (introdotta da Diofanto nell’antica Grecia ma Cardano ne era ancora “sconcertato”). Persino Pascal non trovava necessario introdurre i negativi e de Morgan non li concepiva (nel XIX secolo!). Io avevo sempre creduto che le cose relative ai numeri negativi derivassero dagli antichi Greci e poi fossero rimaste assodate e in uso fino ad oggi però è ovvio ripensando alla loro cultura (legata a grandezze fisiche e geometria) e al fatto che poi la matematica greca è “riaffiorata” nel Rinascimento dopo il buio Medioevo, trovo quasi altrettanto ovvio che in Cina e in India usassero regolarmente i numeri negativi già dal sesto secolo…
    http://www.uop-perg.unipa.it/master_sito/lucilupo_sissis/storia/storia%20numeri%20negativi.htm
    http://odifreddi.blogautore.repubblica.it/2012/08/28/perche-la-matematica/#comment-56285
    I quaternioni si usano anche in robotica per la cinematica dei bracci, l’ho studiato ma non ricordo niente, inoltre dai miei corsi di algebra e logica ho capito che piacciono tantissimo a chi si occupa di algebra astratta.

  2. scardax said

    Bei link, del resto se parliamo di storia della Matematica sfondi una porta aperta con me! Se hai tempo da “perdere” ed i libri corposi non ti spaventano il must assoluto è “Storia della Matematica” di Boyer. Altrettanto interessante relativamente alla matematica Greca classica è “La Rivoluzione Dimenticata” di Russo.
    Da quando ho scritto il post ho avuto a che fare due volte con i quaternioni quindi mi pento.

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