6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Inseguendo i Sogni

Posted by scardax su settembre 8, 2008

Si puo’ dire che, in questi giorni, sia riscoppiata la mania del superenalotto: migliaia di persone, estasiate dall’idea di poter vincere qualche decina di milioni di euro, si precipitano a giocare quell’euro di schedina che potrebbe cambiare la loro vita, nell’ottica del “tanto male non fa“. Pero’, nulla ci vieta di chiederci seriamente: quante probabilità abbiamo di vincere?

Per capirlo, vediamo alcune nozioni di base del calcolo combinatorio. Prima di tutto, pensiamo di avere a disposizione un insieme di n oggetti diversi fra loro: in quante maniere possiamo ordinarli? Immaginiamo di inserirli dentro un’urna, e poi di estrarli ad uno ad uno: per la prima “presa” avremmo n possibilità diverse, per la seconda (n-1), poiché abbiamo già estratto un oggetto, e cosi via fino alla fine. In tutto abbiamo n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*2*1 = n! (che si legge n fattoriale). Queste vengono dette tutte le possibili Permutazioni degli n oggetti.

Adesso complichiamo la situazione: al posto di ordinarli tutti, ne ordiniamo solo un sottoinsieme di k elementi: il ragionamento é simile a quello visto prima, con l’eccezione che non arriveremmo fino all’ultimo oggetto, ma fino al (n-k)esimo: n*(n-1)*…*(n-k+1)*(n-k). Questo é uguale ad n! a meno delle ultime n-k moltiplicazioni, ovvero:

Photobucket

Come indica la D, queste vengono chiamate le Disposizioni di k elementi su n oggetti. Questa formula da sola ancora non ci aiuta a risolvere il problema iniziale, in quanto tiene conto dell’ordinamento degli oggetti, mentre nel superenalotto le estrazioni (52 1 32 15 70 44) e (1 15 32 44 52 70), ad esempio, sono equivalenti. Ora, ciascun insieme di k oggetti puo’ apparire in k! permutazioni diverse, come abbiamo visto, quindi le possibili combinazioni non ordinate di k oggetti su n elementi saranno uguali alle disposizioni a meno di un fattore k!:

Photobucket

A questo punto siamo pronti a risolvere il nostro problema: nel superenalotto abbiamo esattamente 90 numeri, e per vincere il megapremio dobbiamo indovinare una combinazione di 6 numeri. Tutte le possibili combinazioni sono date da (applicando l’ultima formula) 90! / [6! * (90 – 6)!] = 6.22 * 10^8. Poiché ogni schedina dà diritto a due combinazioni diverse, la probabilità di vincere é:

P = (1/6.22*10^8) * 2 = 3.2 * 10^-9

Ergo, supponendo che tre miliardi di persone giochino una schedina, in media UNO SOLO riuscirà ad accaparrarsi il primo premio! Un altro risultato interessante: per avere anche solo l’1% di chance di vincere, dovremmo giocare… 3,11 milioni di schedine!

Conclusione: meglio comprarsi un buon caffé al bar. 🙂

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6 Risposte to “Inseguendo i Sogni”

  1. Andrea P. said

    Uomo di poca fede 😀

  2. franz said

    Dato che pero’ fin’ora c’e’ sempre qualcuno che vince, vaglielo a raccontare che era meglio bersi un caffe’ che intascare 70 milioni di euro…

  3. Andrea P said

    Secondo me hai fato male i conti nell’ultima parte 😀
    L’hai detto tu che “ogni schedina dà diritto a due combinazioni diverse”. Se giochi 311 milioni di schedine vuol dire che hai 622 milioni di combinazioni che, se non sei fesso, saranno tutte diverse. E visto anche che 1/(90 sopra 6) fa proprio 6.22 *10^8, più precisamente 622.614.630, arrivi a giocare praticamente tutte le combinazioni. Le probabilità di vincere sarebbero dello 0.99% e non dell’1%… è il rapporto che fa quasi 1 😉 Il problema, semmai, è che per giocare 311 milioni di schedine devi spendere 311 milioni di euro!
    Bye…

  4. Andrea P said

    Ops! intendevo 99%, non 0.99%

  5. scardax said

    E’ vero! Avevo leggermente sbagliato un conto! 🙂
    Ora ho aggiornato, grazie!

  6. […] da scardax su Ottobre 11, 2009 Poco più di un anno fa, avevamo calcolato le probabilità di fare uno sperato 6+1 al Superenalotto. Visto che negli ultimi giorni spopola un […]

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