6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Io Ce l’Ho Più Grande

Posted by scardax su settembre 4, 2008

Ricordo con particolare divertimento quei litigi infantili che nascevano quando si mettevano di fronte due bambini tremendamente orgogliosi e competitivi, del tipo:

“Mio papà ha appena comprato una macchina superveloce!”
“Ah si? Il mio ne ha una cinque volte più rapida!”
“Papà sta per acquistarne una cento volte di più!”
“Una volta ne ha guidata una mille volte migliore!”
“Un milione!”
“Un miliardo!”
[Sguardi particolarmente incattiviti, eventualmente vola qualche pugno]

Ora, discussioni del genere si concludevano non tanto per particolari limiti fisici raggiunti da queste misteriosi automobili (che probabilmente, almeno nei numeri, avevano già superato il muro del suono ed approssimato paurosamente la velocità della luce), quanto perché si toccava una sorta di “tetto massimo” nell’immaginazione di grandi numeri che potevano avere i ragazzi. “Un miliardo” era molto prossimo ad infinito, quasi insuperabile. Un litigio cosi, credo, sarebbe molto più interessante se a confrontarsi fossero due fisici.

Ad esempio, il primo potrebbe urlare qualcosa come “la distanza percorsa dalla luce in dieci miliardi di anni più rapida!“, che é circa dieci miliardi alla seconda, un numero già abbastanza difficile da concepire. L’altro, colto nel vivo, potrebbe replicare “il numero di atomi nell’universo più veloce della tua!“. Una stima approssimativa di questa grandezza é circa 4 * 10^79, ovvero un numero con ben 70 zeri in più del miliardo! Direi che questo é il punto in cui anche i due fisici comincerebbero ad avere problemi su come continuare, e probabilmente inizierebbero a volare copie dei “Principia Mathematica” o del “Dialogo sopra i Massimi Sistemi del Mondo“.

Ma… e se fossero matematici a litigare? Li inizierebbe il divertimento! Si potrebbe tirare in ballo il “googol“, ovvero un uno seguito da un centinaio di zeri, o addirittura farsi prendere la mano ed osare il “googolplex“, un uno seguito da… un googol di zeri! Una tale grandezza non sarebbe esprimibile neanche se scrivessimo una cifra su ogni atomo dell’universo! Ma i matematici non hanno problemi di esagerazione: perché non tentare anche il mitico “Numero di Graham“? Ecco come costruirlo:

Generalmente, indichiamo con 3^3 il tre elevato alla terza, ovvero ventisette. Possiamo pero’ calcolare anche 3^^3, ovvero 3^(3^3) = 3^27, che é decisamente grande. A questo punto possiamo fare 3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^^(3^27), e sta già diventando inutile andare troppo oltre nei calcoli, visto che otteremmo solo trafile di cifre lunghissime. Ora consideriamo il numero 3^^^…^^^3, in cui ci sono esattamente… 3^^^^3 elevamenti a potenza! Grande? Immenso? Inutile? E’ solo l’inizio! Adesso dobbiamo pensare il numero 3^^^…^^^3, con tanti elevamenti a potenza quanto era il 3^^^…^^^3 calcolato in precedenza! Finita la pazzia? No! Dobbiamo ripetere questo processo ancora… 61 volte! Provate a pensare che un numero del genere é stato realmente usato in una dimostrazione matematica.

Come potrebbe contrattaccare il povero matematico posto di fronte a quest’immensità? Bé, probabilmente tirerebbe in gioco i numeri transfiniti… Ma questa é un’altra storia (e forse un altro post).

PS: la spiegazione su come costruire il numero di Graham l’ho tradotta da qui.

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6 Risposte to “Io Ce l’Ho Più Grande”

  1. vfede said

    beh se fosse un vero matematico, l’ultimo per ribattere potrebbe rispondere: “il tuo…più un epsilon positivo piccolo a piacere” ;p
    e lì avoja a controbattere 😀
    cmq il numero di atomi nell’universo mi sembra troppo piccolo dai, sul serio dico…me lo immaginavo piu grande…e vabe piccole delusioni crescono.
    vf

  2. scardax said

    In effetti come conclusione sarebbe stupenda! 😀

  3. peppe89 said

    io quando ero piccolo dicevo “sempre uno più di te!” :D:D:P

  4. AkiRoss said

    Da piccolo un mio amico imparo’ la parola “infinito” e ci frego’ tutti quanti 😀

    In ogni caso questo numero mi ricorda tanto il busy beaver e la funzione di Rado’… Brrr i grandi numeri mi fanno gelare.

  5. Fenchurch said

    Cesare Zavattini ha descritto in un gustoso capitoletto del suo libro “Parliamo tanto di me” un disputa (molto ingenua, per la verità) tra due matematici: dovevano dire la cifra più alta. Ovviamente, dopo che uno si era sgolato a furia di miliardi, all’altro bastò esclamare: più uno! allo scadere del tempo.

  6. Marco said

    I grandi numeri costruiti tramite questi iperoperatori dovrebbero essere abbastanza impressionanti… già con il super-iperoperatore di rango minimo e applicandolo alla base “2”, si supera di tantissimo il numero di Graham:

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