6 x 9 = 42

“Ho sempre detto che c’era qualcosa di fondamentalmente sbagliato nell’universo…” (Arthur Dent)

Cooperazione ed Equilibri

Posted by scardax su settembre 1, 2008

Oggi voglio parlarvi di un esempio tratto da una branca della matematica relativamente recente, la cosiddetta “Teoria dei Giochi“, che nonostante l’apparente semplicità risulta una vera miniera per discussioni morali e filosofiche sulla cooperazione fra le persone. L’esempio viene detto Dilemma del Prigioniero.

Supponiamo che due membri di una banda criminale vengano arrestati, e portati al commissariato vengano interrogati separatamente. I poliziotti si trovano leggermente in crisi, visto che al momento non possono accusare i due se non per piccoli reati, che li terrebbero in prigione per poco tempo. L’unica soluzione per loro é che ciascuno dei due banditi collabori con la giustizia ed accusi il suo compagno di reati maggiori (come ad esempio una rapina). Ciascuno dei due criminali (che chiameremo A e B) ha quindi due opportunità: collaborare ottenendo uno sconto di pena, oppure tacere prendendo una piccola condanna, ma ha al tempo stesso l’angoscia di non sapere se il suo compagno ha parlato oppure no. Possiamo riassumere questa situazione in una semplice tabella (C sta per collaborare con la polizia, mentre T per tacere):

A / B T C
T Entrambi prendono 1 anno di galera. A non va in galera, mentre B prende 5 anni.
C B non va in galera, mentre A prende 5 anni. Entrambi prendono 3 anni di galera.

Chiaramente, se uno dei due confessa ma viene contemporaneamente accusato dal compagno prende uno sconto di pena su una condanna decisamente maggiore. La prima domanda che puo’ sorgere spontanea é: dov’é il gioco? In effetti, per la matematica un gioco é semplicemente una situazione in cui abbiamo diversi contendenti (in questo caso 2), ciascuno dei quali ha la possibilità di scegliere fra un insieme di strategie (generalmente finito), e ad ogni coppia di strategie dei due giocatori corrispondono determinati “guadagni“. Possiamo pensare che ciascuno dei due prigionieri abbia due strategie, che corrispondono rispettivamente alle righe della tabella (strategie di A) ed alle colonne (strategie di B).

La domanda naturale successiva é: qual’é la soluzione del gioco? O, per dirla in altri termini: quale strategia conviene adottare ad A e B? Per la teoria dei giochi, una soluzione corrisponde ad un cosiddetto “Equilibrio di Nash“, che possiamo definire (in maniera estremamente informale e senza scomodare la matematica) cosi: quell’insieme di strategie (una per ogni giocatore), rispetto al quale non é conveniente a nessun partecipante cambiare la propria (per convenienza si intende massimizzazione dei guadagni). Esaminiamo la tabella: la coppia TT (entrambi i malviventi non parlano) é un’equilibrio? Chiaramente no: a ciascuno dei due converebbe parlare, in modo da non andare neanche per un anno in galera. Il ragionamento é simile anche per la coppia TC: ad A in questo caso converrebbe parlare in modo da diminuire la pena (stessa cosa, ma con protagonisti invertiti, per la coppia CT). In effetti, l’equilibrio é CC: a nessuno dei due conviene tacere, poiché aumenterebbe la propria pena.

Ed eccoci al succo del discorso: la soluzione che, ad occhio, ci poteva sembrare quella “migliore”, ovvero che entrambi tacessero, non si rivela ad una migliore analisi efficace, in quanto é instabile, troppo soggetta alla possibilità per il proprio avversario di tradire e massimizzare il profitto. E’ interessante che il discorso non varia neanche se A e B, prima di essere catturati, si fossero accordati sul non parlare: comunque per entrambi ci sarebbe stata la tentazione al tradimento!

Questa situazione (che in pratica risulta da ragionamenti puramente matematici, nonostante qui abbia cercato di evitarli), é qualcosa con cui abbiamo molta familiarità: le strategie basate sulla fiducia sono quelle che portano un profitto abbastanza buono all’insieme dei membri di una comunità, eppure spesso sono rovinate da persone che vogliono comunque massimizzare i propri guadagni a discapito di altri, e quindi ci si ritrova in situazioni in cui tutti hanno, sostanzialmente, perso qualcosa rispetto a quello che potrebbero avere!

Se volete approfondire il discorso, vi rimando alla homepage di Fioravante Patrone, docente di TdG dai cui pdf ho anche tratto la versione del Dilemma del Prigioniero che vi ho presentato (nonostante l’abbia leggermente adattata).

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3 Risposte to “Cooperazione ed Equilibri”

  1. Fioravante Patrone said

    Ciao e grazie per la citazione! Mi piace molto il fatto che tu dica di esserti liberamente ispirato a delle mie note: non tanto perché ciò riguardi la mia piccola persona, ma perché non capita troppo spesso di leggere questo tipo di parole oneste in rete, dove c’è una tendenza notevole alla scopiazzatura furtiva 😉

    Buon blog!

  2. scardax said

    Grazie a lei per il commento! Personalmente non capisco chi si diverte a copiare da una parte e reincollare sul proprio blog, la parte interessante é proprio cercare di raccogliere le informazioni e scrivere il post.

    Del resto un ringraziamento verso chi ha perso tempo ed energie per invogliare altri a capire le proprie passioni, oserei dire che é più che doveroso!

  3. […] corso ricorderanno, più di un anno fa vi avevo parlato di un gioco molto interessante chiamato Il Dilemma del Prigioniero: riepilogando, si tratta di un gioco a due giocatori in cui ciascuno di essi ha la possibilità di […]

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