Di tutti i problemi proposti da Hilbert, l’Ipotesi di Riemann é forse la più conosciuta e, insieme, la più affascinante. Prima di tutto, ancora nessuno é riuscito a dimostrarla, nonostante a questo obiettivo si siano rivolte alcune delle menti matematiche più geniali degli ultimi due secoli. Inoltre, é un’ipotesi strettamente connessa ai numeri primi, ed essendo i numeri primi i “mattoncini” essenziali dell’intera aritmetica (qualunque numero puo’ essere espresso come prodotto di primi), l’ipotesi é in realtà centrale alla matematica nel suo complesso. Non solo: recentemente, si é capita una sua correlazione con problemi fisici (in particolare, con i livelli energetici di alcuni sistemi quantistici). E se tutto questo non bastasse, il Clay Institute ha offerto un premio di un milione di dollari per chiunque riesca a dimostrarla! Non male, vero? Forse vale davvero la pena di capire di cosa si tratti.

L’ipotesi di Riemann

L’ipotesi di Riemann riguarda la funzione zeta dello stesso Riemann, la quale a sua volta estende la funzione zeta dell’ancor più celebre Eulero, e quindi é da qui che conviene incominciare. La funzione zeta di Eulero é definita, per qualunque numero maggiore di 1, in questa maniera:

Per valori di x maggiori di 1, si ottiene sempre una serie convergente, ed Eulero stesso trovo’ numerosi risultati numerici. Ad esempio, . Inoltre, Eulero trovo’ un’altra forma per la sua funzione, nella quale erano direttamente coinvolti i numeri primi (ricordo che il pigreco maiuscolo indica una produttoria, cosi’ come il sigma maiuscolo indica una sommatoria):

Nella produttoria, p assume il valore di tutti i numeri primi: ecco il primo nesso fra la funzione zeta ed i numeri primi.

Riemann estese questa funzione in modo che potesse prendere come argomento qualunque numero complesso, e non più solo numeri interi (per di più positivi). Prima di tutto, la defini’ per numeri complessi con parte reale maggiore di 1 sfruttando la produttoria trovata da Eulero:

L’unica differenza rispetto a prima é che ora s é un numero complesso, e non più un numero intero. In seguito, Riemann la estese all’intero piano complesso, sfruttando le proprietà dell’analisi complessa (il procedimento coinvolge equazioni abbastanza complicate che tralascero’, in quanto non apportano quasi niente alla discussione).

A questo punto, Riemann si mise a studiare gli zeri della funzione appena ottenuta, ovvero i punti per i quali la funzione si annulla: . Trovo’ quasi subito che esistevano un’infinità di zeri corrispondenti a tutti i numeri pari negativi: -2, -4, -6… Chiamo’ questi zeri banali, e se ne disinteresso’ quasi subito. Scopri’ poi l’esistenza di un’altra infinità di zeri, tutti con parte reale compresa fra 0 ed 1, ovvero che si concentravano in una regione del piano complesso che venne poi definita regione critica.

Riemann congetturo’ che tutti questi zeri (che chiamo’ non banali) si trovassero esattamente a metà della regione critica, ovvero avessero tutti parte reale pari ad 1/2: questa é la congettura di Riemann.

Dimostrare l’Ipotesi

Gli sforzi per dimostrarla sono finora stati di due tipi: da una parte, si é cercato di ottenerne una dimostrazione matematica rigorosa. Il risultato migliore in questo senso é stato ottenuto da Hardy, che dimostro’ che sulla retta critica (ovvero la retta corrispondente a Re[x] = 1/2) vi sono infiniti zeri. Questa potrebbe sembrare una dimostrazione a chi é poco pratico con gli infiniti, ma in realtà non lo é: il fatto che ci siano infiniti zeri che soddisfano la congettura di Riemann non impedisce che ve ne siano altrettanti infiniti che non la soddisfano (cosi’ come il fatto che vi siano infiniti numeri naturali pari non impedisce che ve ne siano infiniti dispari).

Altri hanno invece tentato un approccio empirico: calcolare sempre più zeri, eventualmente sperando di trovarne uno che contraddica l’ipotesi. Ad oggi sono stati verificati diversi miliardi di zeri, tutti soddisfacenti l’ipotesi, ma questo prova ben poco: é stato dimostrato che, se esistono zeri al di fuori della retta critica, sarebbero di ordini di grandezza ben superiori rispetto alle attuali (e forse anche future) potenze di calcolo a nostra disposizione.

Alcuni hanno congetturato che questa sia una di quelle ipotesi non dimostrabili all’interno della matematica stessa, come ad esempio l’Ipotesi del Continuo di cui abbiamo già parlato. Dimostrare questo fatto equivarrebbe in realtà a dimostrare la validità dell’ipotesi di Riemann (in quanto, se fosse falsa, sarebbe sufficiente trovare uno zero al di fuori della retta critica per dimostrarlo).

Connessioni con i Numeri Primi

Per capire quale legame esiste tra la funzione zeta di Riemann e i numeri primi, bisogna prima considerare un problema più generale.

I primi, come già accennato, sono i costituenti essenziali di qualunque numero: a differenza dei costituenti di altre branche, pero’ (come gli atomi della chimica) non esiste una tavola che li raggruppi od una formula che permetta di calcolarli. Essi sembrano, sostanzialmente, casuali. Eppure, la loro distribuzione generale non appare completamente casuale: il numero di primi presenti in un dato intervallo sembra diradarsi all’aumentare della grandezza dei numeri considerati. Piacerebbe trovare una data funzione, , che dia come risultato il numero di primi contenuto nell’intervallo da zero ad x (questo permetterebbe anche di calcolare quali sono i numeri primi, verificando dove la funzione aumenta).

In realtà, i matematici si sono messi alla ricerca di una qualche approssimazione di , e Gauss sembrava averla trovata come:

Dove ln(x) indica il logaritmo naturale di x. Un corollario di questo risultato é che la probabilità che, preso un numero, questo sia primo equivale all’approssimazione di divisa per x, ovvero . Un’altro corollario é che l’n-simo numero primo equivale circa a .

L’errore commesso da questa approssimazione non é costante, ma segue una legge sinusoidale: il numero di primi viene sottostimato in alcune regioni, e sovrastimato in altre, e per questa ragione non é possibile approssimare molto meglio . Il comportamente sinusoidale di questo errore é dato dalla somma di determinate frequenze date proprio… dagli zeri non banali della funzione di Riemann! Per questa ragione viene detto che la funzione di Riemann esprime “la musica dei primi“.

Se l’ipotesi di Riemann é verificata, allora tutti i suoi zeri hanno lo stesso peso nell’influenzare l’errore di approssimazione: in questo caso, la divergenza dall’approssimazione del vero valore di é uguale alla divergenza che si ottiene lanciando un numero x di volte una monetina e contando il numero di testa o croce ottenuti rispetto al risultato teorico aspettato (0.5 teste e 0.5 croce). Nel caso la congettura non sia verificata, invece, i numeri primi sarebbero disposti in una maniera estremamente più casuale, e difficilmente prevedibile.