A questo si aggiunge poi spesso un secondo, apparente miracolo: il fatto che certe teorie, sviluppate per il solo gusto di esplorare i confini della matematica, riescano poi a trovare una perfetta applicazione nel mondo reale: dalle geometrie non euclidee (utilizzate da Einstein nella sua teoria della relatività), all’algebra di Boole, diventata oggi una delle fondamenta dell’informatica. E proprio dal legame fra modelli matematici e realtà scaturiscono le varie scuole di pensiero della matematica, dal Platonismo (i modelli matematici esistono indipendentemente da noi e dal nostro mondo), al Costruttivismo, per cui esistono solo quelle entità che possiamo effettivamente “costruire”, passando per una miriade di altre idee che lasciamo tranquillamente spiegare a Wikipedia.

Oggi celebriamo questo stesso potere della matematica (ed il 2012, e le 17000 visite che ci ha portato l’anno scorso) in un modo particolare: voglio mostrarvi un esempio umoristico di modellazione matematica, che rubo ad un famoso libro del 1994 sulla teoria del Caos (Nonlinear Dynamics And Chaos). Mi scuso fin da subito con chi non riuscirà a seguire il simbolismo (che si basa solo su concetti base dell’analisi matematica), ma spero che anche questi non si perdano d’animo e riescano comunque a cogliere il succo ironico dell’intero discorso.

Infatti oggi modelleremo… l’amore! O, meglio, modelliamo l’evoluzione del sentimento reciproco di due innamorati, che chiameremo con la solita fantasia che ci contraddistingue, A e B.

Cominciamo da un caso specifico: A è innamorato di B, ma più il suo sentimento cresce, più B si spaventa e fugge. Quando però A si stufa, B ricomincia a sentire dell’attrazione per lui. A invece evolve al contrario: il suo sentimento aumenta quando aumenta quello di B, e viceversa. Vi ricorda qualcosa? Mi spiace. Definiamo due funzioni per modellare i sentimenti reciproci:

amore di A per B al tempo t
amore di B per A al tempo t

Dove un valore positivo di A(t) significa amore, mentre un valore negativo significa odio. A questo punto, e basandoci sulla nostra descrizione, il modello è estremamente semplice da ricavare:

Dove e vanno scelti in accordo con i particolari amanti che si stanno considerando, e indica la derivata di A rispetto al tempo, seguendo la notazione convenzionale della fisica (la derivata è una sorta di misura del tasso di cambiamento della funzione che si sta considerando). La conclusione qual’è? Analizzando il sistema, scopriamo che l’unico risultato possibile è un circolo vizioso di amore ed odio, nel quale i due innamorati vengono ricambiati solo un quarto del tempo, odiandosi a vicenda nel restante 75%. Vi ricorda qualcosa anche questo? La matematica è spietata.

Prima abbiamo parlato della capacità di generalizzare a partire dal modello di partenza. Come si applica in questo caso? Una semplice generalizzazione che può venire in mente analizzando le due equazioni è:

In pratica, ora l’amore di A e B è una combinazione dell’amore di entrambi e non solo dell’amore del partner. Il bello è che questo modello ci permette di identificare numerose tipologie di innamorato, a seconda della scelta dei parametri: qualcuno con , che Strogatz chiama “eager beaver”, vedrà il suo amore aumentare in proporzione all’amore dell’altro, ma sarà eccitato anche dal proprio stesso sentimento. Al contrario, un “innamorato cauto” ( e ) sarà spaventato dai propri stessi sentimenti.

Come interagiscono fra loro questi innamorati? Bè, sapete benissimo come si concludono tutti questi esercizi: potete scoprirlo voi.

Tutto comincia quando un’azienda farmaceutica sviluppa un prodotto particolarmente efficace e, dopo una serie di test clinici ad ampio spettro che ne confermino le capacità mediche (che potete scoprire con maggior dettaglio su Wikipedia), ne ottiene un brevetto esclusivo per la commercializzazione della durata di vent’anni. A volte questo brevetto può essere ceduto in usufrutto a terzi, o sfruttato dalla stessa compagnia diverse volte, dando vita a quelli che sono conosciuti come farmaci “copia”, spesso fallacemente confusi con gli equivalenti. Scaduti i vent’anni, il brevetto scade ed altre compagnie possono sfruttare il principio attivo ora di dominio pubblico per sviluppare i propri farmaci che, una volta confermati “equivalenti” da test altrettanto rigorosi di quelli per il farmaco originale, sono immessi sul mercato. Avendo risparmiato in ricerca, le aziende possono permettersi per i farmaci equivalenti prezzi minori delle loro controparti originali. In particolare, in Italia è imposto per legge un prezzo ridotto di almeno il 20 % (percentuale che in alcuni casi reali può salire fino al 50 %).

Quanto rigorosi sono i test a cui vengono sottoposti gli equivalenti? Un farmaco equivalente, oltre a dover contenere la stessa quantità di principio attivo dell’originale, deve esibire le stesse modalità di assorbimento da parte dell’organismo, ed avere identiche indicazioni e controindicazioni terapeutiche. Non deve, invece, contenere gli stessi eccipienti (quelle sostanze aggiuntive che vengono insieme al principio attivo).

Nonostante queste assicurazioni, spesso sono i medici stessi a sconsigliare l’assunzione di questo tipo di farmaci, facendo nascere a volte sospetti di “collusioni” con le case farmaceutiche originarie, e sempre frequenti sono le testimonianze di “persone comuni” che, passando al farmaco equivalente, ne scoprono la totale inefficacia (vedi questo articolo da uno dei blog del Fatto Quotidiano e quest’altro dalle pagine del Corriere). Tutte queste testimonianze, però, sono da ritenersi fallate, poichè ad oggi non esiste studio accertato che dimostri un’efficacia minore di uno o più farmaci equivalenti.

Detto questo, esistono oggi alcuni dettagli in Italia che ne inficiano la reputazione. Ad esempio, mentre negli Stati Uniti un farmaco equivalente deve arrivare in commercio riportando in confezione solo la denominazione del principio attivo (ed eventualmente la casa produttrice), in Italia esso può mantenere il marchio commerciale con cui è conosciuto, aumentando spesso l’idea che si stia ricorrendo ad un farmaco “di serie b”. Inoltre, si possono ritrovare sul mercato farmaci equivalenti di importazione che non sono soggetti alle regolamentazione di certificazione Italiana, ma a quelle dei paesi d’origine.

Nonostante questi difetti, il farmaco equivalente è una realtà valida ed in continua crescita, come testimoniato da comunità di divulgazione come equivalente.it, e che permette al cittadino ed al Sistema Sanitario Nazionale un risparmio notevole (quest’ultimo quantificato in diverse centinaia di milioni di euro). Per rispondere al titolo: farmaci equivalenti? Preziosa risorsa.

1. Selezionare l’azione che, secondo la nostra conoscenza, è la migliore in quella circostanza (exploitation),
2. Esplorare alternative al momento sconosciute, con la possibilità di un rendimento scostante ed eventuali perdite di tempo e risorse (exploration).

Dobbiamo continuare a lavorare sul progetto fallimentare che ci ha tenuti impegnati nelle ultime settimane? O è ora di abbandonarlo per dedicarsi ad altro? Meglio andare alla spiaggia che conosciamo benissimo? O cercarne un’altra? Esempi del genere riempiono la nostra attività cosciente in ogni istante.

La formulazione del problema in questi termini è relativamente recente, fine degli anni ’80, e si è presentata durante lo studio del multi-armed bandit, che in sostanza è una slot machine con N diverse leve, ciascuna delle quali ha una probabilità diversa di vittoria per il giocatore. Senza conoscere questa probabilità a priori, qual’è la strategia migliore a questo gioco? La soluzione dell’americano Gittins prevedeva il calcolo di determinati indici, detti appunto indici di Gittins, e nonostante il grande numero di assunzioni che dovette fare, contribuì a dare una prima formulazione rigorosa di questo dilemma.

Da allora, lo stesso dilemma è ricomparso sempre più spesso, soprattutto (come ci si potrebbe aspettare) nei campi di ricerca interessati a comportamenti “intelligenti” da parte di robot e agenti software: pensiamo ad un giocatore di Poker che può scegliere di sacrificare parte dei suoi guadagni per apprendere qualcosa sul tipo di gioco dell’avversario, o ad un robot mobile che deve decidere come arrivare da qualche parte senza però conoscere ancora la mappa del luogo in cui si trova. Soluzioni tipiche di questo genere di problemi richiediono generalmente alti livelli di esplorazione iniziali (quanto l’ambiente è ancora altamente incerto), e sempre più exploitation man mano che il mondo diventa più conosciuto.

Eppure, fino ad ora i ricercatori si sono concentrati su situazioni sostanzialmente statiche, nelle quali l’ambiente non cambia o, se cambia, cambia poco. Provate a pensare a quanto è difficile, invece, bilanciare questo dilemma in un universo complesso come quello umano, nel quale le informazioni cambiano (a volte anche rapidamente) e spesso sono anche sbagliate di partenza (pensate ai pregiudizi, alle supposizioni errate ecc.). In effetti, ricercatori che indagano sulle modalità neurologiche di questo bilanciamento stanno scoprendo meccanismi sempre più complessi ed affascinanti che regolano il nostro comportamento di tutti i giorni, rendendoci a tratti più avventurosi, a tratti più cauti.

Come semplice esempio per concludere, pensate alla noia: questa non è altro che un modo per dirvi che state sprecando le vostre risorse in un comportamento che non vi porta nulla, e che invece sarebbe meglio investite per esplorare qualcosa che ancora non conoscete. Riusciremo un giorno ad implementare comportamenti similmente complessi in esseri artificiali?

Obiettivo dell’esperimento è dimostrare che

Tutta la conoscenza umana puo’ essere raccolta sulla capocchia di uno spillo.

In parte, è simile a quanto avevamo già visto su L’Universo in un Numero. Cominciamo notando come tutto lo scibile umano, dai sonetti ai temi del liceo, è scritto usando poche decine di caratteri: lettere, numeri, spazi… (Se consideriamo anche le lingue ad ideogrammi, più di poche decine, ma il ragionamento rimane uguale). E’ possibile associare a ciascuno di questi caratteri un numero che lo identifichi univocamente, e trasformare qualsiasi testo in un numero (molto) lungo. Ad esempio, limitandoci a lettere senza accenti e seguendo la codifica ASCII, l’inizio di questo articolo puo’ essere riscritto come 080114101…

Ora, prendiamo tutto quanto scritto finora dall’uomo, calcoliamo i numeri corrispondenti, e concateniamoli uno di seguito all’altro. Otteniamo un nuovo numero molto, molto lungo. Per concludere, facciamolo precedere da uno zero e da una virgola. Quindi, supponendo che l’enciclopedia del sapere umano cominci con quest’articolo (i casi della vita), otterremmo:

0, 080114101…

Chiaramente, ad un numero simile possiamo sempre associare una frazione compresa fra 0 ed 1: ad esempio, in questo caso, poco superiore a 2/25. Ad una frazione, a sua volta, possiamo associare un rapporto di distanze.

Siamo finalmente pronti: prendete uno spillo, ed una penna con una punta infinitamente piccola (se la trovate). Tracciate, sulla capocchia dello spillo, un punto infinitamente piccolo (se ci riuscite) a poco più di 2/25 dalla cima rispetto al punto inferiore. Tutto il sapere umano è ora codificato univocamente dal vostro spillo!

(Nonostante tutto, temo avro’ comunque bisogno di un nuovo ripiano per la mia libreria.)

L’esperimento l’ho trovato originariamente, per quanto strano, su un libro di narrativa:  ”The Gold Bug Variations” di Richard Powers. Ovviamente, essendo un libro stupendo, non è tradotto in Italiano.

In fondo, all’aumentare della complessità di un organismo, va di pari passo un aumento delle sue capacità di apprendimento: mentre il famoso cane di Pavlov sembra poter imparare semplici connessioni causali tramite uno stimolo ripetuto, la capacità dell’uomo di imparare è di dimensioni incomparabilmente maggiori, e gli permette operazioni tanto diverse fra loro quanto quelle di generare una teoria scientifica o di sviluppare una particolare strategia a scacchi.

E’ chiaro come, in questo caso, io stia usando la parola “apprendere” non tanto nel senso scolastico, ovvero “imparare nozioni lette o dette da qualcun altro”, quanto nel senso più generale di generare nuova conoscenza a partire da conoscenza preesistente. Parte dell’apprendimento scolastico puo’ essere considerato un caso particolare di questo senso più ampio, nel quale (almeno in teoria) cerchiamo di far nostro un ragionamento già stabilito e di comprenderne le conclusioni.

Esistono sostanzialmente due tipi di apprendimento: deduzione ed induzione, altrettanto importanti e fra loro complementari, ma la cui distinzione spesso non viene chiarita al punto che spesso essi vengono confusi.

La deduzione è quel processo a cui veniamo abituati durante le lezioni di matematica scolastica: a partire da una serie di assiomi di cui si assume la verità, si cercano di derivare nuovi teoremi e postulati. Questo tipo di ragionamento ha il pregio di essere esatto: una volta accordatici sulla verità degli assiomi, e la correttezza della deduzione, nessuno puo’ dubitare della validità della conclusione. Se accettiamo che “in Estate fa caldo”, e che “adesso è Estate”, non possiamo opporci se poi ci viene detto che “adesso fa caldo”.

Sorvolando per il momento sulla difficoltà di trovare (ed accordarsi) sugli assiomi di base, su cui comunque faremo ritorno fra poco, possiamo comunque notare il grande limite della deduzione: il fatto di dover sempre procedere dal generale verso lo specifico. Avendo a disposizione solo teoremi ed assiomi su rette, non riusciremo mai a dedurre una proprietà su piani, o su volumi. Il confine delle nostre deduzione viene fissato nel momento stesso in cui definiamo l’insieme degli oggetti di cui parlano i nostri assiomi.

L’induzione, invece, è il processo esattamente inverso: da proprietà specifiche cerchiamo di dedurre proprietà più generali. Ci bruciamo due volte toccando una candela, e ne induciamo che il fuoco della candela fa sempre male. Non lo deduciamo, badate bene. Per quante volte una mela cada a terra, non potremo mai dedurre da questi soli fatti che cadrà sempre. Possiamo “indurlo” (in realtà non sono neanche troppo sicuro che si possa dire), oppure possiamo assumere la forza di gravità e dedurre che la mela cadrà. E’ chiaro che, mentre abbiamo perso la certezza delle nostre conclusioni e dobbiamo essere pronti in ogni momento ad ammettere la falsità di alcune di esse, ora il nostro limite risulta essere solo la cautela che poniamo nei nostri salti induttivi. Peraltro, l’unico modo di generare assiomi sembra essere un criterio induttivo.

Per tutti questi motivi, l’induzione appare una forma di ragionamento incredibilmente più potente della deduzione, se ben usata, e ce ne possiamo ben accorgere anche nella difficoltà ad implementarla in maniera automatica. Un robot ben programmato puo’ facilmente dedurre qualcosa da informazioni che già possiede… Ma “indurre” qualcosa? Richiede la capacità di lavorare a diversi livelli di descrizione della realtà, di saper dosare l’audacia delle proprie conclusioni, di poter verificare continuamente quanto si sa, e di cambiare i propri giudizi a seconda di quello che l’evidenza ci presenta. Una sfida incredibilmente più difficile, ma di certo necessaria se vogliamo poter classificare le nostre macchine come “intelligenti”.

Quanto vi interessa l’argomento? [O meglio, mi seguite ancora dopo tutto questo tempo? Battete un colpo!]

Righe conclusive: il titolo è una mia personale variazione sulla famosa frase “They know enough who know how to learn” di Adams. Per l’idea del post, si ringraziano le slides dei corsi del Prof. Rizzi.

Ma questa opposizione è completamente senza senso ed irrazionale: istinto ed apprendimento non sono due concetti in lotta fra loro, anzi. Quando guardiamo da più vicino, capiamo che, in fondo, la capacità di apprendere non è altro che un ulteriore istinto dell’uomo! E’ questa una delle grandi scoperte scientifiche del Secolo: l’uomo non è un animale con meno istinti della media; quello che ci distingue, non sono altro che ulteriori istinti. Istinti che possiamo poi sviluppare o meno grazie alle influenza che riceviamo dal concepimento fino all’età adulta. Ma, nonostante tutto, istinti: la mente non è una favolosa “tabula rasa” su cui costruire una personalità; è una rampa di lancio, un meltin pot di potenzialità che alla lunga ci caratterizzano per quello che siamo e che diventiamo negli anni.

Nulla rende questo concetto più dell’esempio del linguaggio, lo stesso esempio che grazie al lavoro di Noam Chomsky diede il via a questa “rivoluzione” del nostro modo di vederci. Il linguaggio: quella stessa cosa che sembra renderci umani, l’essenza stessa di quella che è la nostra capacità di apprendere, quello che appare come il cuore del nostro pensiero. Il linguaggio, oggi sappiamo, è un istinto. L’istinto del linguaggio, per dirla con le parole di Steven Pinker. Esiste una sorta di “grammatica universale” all’interno della nostra mente, una serie di regole predefinite che sottostanno ad ogni lingua parlata su questo pianeta: quando un bambino impara la sua lingua madre, non fa altro che recepire una serie di particolarità di ciascun idioma (ad esempio, dove porre l’aggettivo rispetto ad un nome), ed assorbire un vocabolario. Il resto è fatto da dei moduli già tarati del nostro cervello.

A dirla oggi, sembra banale. Solo questo spiega l’incredibile facilità con cui impariamo la nostra lingua madre, nonostante una serie quasi paradossale di regole che nessuno ci spiega. Spiega anche perché la lesione di determinate aree del cervello possano distruggere la nostra capacità di parlare, cosi’ come la nostra capacità di capire quello che ci dicono. Sembra banale, ma non lo è.

Non siete convinti? Andiamo avanti con l’esempio pratico. Derek Bickerton studio’ un caso di lavoratori, fra loro stranieri, portati a lavorare nel diciannovesimo Secolo alle Hawaii. Come sempre succede in queste situazioni, per comunicare fra di loro essi svilupparono un linguaggio incredibilmente semplificato, con poca espressività ma notevole complicazione nel formare concetti: quello che viene oggi chiamato un pidgin. Nella generazione successiva, i bambini vennero esposti a questo pidgin, che interagendo con la grammatica universale a cui abbiamo accennato prima, si trasformo’ in un vero e proprio linguaggio, completo di desinenze, nuovi modi di formare frasi, incredibile versatilità: il creolo.

E questo si è ripetuto in numerosi casi, dalla Sierra Leone alla Papua Nuova Guinea. Non solo: si puo’ verificare anche tra comunità di sordi che comunicano con il linguaggio dei segni, che dalla sua rozza versione generalmente insegnata si tramuta in un linguaggio con tutti i crismi.

Nelle guerre di ideologie che verranno con la continua crescita della nostra comprensione della genetica, riflettere su questi temi diventa di un’importanza fondamentale. L’istinto comandato dai nostri geni è un potenziale: niente grammatica universale, niente linguaggio. Ma quanto la società può’ veramente influire su questi potenziali? Quanto conta la famiglia rispetto alla scuola, rispetto ai gruppi con i quali interagiamo continuamente?

Per approfondire maggiormente il tema dell’istinto del linguaggio, consiglio vivamente il libro del già citato Pinker dallo stesso nome: http://www.anobii.com/books/Listinto_del_linguaggio/9788804453505/013c70e06716726bb9/

Cominciamo prendendo un numero ad espansione decimale infinita piuttosto buffo: in particolare, i cui decimali sono formati dalla concatenazione di tutti i numeri naturali in sequenza:

0.123456789101112…

Non ci crederete mai, ma ha anche diritto ad un nome: viene detto numero (o costante) di Champernowne. Cos’ha di interessante? In pratica, i suoi decimali seguono una distribuzione di probabilità uniforme; ovvero, prendendo un decimale a caso, é ugualmente probabile che esso sia una qualunque delle dieci cifre decimali. E questa proprietà vale anche per sequenze di più di una cifra: prendendo due decimali consecutivi, ad esempio, la probabilità che essi siano, diciamo, uguali a 56 é 1/100. E non é finita qui: in questo caso abbiamo scritto il numero sfruttando la base decimale, ma questa proprietà continua a valere costruendo lo stesso numero in qualsiasi base!

Un numero per cui vale tutto quello appena descritto viene detto normale (Champernowne lo ha dimostrato per l’omonima costante). Ok, di nuovo la stessa domanda: e quindi? Supponiamo che ad ogni tripletta di decimali sia associato un carattere, ad esempio seguendo la codifica ASCII. Dalle proprietà di normalità, segue che all’interno della sua espansione decimale é possibile ritrovare… qualsiasi testo!

Sparsi in qualche punto dell’espansione si trovano le opere Shakespeare, la Bibbia, ed anche libri che ancora debbono essere scritti! Il vostro tema di maturità? E li’, da qualche parte, dovete solo cercare sufficientemente bene. E la lettera d’amore che cosi’ gelosamente avete custodito tutto questo tempo senza spedirla? La matematica non ha rispetto per la vostra privacy: anche lei è li’.

Sulla falsariga del ragionamento è possibile costruire molti altri apparenti paradossi: una scimmia che, battendo le dita a caso su un computer per un tempo sufficientemente lungo, produce un qualsiasi libro di vostra scelta; od una libreria che, per costruzione, contenga tutti i libri dell’Universo, come quella del celebre racconto dello scrittore Borges.

Dite la verità: quanto trovate assurdo tutto questo? Per approfondimenti, consiglio la seguente pagina di Wikipedia:

http://en.wikipedia.org/wiki/Infinite_monkey_theorem

Da allora, questo teorema fu ripreso e frainteso infinite volte, fino ad entrare nell’immaginario collettivo di molte persone insieme ad altri teoremi “incapacitanti” simili come quello di Gödel. Ma cosa dimostro’ realmente Arrow?

Per capirlo, partiamo dall’inizio: cos’é un sistema di voto?

Un sistema di voto puo’ considerarsi come un qualcosa che fa corrispondere ad una serie di preferenze individuali (quelle di ogni cittadino) un’unica preferenza della società; e per poter essere considerato corretto, ovviamente, il sistema deve cercare di rispettare equamente ciascuna delle preferenze di partenza. Matematicamente parlando, supponiamo di avere un certo numero di candidati per un’elezione (C1, …, Cn). Ciascun elettore ha un proprio ordine di preferenza per questi candidati, ed in tutto vi sono m elettori. Se indichiamo con P(C) un possibile ordinamento dei candidati, possiamo definire un generico sistema di voto come una funzione che associa alle m preferenze degli elettori una singola preferenza (di società):

Qualunque sistema di voto che conoscete, in sostanza, puo’ essere descritto in questa maniera: dal più semplice “contare le preferenze in ciascuna posizione”, a modalità estremamente più complesse, questa formalizzazione cattura lo spirito della discussione. A questo punto, arriviamo al punto focale del dibattito: come possiamo definire “giusto” un sistema di voto? Quali proprietà esso deve possedere? Arrow ne scelse tre (potete divertirvi a formalizzarle rispetto a quanto detto prima):

• Unanimità (o efficienza di Pareto): se tutti gli elettori preferiscono un candidato A ad un candidato B, allora anche nell’ordine risultante A sarà preferito a B.
• Non Dittatorialità: non esiste un elettore le cui preferenze prevalgono sempre sugli altri, ovvero non esiste un elettore tale che il risultato del voto sia sempre uguale alle sue scelte personali.
• Indifferenza delle Alternative: se A é preferito a B dati un certo numeri di candidati, introdurne di nuovi non cambierà questa preferenza (ovvero, non é possibile che un candidato perda contro tre concorrenti, ma vinca se vi si aggiunge un quarto).

Ed eccoci infine al risultato: Arrow dimostro’ che, se vi sono almeno due elettori e tre candidati, non esiste nessuna funzione matematica che soddisfi queste tre condizioni insieme!

Da qualunque lato lo si guardi, é comunque un teorema sconfortante, in quanto dimostra che una votazione, nonostante la sua facilità di descrizione, é un problema estremamente complesso e difficile da analizzare (e da progettare). Sembra che, comunque vadano le cose, dobbiamo accontentarci di un sistema non ottimale. Ovviamente, un risultato matematico é valido nei limiti in cui sono valide le premesse. In particolare, in che misura deve essere realmente verificata la terza condizione? E’ proprio vero che un candidato nuovo non possa modificare le mie preferenze individuali? E soprattutto, é proprio vero che io debba avere un ordine completo di tutti i candidati in testa?

Per una rapida discussione su questi problemi, potete tranquillamente cominciare dalla pagina di Wikipedia (e dai suoi links):
http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow’s_impossibility_theorem

Lungi da me il voler buttarmi nella spinosa questione della possibilità o meno di aggiornare i programmi correnti per includere argomenti più recenti, voglio solo far notare la fastidiosa conseguenza di tutto cio’: la maggior parte delle persone é ancora convinta che matematica significhi essenzialmente calcoli e formule, ed il distacco fra l’esperto ed il profano si fa di giorno in giorno maggiore.

Vediamo, per dare un esempio, una branca della matematica che ha, in sostanza, poco più di cento anni: la topologia, ovvero lo studio delle figure e delle forme. Qualunque oggetto che vi stia accanto definisce una superficie nello spazio: una palla da calcio definisce una superficie sferica, mentre un foglio di carta una superficie piana. Una ciambella (esempio classico della topologia), rappresenta una superficie leggermente più strana, ma pur sempre una superficie, e cosi’ via. Queste superfici possono essere aperte (come un foglio di carta), o chiuse (come la sfera), e quindi possedere o meno un bordo, avere dei “buchi” (come la ciambella), e cosi’ via.

La domanda é: ogni oggetto definisce una superficie, ma molte di queste sembrano simili fra loro. E’ possibile classificarle in diversi gruppi, cosicché ciascuno di essi possegga particolari proprietà matematiche? Per arrivare a questa classificazione, dobbiamo prima capire che non ci interessano la reale dimensione delle superficie, o la sua forma particolare, quanto il modo in cui questa é composta ed i suoi elementi sono connessi. Possiamo quindi arrivare alla seguente definizione (molto informale):

Due superfici sono topologicamente equivalenti se é possibile tramutare l’una nell’altra attraverso una serie di trasformazioni (allungamenti, stiramenti, torsioni) che non comportino il “taglio” o “l’incollamento” di due parti della superficie.

Seguendo questa definizione, scopriamo che per la matematica qualunque pallone é topologicamente equivalente: quello da rugby é equivalente a quello da calcio semplicemente comprimendolo ai lati. Anche la bottiglia dell’acqua é equivalente alla sfera, mentre una ciambella é equivalente ad una tazza di caffé. E la ciambella e la sfera, sono equivalenti? La risposta parrebbe no dopo qualche minuto di riflessione, ma ovviamente “parrebbe” é un po’ orrendo come risultato.

La topologia ha scoperto che esistono una serie di proprietà delle superfici (chiamate invarianti topologici) che consentono di classificarle in maniera accurata: ovvero, due superfici aventi determinati valori degli invarianti apparteranno per certo ad una data classe, mentre due superfici con invarianti diversi apparterranno a due classi diverse (e non potranno essere trasformate l’una nell’altra senza taglia e cuci). Nel caso delle superfici, due soli invarianti sono sufficienti alla classificazione:

1. La caratteristica di Eulero della superficie. Questo valore é generalmente associato ad un poliedro, ed é uguale a V – E + F, dove V é il numero di vertici del poliedro, E il numero di spigoli (connessioni fra vertici) ed F il numero di facce. Supponete di ricoprire tutta la vostra superficie di poliedri: non importa come li scegliate, il valore di Eulero ottenuto sarà sempre lo stesso. Ad esempio, ricoprendo una sfera di triangoli, o di quadrati, o di qualsiasi altro poliedro, otterrete sempre un valore di Eulero pari a 2. Nel caso di una ciambella, invece, otterrete sempre un valore pari a 0: ciambella e sfera sono superfici topologicamente differenti. Da solo questo numero non é sufficiente: ad esempio, sia la ciambella che il nastro di Möbius hanno una caratteristica di Eulero pari a 0, ma non sono certo equivalenti.
2. La seconda caratteristica é l’orientabilità, ovvero la possibilità di poter definire orientamenti destrorsi o sinistrorsi. Provate a pensare di disegnare una freccia su una sfera, e di farle compiere un giro completo intorno alla sfera: riotterrete lo stesso orientamento della freccia. Provate a farlo su un nastro di Möbius, invece, e dopo un giro otterrete una freccia orientata nel verso opposto! Su un nastro di Möbius é impossibile orientarsi.

Ora, é possibile trasformare una sfera in una qualsiasi altra superficie, in questo modo:

• Se la superficie é orientabile, basta aggiungere una serie di “manici” alla sfera che dipendono dalla differenza di caratteristica di Eulero.
• Se la superficie non é orientabile, bisogna incollare sulla sfera una serie di nastri di Möbius (un’operazione impossibile nello spazio tridimensionale).

E’ possibile determinare numerosi altri invarianti, e cominciare ad ottenere seri risultati utili in moltissimi campi partendo da questi concetti di base. Si puo’ poi estendere il discorso a superfici n-dimensionali considerando l’estensione della sfera in queste n-dimensioni (ad esempio, un’ipersfera é una superficie a tre dimensioni in uno spazio a quattro dimensioni).

(Ed adesso sapete perché questo cose non si insegnano al liceo! ).

Spazio pubblicitario: l’ispirazione al post é venuta da un capitolo del libro “I Problemi del Millennio” di Keith Devlin, consigliato a chi interessi l’argomento.

Prendiamo un esempio semplice: tutti noi abbiamo, almeno intuitivamente, nozione di cosa voglia dire che “lo spazio nel quale viviamo ha tre dimensioni”. Allo stesso modo, sappiamo che un foglio di carta puo’ essere pensato come una superficie a due dimensioni, in quanto la terza é “trascurabile”, mentre un filo assomiglia ad una superficie unidimensionale. La domanda é: come si formalizza il concetto di “dimensione“?

Il modo più semplice é pensare che la dimensionalità di una qualche varietà (un’area, una superficie, uno spazio) sia il minimo numero di punti che sono necessari ad individuare un punto su di essa, una volta che si sia fissato un sistema di riferimento. Quindi, lo spazio ‘classico’ é a tre dimensioni perché, una volta fissata un’origine e tre assi ortogonali fra loro, é sufficiente fornire tre distanze dall’origine per individuare univocamente un punto. Similmente, la superficie della Terra é una varietà a due dimensioni, in quanto sono necessarie solo longitudine e latitudine per individuare un punto (l’altitudine, supponendo che non andiate sott’acqua o in aria, dipende dalle altre due coordinate).

La scelta dei tre punti non é univoca (ad esempio, possiamo individuare un punto nello spazio classico con due angoli ed una lunghezza, o due lunghezze ed un angolo); é sufficiente che sia minima.

Ora che abbiamo il nostro concetto di base, possiamo cominciare a giocarci ed a vedere cosa ne esce fuori (in gergo, “facciamo i matematici”). Per cominciare, l’idea si puo’ rendere astratta a sufficienza da essere indipendente da una nozione di spazio “fisico”: ad esempio, una particella é in generale individuata dalla sua posizione (tre numeri) e dalla sua velocità (o, meglio, dal suo momento, altri tre numeri). Quindi, lo “stato” di una particella é un punto su uno spazio a sei dimensioni! Questo ragionamento porta rapidamente ad introdurre un numero di dimensioni esponenziale (cinque particelle ci portano già a 6×5 = 30 dimensioni!), al punto che il matematico Richard Bellman conio’ il termine “la maledizione della dimensionalità” per indicare questo problema.
(Al limite, possiamo arrivare ad uno spazio ad infinite dimensioni, come quello richiesto dalla teoria quantistica.)

Altri fisici hanno richieste più accettabili: lo spaziotempo della teoria della relatività ha solo quattro dimensioni (potete immaginare uno spazio del genere come una successione infinita di spazi a tre dimensioni identificati dalla variabile temporale); alcune teorie delle stringhe ne vorrebbero undici (alcuni dicono ripiegate su se stesse).

Fin qua, é tutto ancora comprensibile. I problemi cominciano quando consideriamo i frattali (di cui abbiamo parlato in “Camminando in una Spirale Infinita“), ovvero quegli oggetti che mantengono la loro struttura a qualunque ingrandimento. Se raffiniamo il nostro concetto di dimensionalità, scopriamo che in generale un frattale ha un numero di dimensioni che non é un numero intero! Intuitivamente, per individuare un punto su un frattale, n numeri sono pochi, ma n+1 sono troppi.
(Se ve la cavate con l’inglese, qui trovate un esempio sia del raffinamento del concetto di dimensione, sia del frattale:
http://www.math.harvard.edu/archive/21b_fall_03/shirpinski/index.html).

In ogni caso, il blog ha superato le 10mila visite, ed il 25 Dicembre si avvicina: buon Newton-mas a tutti!