Traduzione dell’originale Quantum Entanglement

E’ possibile per una particella interagire con un’altra di maniera che lo stato quantico delle due formi un singolo stato entangled [che si puo' tradurre in italiano con "intrecciato" o "fuso", NdT]. Uno stato entangled é uno stato che non é interamente indipendente da altri stati, ma ne dipende in qualche modo. A causa di questa dipendenza, é un errore considerare ciascuno stato come isolato dagli altri: dobbiamo combinarli e trattare il risultato come un singolo stato.

Ad esempio, un raggio di luce é composto da un flusso di fotoni. La direzione del campo elettrico della luce é detta la sua direzione di polarizzazione. La direzione di polarizzazione di un fotone puo’ formare qualsiasi angolo, ad esempio “verticale” o “orizzontale“. E’ possibile generare una coppia di fotoni entangled se, per esempio, un cristallo viene irradiato da un laser. In questo caso un singolo fotone puo’ dividersi per diventarne due. Ciascun fotone prodotto in questa manierà avrà sempre una polarizzazione ortogonale a quella dell’altro: ad esempio, se un fotone ha polarizzazione verticale allora l’altro dovrà avere polarizzazione orizzontale (questo per la conservazione del momento angolare: il momento angolare del sistema prima della divisione deve essere uguale al momento angolare del sistema dopo la divisione).

Quindi, se due persone ricevono ciascuno uno dei due fotoni entangled e ne misurano la polarizzazione, scoprono che quella del fotone ricevuto dall’altra persona sarà ortogonale a quella del proprio. Sembrerebbe esserci un’apparente connessione fra le particelle, che prescinde dalla loro distanza.

“Non posso credere seriamente nella teoria quantistica perché non si puo’ conciliare con l’idea che la Fisica dovrebbe rappresentare una realtà nel tempo e nello spazio, libera da sinistre azioni a distanza.”
- Albert Einstein

Il Paradosso EPR

Einstein non si concilio’ mai con le implicazioni della teoria Quantistica ed alla leggendaria conferenza Solvay del 1927 (e lungo tutta la fine degli anni 20) propose diversi esperimenti che credeva avrebbero rivelato falle nella teoria stessa. Tuttavia, tutte queste obiezioni furono confutate con successo da Niels Bohr, ed un umile Einstein torno’ a casa a leccarsi le ferite. In ogni modo, nel 1935 Einstein e due colleghi, Boris Podolsky e Nathan Rosen (EPR) descrissero un esperimento a cui ci si riferisce genericamente come il paradosso EPR, le cui implicazioni colpirono la teoria quantistica dritta al cuore.

La maggiore obiezione alla teoria quantistica di Einstein proviene dal suo rifiuto della realtà fisica prima dell’osservazione (la teoria quantistica dice che solo dopo che misuriamo il valore della proprietà di una particella questa acquista realtà fisica, mentre prima della misura dobbiamo considerarla in una sovrapposizione di stati). Si cita spesso il rifiuto dell’indeterminazione quantistica di Einstein: “Dio non gioca a dadi“, ma la sua frase meno citata sul rifiuto della realtà fisica da parte della teoria quantistica rivela la sua maggiore preoccupazione: “Mi piace pensare che la Luna stia là anche se non la sto guardando“.

Per confutare la teoria quantistica su questa base, l’articolo EPR conteneva – per la prima volta nella storia della Scienza – una definizione funzionale della realtà fisica:

“Se, senza disturbare in alcun modo un sistema, possiamo predire con certezza il valore di una quantità fisica, allora esiste un elemento di realtà fisica corrispondente a questa quantità fisica.”
- Definizione di realtà fisica dall’articolo EPR.

Per dirla in altri termini: se una proprietà fisica di un oggetto puo’ essere conosciuta senza che questo sia osservato, allora la proprietà non puo’ essere stata creata dall’osservazione stessa, e quindi doveva esistere come una realtà fisica prima dell’osservazione.

Einstein credeva che l’entanglement quantistico poteva essere usato per rivelare una falla nella teoria quantistica, poiché pensava che avrebbe determinato una realtà fisica precedente all’osservazione – in contrasto con i principi della teoria stessa. Consideriamo due fotoni entangled, uno dei quali inviato all’osservatore Alice, e l’altro all’osservatore Bob (vedere il diagramma sotto). I due osservatori possono anche essere molto lontani fra loro. Ora ricordiamoci dalla discussione all’inizio della pagina che due fotoni entangled devono avere polarizzazioni ortogonali. Quindi quando Alice misura la polarizzazione del suo fotone e la trova, diciamo, verticale, sappiamo instantaneamente che il fotone di Bob avrà polarizzazione orizzontale – anche se Bob non l’ha ancora misurata!

Quando Alice misura la polarizzazione del suo fotone, sappiamo instantaneamente quale valore otterrà Bob quando farà la sua misurazione (basato su un diagramma del libro Quantum Enigma).

Ma la teoria Quantistica ci dice che prima che Bob misuri il suo fotone questo non puo’ avere un valore preciso per la sua polarizzazione – é in una sovrapposizione di stati. Solo quando Bob lo misura il valore diventa fisicamente vero. Ma quindi, come possiamo conoscere il risultato prima ancora che Bob lo osservi? Secondo la teoria Quantistica, la soluzione é che la misurazione di Alice fa collassare la Funzione d’Onda di entrambi i fotoni (quello di Alice E quello di Bob). E’ la misura della polarizzazione di uno dei due fotoni come, diciamo, verticale che fa instantaneamente collassare entrambi i fotoni, con il risultato per il fotone di Bob di avere polarizzazione orizzontale.

Tuttavia, Einstein capi’ che queste comunicazioni istantanee del valore della polarizzazione fra i due fotoni erano proibite dalla sua stessa teoria della Relatività Speciale (nulla viaggia più veloce della luce). Quindi, Einstein credeva che il modello della Meccanica Quantistica era incompleto: non descriveva la realtà fisica del fotone di Bob prima dell’osservazione.

Einstein credeva che la giusta maniera per uscire da questo paradosso era assumere che il fotone di Bob (e tutte le particelle) possiedano alcune proprietà fisse che sono nascoste alla nostra vista (generalmente chiamate variabili nascoste). Nessuna comunicazione più veloce della luce é quindi richiesta: le proprietà della particella sono fissate quando la particella é creata. Crucialmente, quindi, questo significherebbe che la particella possiede più informazione di quanto la teoria Quantistica ci dice, e dunque quest’ultima dev’essere falsa.

Un associato di Bohr disse che “quest’incubo cadde su di noi come un fulmine a ciel sereno. I suoi effetti su Bohr furono notevoli… appena Bohr ascolto’ il mio rapporto sull’argomentazione di Einstein, tutto il resto fu abbandonato.“

La Disuguaglianza di Bell

Nel 1964, John Bell sviluppo’ un ingegnoso test per l’esistenza delle variabili nascoste. Il teorema di Bell (generalmente designato come la Disuguaglianza di Bell) é stato chiamato “la scoperta più profonda della Scienza” (vedi qui [articolo in Inglese, NdT]).

Bell mostro’ che, per un gruppo di oggetti con delle proprietà fisse A, B e C, il numero di oggetti che possiedono la proprietà A ma non la B più il numero di oggetti che possiedono la proprietà B ma non la C é maggiore o uguale al numero di oggetti che hanno la proprietà A ma non la C.

Questo puo’ essere scritto in maniera più compatta come:

Numero(A, not B) + Numero(B, not C) >= Numero(A, not C)

Una versione facile da capire di questa disuguaglianza é fornita da David M. Harrison dell’University of Toronto (vedi qui). Consideriamo come collezione di oggetti con proprietà fisse una collezione di persone, e fissiamo le loro proprietà come:

• A: Sesso (“Maschio” o “Femmina”)
• B: Altezza (sopra 1.7 m (“Alto”) o sotto 1.7 m (“Basso” – non vi offendete!)).
• C: Colore degli occhi (“Blu” o “Verde”)

Quindi, non importa quale gruppo di persone vi ritroviate davanti, potrete sempre affermare la seguente disuguaglianza: “Il numero di maschi bassi più il numero di persone alte, maschi e femmine, con gli occhi verdi sarà sempre maggiore o uguale del numero di maschi con occhi verdi. Garantisco in maniera assoluta che questo é vero per ogni insieme di persone.“

E’ sempre vero. Non é sorprendente? Ecco un po’ di Meccanica Quantistica che potrete testare alla vostra prossima festa!

E’ abbastanza semplice provarlo. Da notare che ogni persona puo’ essere classificata in uno dei seguenti otto gruppi:

Riferendoci a questo diagramma, la Disuguaglianza di Bell ci dice che:

(Gruppo 1 + Gruppo 2) + (Gruppo 4 + Gruppo 8 ) >= (Gruppo 2 + Gruppo 4)

Che é ovviamente sempre vero.

Quindi la disuguaglianza di Bell sarà sempre soddisfatta per gli oggetti normali, di tutti i giorni, che possiedono proprietà fisse. Ma adesso analizziamo la situazione nel caso di una particella quantistica. Consideriamo la polarizzazione (più comunemente chiamata “spin“) di un fotone come la proprietà che deve essere misurata. Scopriamo adesso di avere un limite imposto dalla Meccanica Quantistica: il Principio di Indeterminazione di Heisenberg ci dice che non possiamo ottenere il valore corretto dello spin in due direzioni differenti. Ad esempio, non possiamo conoscere lo spin di una particella in direzione 90° (“su”) e in direzione 45° allo stesso tempo. Quindi, come possiamo effettuare un test per la disuguaglianza di Bell su una particella? Qui é dove l’entanglement Quantistico ci viene in aiuto, suggerendoci che possiamo trovare i valori di due proprietà se abbiamo due particelle entangled. Consideriamo “spin su” come la Proprietà A, e “spin 45″ come la Proprietà B. Se misuriamo una particella entangled per la proprietà A, possiamo poi usare la seconda, ancora non osservata, per misurare la Proprietà B (nota: questo implica che abbiamo in qualche modo “sconfitto” il Principio di Indeterminazione).

Riferendoci alla nostra formulazione iniziale della Disuguaglianza di Bell:

Numero(A, not B) + Numero(B, not C) >= Numero(A, not C)

Dobbiamo dividere le nostre particelle quantistiche in tre gruppi (chiamati “insiemi“), ed estrarre la coppie di particelle entangled da ciascun gruppo:

Poiché non possiamo misurare tutte e tre le proprietà di ciascuna particella (ad esempio non possiamo misurare A, B e C – possiamo solo misurarne due), non possiamo concludere se la disuguaglianza é soddisfatta o no. Il meglio che possiamo fare é eseguire il test su un insieme di diverse migliaia di particelle e considerare le statistiche dei risultati. Il primo esperimento pubblicato fu di Clauser, Home, Shimony ed Holt nel 1969 usando coppie di fotoni (con le diverse proprietà corrispondenti agli angoli di polarizzazione di  0°, 45°, 22.5° e 67.5° – vedi qui) e si trovo’ che le statistiche suggerivano fortemente che la disuguaglianza era, in effetti, violata.

Cosa significa questo? Prendendo il nostro esempio di prima della collezione di persone, considerando il lato destro della disuguaglianza, per poter essere violata una persona dovrebbe avere più spesso occhi verdi se l’altra persona (entangled) é un maschio. In altre parole, la misura della proprietà é dipendente dal tipo di osservazione effettuato sull’altra particella entangled: c’é una connessione instantanea fra le particelle. Cosa succede ad una particella puo’ influenzare immediatamente le altre (fra l’altro, ci mostra che non siamo riusciti a “vincere” il Principio di Indeterminazione – non possiamo ottenere una vera misura delle due proprietà: quando ne misuriamo una, “contaminiamo” la misura dell’altra).

Sommario

Riassumendo, Einstein credeva che:

1. Non ci fosse nessuna “sinistra azione a distanza” che violava apparentemente la Relatività Speciale (c’era località).
2. Gli oggetti avessero una realtà e delle proprietà definite ed indipendenti dalle nostre osservazioni.

Pero’, la violazione della disuguaglianza di Bell ci rivela che é vero l’inverso:

1. Esiste una strana connessione fra le particelle che informa instantaneamente la particella non disturbata del tipo di misura appena effettuata sul suo partner (anche se la Relatività Speciale non é violata perché non si puo’ trasmettere informazione usando questo metodo).

Le implicazioni di questo risultato saranno considerate in uno dei prossimi articoli.

La Disuguaglianza di Leggett

Quindi Einstein credeva in una teoria nella quale le particelle hanno delle proprietà nascoste e preesistenti indipendenti dalla misura (“realismo”), e non c’era nessun’azione a distanza. Ma la violazione della disuguaglianza di Bell ci mostra che esiste, in effetti, qualche forma di azione non locale. Tuttavia, non va cosi lontano da farci negare la possibilità di qualche forma di variabile nascosta nelle particelle.

Nel 2003 Anthony Leggett scopri’ una nuova disuguaglianza che – se fosse violata sperimentalmente come la disuguaglianza di Bell – invaliderebbe anche quest’ultima possibilità, mostrando che le particelle potrebbero non possedere un “realismo” nel senso convenzionale del termine. Cosi’, i due principi gemelli di Einstein di località e realismo sarebbe entrambi violati.

La disuguaglianza di Leggett é basata sul fatto che se abbiamo due numeri – A e B – che possono valere sia +1 che -1 la seguente equazione é sempre vera:

(Potremmo, per esempio, pensare che i valori +1 e -1 rappresentino la polarizzazione del fotone in su (+1) o in giù (-1) per le due particelle A e B).

E’ facile vedere che questo é vero esaminando tutte le possibili situazioni:

La disuguaglianza basata su questo principio é stata recentemente testata sperimentalmente e, in effetti, é risultato falsa (per dettagli, vedere i seguenti due articoli in Inglese: Physics World article e New Scientist article). Quindi sembrerebbe che i due pilastri Einsteniani del realismo e della località siano entrambi crollati.

(Tuttavia, in un prossimo articolo vedremo come puo’ essere possibile considerare la sovrapposizione quantistica come “una realtà prima dell’osservazione”.)

Qubit

Il segreto per analizzare sistemi di tipo entangled é non considerare più una Funzione d’Onda per una singola particella, ma una Funzione d’Onda per l’intero sistema.

E’ abbastanza utile a questo punto introdurre un’altro po’ di notazione. Nell’articolo precedente avevano introdotto la notazione bra-ket, con uno stato denotato da . Se abbiamo due stati, e , la loro unione é il loro prodotto tensoriale (vedi articolo Il Casino Quantico). Il singolo stato risultante sarà:

Per esempio, consideriamo una particella che, dopo una misurazione, puo’ trovarsi in uno dei due stati: o (una particella del genere é conosciuta come Qubit ed é usata nel nuovissimo campo dell’Informatica Quantistica). La base ortonormale dello spazio degli stati di Hilbert dovrà quindi avere due vettori rappresentanti i due stati (uno spazio di Hilbert bidimensionale é denotato da H² – vedi articolo precedente per una spiegazione sullo spazio di Hilbert e sulle basi ortonormali):

Prima della misurazione, e del collasso della Funzione d’Onda, lo stato del qubit poteva essere una qualunque sovrapposizione di questi due stati ma, dopo la misurazione, lo stato si troverà sempre in 0 o in 1 (le sovrapposizioni sembrano scomparire).

Cosa succede se il nostro qubit é un fotone con un partner entangled (come spiegato prima)? Potreste pensare che ciascun fotone abbia il proprio stato, e quindi ciascuno dei due abbia il proprio spazio degli stati di Hilbert separato:

Sbagliato.

Ricordate che gli stati dei due fotoni entangled dipendono l’uno dall’altro: per i nostri qubit entangled, diciamo che se il primo qubit é nello stato 0 allora il secondo sarà costretto ad essere anche lui nello stesso stato, e viceversa per lo stato 1. Ora, invece di avere due spazi degli stati separati per i due qubit abbiamo un unico spazio degli stati entangled, ed al posto di una Funzione d’Onda per ciascun qubit ne abbiamo una per l’intero sistema (composto, appunto, da due qubits).

Per costruire lo spazio entangled, vediamo prima che ciascun vettore é raggiungibile da un insieme di due vettori di base:

Il risultato dell’unione dei due spazi degli stati puo’ essere costruito prendendo il prodotto tensoriale dei due insiemi di vettori di base dei due originali spazi degli stati (il prodotto tensoriale é una matrice – vedi articolo precedente). Questo si puo’ ottenere con una moltiplicazione matriciale dei due insiemi:

Possiamo vedere come i due originali stati degli spazi bidimensionali si combinano a formare un singolo spazio degli stati quadri-dimensionale:

Quindi l’insieme di quattro vettori di base risultante per il nuovo spazio entangled é:

Notate che con un solo entanglement lo spazio di Hilbert é rapidamente cresciuto da due a quattro dimensioni. Questo aumento sarà la chiave per spiegare quello che realmente accade durante il collasso della Funzione d’Onda [prossimo articolo - se non collasso io prima, NdT].

Appendice: Sistemi Separabili ed Entangled

Ecco un chiarimento sulla distinzione fra sistemi entangled e sistemi separabili.

Consideriamo il colore degli occhi (che puo’ essere sia blu che verde) di due persone non correlate fra loro. Le due persone possono essere trattate come un singolo sistema, che avrà quattro possibili stati (essenzialmente, ogni persona é come un qubit, e qui stiamo lavorando con un sistema a due qubit):

E’ possibile scomporre il sistema perché non c’é dipendenza fra il colore degli occhi della persona 1 ed il colore degli occhi della persona 2: sono due sistemi completamente indipendenti. Tuttavia, se ora consideriamo la situazione con due fratelli gemelli scopriamo che esiste una dipendenza: il colore degli occhi della persona 1 dipende dal colore degli occhi della persona 2 – sono identici.

In questo caso non é possibile decomporre il sistema in due sistemi separati (due persone) a causa della dipendenza fra i due gemelli. Ad esempio, non siete più liberi di scegliere gli occhi blu per la persona 1 e gli occhi verdi per la persona 2 – questa combinazione di stati é vietata. Per questa ragione, questo sistema combinato con i due gemelli é non-separabile ed é uno stato entangled, e un sistema con due qubit entangled non puo’ essere diviso in due sistemi da un qubit l’uno indipendenti.