Numeri e Figure

Cambiando prospettiva nella vita, si sa, si ottengono straordinari risultati.

Ad esempio, oggi siamo abituati a considerare i numeri naturali (1, 2, 3…) principalmente in relazione al contare: “due mele”, “tre euro”, “quattro deficienti che cercano di fregarmi la macchina anche se ho l’antifurto satellitare”, e cosi’ via. Questo ha la sua base nella matematica moderna, che come punto di partenza per l’interpretazione dei numeri prende la teoria insiemistica.

Certo é che non sempre é stato cosi’. Per lungo tempo, i numeri sono stati interpretati semplicemente come grandezze geometriche: cinque era la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente cateti 3 e 4. Ancora prima di questo, presso i Pitagorici, celebre setta insediatasi a Crotone nel sesto secolo a.C., i numeri naturali venivano visti come portanti con sé la chiave dell’Universo: ciascun numero, concepito come un conglomerato di unità, recava in sé un significato simbolico. Ad esempio, il 2 ed il 3 erano, rispettivamente, il numero femminile ed il numero maschile e, di conseguenza, il 5 era il numero del matrimonio (essendo la somma di due e tre).

Anche se questi aspetti del pensiero pitagorico durarono relativamente poco, molti altri, mescolandosi al pensiero platonico, pervasero la cultura per millenni, riemergendo durante il Rinascimento e durando fino ai nostri giorni. Fra questi vi é, ad esempio, l’interesse per i numeri figurati. Come abbiamo detto prima, possiamo vedere ogni numero come una somma di unità: possiamo quindi anche disporre queste unità per vedere quale figura geometrica si ottiene. Quindi, ad esempio, il tre viene visto come un numero triangolare (poiché tre unità disposte in modo simmetrico formano un triangolo), cosi come il sei, mentre il nove forma un quadrato, ed il cinque un pentagono.

Questo genere di numeri sono stati ampiamente studiati in seguito. In particolare, si sono scoperte formule per determinare tutti i numeri appartenenti ad una data categoria: ad esempio, tutti i numeri triangolari assumono la forma . I numeri quadrati sono anche più semplici: come ovvio, sono dati dalla forma . Fra i numeri figurati intercorrono diverse relazioni: ad esempio, la somma di due numeri triangolari successivi dà luogo ad un numero quadrato.

Il teorema indubbiamente più bello di tutti, pero’, é quello di Fermat sui numeri poligonali:

Ogni numero puo’ essere scritto come la somma di, al massimo, tre numeri triangolari, quattro numeri quadrati, cinque numeri pentagonali e, più in generale, n numeri n-agonali.

Vi sono alcuni casi particolari: ad esempio, un numero puo’ sempre essere scritto come la somma di esattamente quattro numeri quadrati.

Ci sono anche numeri figurati tridimensionali, ad esempio i numeri piramidali, i quali si dividono a seconda della base della piramide. Ad esempio, tutti i numeri della forma sono numeri piramidali triangolari (ovvero, permettono di costruire una piramide a base triangolare).

Per la prossima settimana, prometto un post che non sia di Matematica pura!

Numeri d’Oro e Successioni di Conigli

Nota: le immagini a correlazione del post sono orrende, non rispettano le proporzioni (nonostante si parli proprio di quello) e sembrano disegnate da un quindicenne. Sono il meglio che ho potuto fare, munito di un programmino stupido e del solo touchpad (no, non é vero. Non avevo proprio voglia di farle).

Fra i tanti argomenti che abbiamo affrontato in tutti i post che hanno seguito la nascita di questo blog, mi stupisce che ancora non abbia avuto occasione di parlare del famosissimo “rapporto aureo“, un concetto tanto caro ai Greci che essi non trovarono nemmeno necessario dargli un vero nome (e lo chiamavano semplicemente “sezione”), che Keplero descriveva come una delle meraviglie della matematica e Leonardo da Vinci come il rapporto in assoluto più gradevole all’occhio umano. Un rapporto usato da millenni in architettura, scultura, pittura, e, perché no, in Natura: per farvi un esempio, il vostro avambraccio sta al vostro braccio esattamente in rapporto aureo.

Quindi, cominciamo: cos’é questo fantastico rapporto? Dopo questa prolissa introduzione, forse la sua descrizione vi sembrerà fin troppo triviale: se prendiamo un segmento AB, e lo dividiamo in due segmenti AC e CB, questi due si dicono in rapporto aureo se il rapporto fra il più breve ed il più lungo é uguale al rapporto fra il più lungo e l’intero segmento, come vediamo nella figura.

In termini geometrici, quindi, abbiamo rapporto aureo quando

Possiamo ora calcolare l’esatto valore del rapporto aureo, che indichiamo con , che sarà uguale al rapporto fra CB ed AB. AB, pero’, é la somma di AC e CB. Sostituendo nell’equazione di prima, otteniamo:

Abbiamo quindi un’equazione in una incognita (il rapporto aureo), che, mettendo a denominatore comune, risulta essere di secondo grado:

Risolvendo (considerando solo la radice positiva), otteniamo che:

Che é un numero irrazionale, e vale circa 1,61.

Una delle proprietà più note del rapporto aureo é il suo legame con la successione di Fibonacci, la celebre sequenza di numeri in cui ciascun termine é uguale alla somma dei due termini precedenti (esclusi i primi due, che vengono posti uguali ad 1): 1 1 2 3 5… La sequenza prende il nome dallo pseudonimo del celebre matematico italiano che la studio’ per primo, Leonardo Pisano (uno dei massimi matematici del Medioevo, anche se bisogna ammettere che la concorrenza non era particolarmente serrata), che la introdusse studiando il tasso di crescita di una popolazione di conigli (in cui ciascuna coppia fertile ha un’altra coppia di conigli al mese, i quali diventano fertili il mese successivo, cominciando con una sola coppia).

Di sicuro lo stesso Fibonacci si stupi’ del fatto che il rapporto fra un numero della sequenza ed il numero immediatamente precedente approssima il rapporto aureo, e che questa approssimazione migliora considerando numeri sempre più in là nella sequenza. Considerando le equazioni ricorsive della sequenza di Fibonacci, é possibile dimostrare che, al limite, questo rapporto é proprio uguale alla sezione aurea. Chiamando l’n-esimo numero della sequenza, possiamo allora affermare che:

Il rapporto aureo é avvistato ovunque, a volte anche troppo forzatamente, e questa vuol solo essere una brevissima introduzione per lanciarvi preparati alla ricerca di queste comparse. Solo per invogliarvi, ne cito uno (anzi due): consideriamo un pentagono regolare:

E tracciamo le cinque diagonali del pentagono. Otteniamo, oltre alla famosa stella a cinque punte, un altro pentagono regolare più piccolo all’interno del pentagono stesso:

Bene: ogni diagonale del pentagono viene tagliata in due da un’altra diagonale, ed i due segmenti stanno fra loro esattamente nel rapporto aureo!

Qui vediamo anche un’altra proprietà della sezione aurea piuttosto ricorrente: essa tende a “riprodursi”. Ad esempio, potremmo tracciare le diagonali del pentagono più piccolo, ottenendo un altro pentagono ancora più piccolo, ed ottenendo la sezione aurea delle sue diagonali. Oppure, consideriamo il segmento di inizio post, ed inseriamo un quarto punto D tale che AD sia uguale a CB. Indovinate? D taglia il segmento AC in due parti che stanno fra loro in rapporto aureo!

Bé, ora potete anche divertirvi con Google.

Nota sulle fonti: la stragrande maggioranza del post é stata estrapolata e rivista da sezioni diversi della Storia della Matematica di Boyer.

Pensando In Grande

Una delle cose sicuramente più affascinanti nella matematica é come alcune idee, scoperte inizialmente per uno o più casi particolari, si siano nel tempo generalizzate, incastrandosi perfettamente, ad ogni generalizzazione, nell’impalcatura complessiva matematica.

Prendiamo ad esempio il caso dell’elevamento a potenza: quando viene insegnato ai ragazzi a scuola, viene esplicitamente detto che “a elevato alla b vuol dire a moltiplicato per se stesso b volte“. In simboli, questo equivale a dire che a^b = a * a * … * a (dove a compare esattamente b volte, appunto). Notate come, mentre a puo’ assumere qualsiasi valore, in questa definizione b é implicitamente un numero intero positivo (ovvero, un numero naturale, escludendo lo zero).

Possiamo pensare di estendere questa definizione includendo anche lo zero: pero’, cosa vuol dire “a moltiplicato per se stesso zero volte“? Qui possiamo fare quel che viene tecnicamente detto “far quadrare i conti”: dare all’operazione a⁰ un valore convenzionale di modo che le proprietà dell’elevamento a potenza siano preservate. In particolare, pensiamo alla proprietà a^b+c = a^b * a^c. Se c=0, il membro di sinistra vale esattamente a^b, quindi a destra a^c dovrà essere pari a 1. Poiché c é zero, possiamo dire che un numero elevato alla zero fa sempre uno (convenzionalmente).

Notiamo come ci stiamo allontanando dalla definizione intuitiva per rendere quest’operazione astratta, ma generale. Il passo successivo é ovviamente dare la possibilità a b di essere negativo: saltando i ragionamenti fatti sulle proprietà, si arriva ad affermare che a^b (con b<0) = 1/a^-b (ovvero il reciproco di a elevato alla -b). Qui ci stiamo completamente lasciando guidare dalla matematica: affermare “a moltiplicato per se stesso meno tre volte” non ha più alcun senso.

Una delle proprietà dell’elevamento a potenza, peraltro, é che a^bc = a^b*c. Ricordiamoci poi la definizione di radice n-esima: la radice n-esima di un numero a é quel numero che, moltiplicato per se stesso n volte, dà come risultato proprio a. Scrivendo questa seconda proprietà in formule (l’immagine é presa da Wikimedia):

Ricollegandoci alla proprietà degli esponenziali, capiamo quindi che possiamo scrivere la radice ennesima di un numero come a^1/n. Infatti, a^(1/n)n = a^n/n = a¹ = a. Adesso, quindi, possiamo anche scrivere il risultato di a^b/c: la radice c-esima di a, elevata alla b. Abbiamo generalizzato la formula di partenza anche per un qualunque b razionale!

E questo non é ovviamente tutto: e se b fosse irrazionale (ad esempio, pi greco)? Bé, possiamo generalizzare la formula in modo che sia valida per qualunque numero reale b (non voglio esasperarvi: su Wikipedia, comunque, c’é un accenno a questa definizione). Poi possiamo passare ai numeri complessi, agli iperreali, ecc.

Oppure, potremmo pensare all’operazione: “a elevato a potenza b c volte” (operazione di tetrazione in matematica). Ma qui c é un numero intero! E se fosse un numero negativo? Bé, possiamo pensare che…

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NB: l’ispirazione del post viene in parte da un capitolo de “La Strada che Porta alla Realtà” di Penrose, sia da un articolo di Odifreddi su un numero di “Le Scienze” di qualche tempo fa. Fra l’altro, abbiamo superato 5000 visite, ed io non posso neanche andare ad ubriacarmi per festeggiare visto che sto sotto esami. In ogni caso: grazie a tutti!

Anche I Botanici Possono

Lo studio delle funzioni é uno di quegli argomenti che, al Liceo, o si amano o si odiano. C’é chi davanti ad un seno ha un collasso, chi si diverte non poco a disegnarlo, e chi lo preferisce decisamente dal vivo. Ve li ricordate i bei vecchi tempi? “Dunque, il logaritmo é crescente, quindi… no, aspetta, questo ha base minore di uno… pero’ se lo integriamo su tutto l’asse positivo…“.

Ovviamente i matematici si son stufati in fretta delle funzioni semplici come si vedono a scuola: una volta disegnato il grafico, tutto il divertimento é finito. E’ molto più bello parametrizzarle: ad esempio, con y=cos(x) avete una sola funzione, ma se scrivete y=a*cos(x) avete infinite funzioni, una per ogni possibile valore di a (in particolare, infinite funzioni che differiscono fra loro per l’ampiezza)! Nel caso del coseno é semplice, ma parametrizzando un esponente già si ottiene un risultato migliore: con y=x^a otteniamo una miriade di funzioni da studiare: una retta con a=1, una parabola con a=2 e cosi’ via.

E c’é anche chi ha voluto strafare. Ad esempio, nel 2003 un botanico belga, Johan Gielis, ha scoperto quella che é stata simpaticamente definita “la superformula”, capace, a seconda di sei diversi parametri, di far ottenere le figure più diverse. La sua formula, che puo’ spaventare, é la seguente (immagine presa da Wikimedia):

Una piccola precisazione é necessaria: questa formula non é espressa nella forma con coordinate cartesiane che molti conoscono, che associa ad ogni punto sull’ascissa un punto sull’ordinata, ma in coordinate polari: ovvero, ad ogni angolo del piano associa una distanza dal centro (rispettivamente, phi e rho nella formula). I parametri sono a, b, m, n1, n2 ed n3. Una serie di possibili forme ottenibili si trova al seguente link:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1c/Superformula.gif

Fine? Ancora no: moltiplicando opportunamente fra loro diverse “superformule”, si possono ottenere grafici non più in due sole dimensioni, ma in tre e (perché no) in quattro, cinque, sei… Un sacco di esempi in 3D sono al seguente link (da cui é anche possibile scaricare un programma per fare altri tentativi):

http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/supershape3d/

Ancora non si sa se questa formula racchiuda in sé qualche particolare segreto carpito alla Natura, quel che é certo é che (con tutto il rispetto) é uno straordinario perditempo per chi ha voglia di fare qualche tentativo cambiando i vari parametri.

Un grazie a Matematicamente.it per avermi fatto conoscere l’argomento del topic. Fra l’altro, reitero la richiesta di un po’ di tempo fa: c’é nessuno che mi segua dall’estero, disposto a farsi disturbare da qualche email per la gloria scientifica? Scrivete nei commenti.

Camminando in una Spirale Infinita

Di tutti gli argomenti della Matematica, uno di quelli che sicuramente più intriga ed affascina allo stesso tempo é quello dei Frattali: quei misteriosi oggetti che mantengono la loro forma a qualunque ingrandimento, ripetendosi all’infinito ad ogni livello. L’esempio classico con cui si introducono é l’abete: il suo tronco da cui si dipartono i rami é simile al singolo ramo da cui partono rametti, che a sua volta é simile al singolo rametto da cui nascono le foglie, e cosi via.

La costruzione di un frattale é un’operazione un po’ particolare: a differenza della geometria classica, non si ha una funzione analitica che ci indica come sarà il risultato e che possiamo passare ad un programma di computer grafica: un qualcosa come (x+y)²=r² che indica una circonferenza, ad esempio, o y=x²+3x-4 che forma una parabola. Al contrario, abbiamo un algoritmo: una sequenza di passi da eseguire uno dopo l’altro per ottenere il risultato. Peggio: un algoritmo ciclico. Dopo averlo applicato, dobbiamo applicarlo nuovamente sul risultato per ottenere un frattale di qualità maggiore, e possiamo ripetere il processo quante volte vogliamo per ottenere risoluzioni sempre migliori.

(Fra l’altro, si capisce perché i frattali sono una materia relativamente recente, di pochi decenni: era quasi impossibile disegnarli (o anche solo immaginarli) senza l’ausilio dei calcolatori elettronici).

Fra tutti i possibili frattali, quello che generalmente suscita più interesse é quello di Mandelbrot, la cui costruzione merita un po’ di attenzione. Come punto di partenza, consideriamo la successione:

f_n+1 = f_n² + c (con f_n,f_n+1 e c numeri complessi, cioé della forma a+ib, con i radice quadrata di -1).

Ovvero una successione in cui l’n+1 elemento é dato dal quadrato dell’n elemento (il precedente) più una costante c. Ad essere precisi, questa é una famiglia di successioni: a seconda di quale siano l’elemento iniziale f₀ e la costante c, se ne ottiene una diversa. Ad esempio, con f₀ = 1 e c=2+i, otteniamo {1; 3+i; -6+7i …}. In generale, la successione che si ottiene potrà essere limitata o divergente: limitata se i suoi valori sono sempre minori di un dato valore k, divergente se i suoi valori tendono ad infinito.

Bene: l’insieme di Mandelbrot é l’insieme dei valori di c per cui la successione risulta limitata (con f₀ = 0). Qui sorge un problema tecnico leggermente fastidioso: come stabilire se una successione é limitata? Questo sembrerebbe richiedere l’analisi di un infinità di valori! Fortunatamente, abbiamo a disposizione alcuni criteri che ci dicono quando non é limitata: in questo caso, se il modulo di un dato f_n (la radice quadrata di a²+b²) diventa maggiore di 2, sicuramente la successione é divergente. Ora, ricordandoci che é possibile disegnare i numeri complessi su un normale piano euclideo, considerando come ascisse ed ordinate rispettivamente la loro parte reale e la loro parte immaginaria (a e b), potremmo pensare di scrivere un programma per computer che esaminasse in sequenza vari c, e disegnasse mano mano l’insieme (o una sua ragionevole approssimazione). Risultato: un frattale!

Vi lascio guardarlo da soli tramite queste bellissime immagini: The Mandelbrot set.

Esistono anche altre maniere meno “matematiche” per ottenere un frattale, che coinvolgono generatori di numeri casuali: una delle più semplici é la cosiddetta Diffusion Limited Aggregation (DLA, sembra una malattia, lo ammetto). Il procedimento é questo: si parte da una particella al centro dello schermo, e:

1. Si genera un’altra particella in un punto qualsiasi dello schermo.
2. La si fa muovere in maniera casuale.
3. Se tocca una particella presente sullo schermo, la si attacca nel punto in cui l’ha toccata. Altrimenti, se esce dallo schermo, non la si considera più.
4. Si ricomincia dal punto 1.

Vederlo é più semplice che leggerlo: Applet sulla DLA (cliccate su Grow per cominciare la simulazione).

Una nota di servizio: questo post era nato come topic per il (piccolo ma in crescita) gruppo su Facebook Io Amo La Matematica. Chiaramente ve lo consiglio. Fra l’altro, se siete su FB potete anche iscrivervi al network di questo blog:

http://apps.facebook.com/blognetworks/blogpage.php?blogid=72075

Che, nel momento in cui scrivo, conta la bellissima cifra di 10 iscritti! Dieci persone che conosco e che mi leggono, mi commuovo.

Modi di Vedere il Mondo

Pochi scienziati dell’antica Grecia hanno goduto, e godono tuttora, di una fama paragonabile a quella di Euclide. Nonostante le informazioni su di lui siano molto scarse, sappiamo che visse intorno al 300 a.C. sotto il regno di Tolomeo I, e scrisse trattati di Ottica, di Catottrica (la parte dell’ottica che si occupa della riflessione della luce), di Musica, di Meccanica e, soprattutto, di Geometria: i suoi Elementi in tredici libri furono la summa della materia dell’epoca, e gli sopravvissero praticamente intatti per Secoli a venire.

Oggi, pero’, il nome di Euclide é soprattutto associato a quello che fu chiamato in seguito il “problema della parallele“: vediamolo più in dettaglio. Per cominciare, bisogna avere ben chiaro un punto chiave di qualunque disciplina matematica: ogni teorema, per poter essere dimostrato, ha bisogno di altri teoremi, che a loro volta poggiano la loro dimostrazione su altri teoremi e cosi via. E’ chiaro che, per evitare una regressione all’infinito, bisogna inizialmente stabilire alcuni enunciati “veri per principio“, per i quali non si richiede una dimostrazione: quelli che oggi vengono detti assiomi, o postulati, o principi.

La loro scelta é una delle operazioni più complicate per la nascita di una materia: devono essere il minor numero possibile, e, soprattutto, devono essere “intuitivi”. Euclide ne scelse cinque per la sua Geometria, ed i primi quattro non richiedono molti commenti:

1. Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.
2. E che una retta terminata [finita] si possa prolungare continuamente in linea retta.
3. E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro ed ogni distanza.
4. E che gli angoli retti siano uguali fra loro.

Da cosa deriva la loro intuitività é chiaro: qualunque persona dotata di una riga, di un compasso e di un foglio puo’ “verificarli” sperimentalmente. Il quinto non é cosi semplice, invece:

5. E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti.

Oggi é più comune sentir pronunciare questo postulato come “per un punto passa una ed una sola retta parallela ad una retta data“. Euclide non ne fu mai soddisfatto, ed infatti limito’ il più possibile il suo uso nella dimostrazione di Teoremi, e molto probabilmente cerco’ di dimostrarlo a partire dai primi quattro, senza pero’ mai riuscirci. Il compito fu passato quindi alle generazioni successive, poi agli Arabi che ripresero e tradussero i lavori dei Greci, ed infine torno’ in Europa per il “Rinascimento” scientifico. Qui i matematici, stanchi di cercare dimostrazioni dirette, ne tentarono alcune per assurdo: in particolare il gesuita Gerolamo Saccheri fu il primo, nella prima metà del 1700, a:

• Negare il quinto postulato.
• Con il nuovo corpo assiomatico (i quattro postulati più la negazione del quinto) dedurre numerosi teoremi.
• Osservare che molti di questi teoremi male si conciliavano con la nozione comune che abbiamo di spazio.
• Dedurne un assurdo, e quindi la “verità” del quinto postulato.

Pur sbagliato, questo procedimento diede il via ad altri ragionamenti che, in poco meno di un Secolo, avrebbero portato ad una vera e propria rivoluzione: la comprensione che, negando il quinto postulato in varie maniere, si ottenevano Geometrie che pur non andando d’accordo con quello che noi pensiamo sia lo spazio, sono coerenti al loro interno e descrivono un “altro” spazio: erano nate le Geometri Non Euclidee. E’ difficile riuscire ad immaginare oggi la vera portata di questa rivoluzione: finalmente si era (ri)scoperto che la Scienza fornisce solo modelli della Realtà e non verità assolute, e nulla impedisce di avere diversi modelli per lo stesso fenomeno.

La Geometria di Saccheri, che lui aveva ritenuto assurda, fu ripresa in seguito da Gauss, Lobachevsky, Klein ed altri, e prese il nome di Geometria Iperbolica: una geometria in cui il piano non é più illimitato, ma delimitato da una circonferenza (in realtà, delimitato da una qualunque conica), ed i punti diventano tutti i punti interni a questa circonferenza, mentre le rette tutte le sue corde (segmenti che uniscono due punti qualunque della circonferenza). In questa Geometria, per un punto passano almeno due rette parallele ad una retta data!

E’ interessante come, per poter comprendere queste Geometrie, dobbiamo modificare le nostre idee su concetti come “punto” e “retta” che abbiamo fin dalle elementari. Questo é ancora più chiaro se consideriamo un’altra Geometria Non Euclidea creata dal matematico tedesco Riemann: la Geometria Ellittica. Qui il piano diventa la superficie di una sfera, e:

• Un “punto” é una coppia di punti diametralmente opposti sulla sfera (“agli antipodi”, potremmo dire).
• Una “retta” é una circonferenza di raggio massimo.

Su una geometria del genere… non esistono parallele! (e, nel tentativo di visulizzare questa cosa, vi lascio e concludo il post che si é fatto chilometrico ).

PS: a chi interessasse l’argomento, rimando ad una pagina del Politecnico di Torino:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Apr_02/APPUNTI.HTM

Diagonalizzando

Quello che mi piace di alcuni ragionamenti matematici é la loro incredibile eleganza: pochi, semplici passi, ed ecco che vi si presenta una conclusione inopinabile, incontestabile. Non é il risultato bello in sé, ma la maniera in cui ci si giunge, a mio avviso.

Ad esempio, consideriamo un problema che avevamo già affrontato: sono di più i numeri reali o i numeri naturali?
Nota: ricordo che i numeri naturali sono i numeri interi positivi (1,2,3…), mentre i numeri reali sono, in pratica, tutti quelli che possiamo scrivere con uno sviluppo decimale (anche infinito, come nel caso di pigreco).

Una fase cruciale del risolvere un problema é (nonostante sembri banale) porre le domande corrette: una domanda come quella sopra serve veramente a poco, scritta in quella maniera. Poiché sia i naturali che i reali formano due insiemi, potremmo riformulare il tutto cosi’:

Contiene più elementi l’insieme N (dei Naturali) o l’insieme R (dei Reali)? In termini tecnici, quale cardinalità é maggiore, |N| o |R|?

Chiaramente abbiamo fatto un passo avanti, perché ora possiamo avvalerci di tutta la teoria degli Insiemi per rispondere a questa domanda. Visto che non possiamo fisicamente contare gli elementi (altrimenti sarebbe troppo semplice), possiamo leggere da un qualunque testo di algebra che “due insiemi hanno la stessa cardinalità se possiamo associare ad ogni elemento del primo un elemento del secondo“. Questo é anche abbastanza ovvio: se abbiamo due cesti di frutta e, ad esempio, se continuando a tirare fuori un frutto da ciascuno dei due, i due cesti ad un certo momento restano entrambi vuoti, avevano lo stesso numero di frutti al loro interno.

Prima di cimentarci subito con i Reali, proviamo ad applicare questo concetto a due insiemi più facili: i numeri Naturali (N) ed i numeri Interi Z (i numeri naturali più i numeri negativi interi), usando la prima associazione che ci viene in mente:

Z        N

1  –>  1
-1 –>  2
2  –>  3
-2 –>  4

E cosi via. Chiaramente in questa maniera copriamo l’intero insieme dei numeri Interi (in verità, “chiaramente” non esiste in Matematica, e questa affermazione si potrebbe dimostrare per Induzione, ma evitiamo e fidiamoci dell’intuito), quindi possiamo dire che “esistono tanti numeri interi quanti numeri naturali“. Possiamo fare un ragionamento simile anche confrontando numeri Naturali e Razionali (tutti quei numeri che si possono esprimere come una frazione n/m), quindi siamo portati a pensare che ampliando il tutto ai Reali (che, in pratica, sono i Razionali più “un po’” di numeri che non si possono esprimere come frazioni) il discorso rimanga lo stesso.

A questo punto abbiamo bisogno di una dimostrazione leggermente più articolata, chiamata “dimostrazione diagonale di Cantor“. Supponiamo che esista la suddetta relazione fra N ed R: come prima, quindi, potremo scrivere qualcosa come (considerando solo i numeri Reali compresi fra 0 ed 1):

1 -> 0.54656512…
2 -> 0.17985344…
3 -> 0.3365999…
4 -> 0.46953113…
…

I numeri precisi ci interessano poco, l’importante é che queste relazioni esistano (come supposto per ipotesi). A questo punto, consideriamo il seguente numero: prendiamo le cifre sulla “diagonale” dei numeri reali elencati sopra, incrementiamole di uno ed uniamole a formare uno sviluppo decimale:

1 -> 0.54656512…
2 -> 0.17985344…
3 -> 0.3365999…
4 -> 0.46953113…
…

Otteniamo il numero 0.6876… (5+1, 7+1, 6+1, 5+1…). Questo é un numero reale, quindi dovrebbe essere incluso nella lista di prima. Possiamo notare pero’ che, sicuramente:

• Differisce dalla prima riga per la prima cifra decimale.
• Differisce dalla seconda riga per la seconda cifra decimale.
• Differisce dalla terza riga per terza cifra decimale.

Più in generale, differisce dalla riga n-esima per la cifra n-esima: non é uguale a nessun valore elencato prima, quindi abbiamo trovato un numero reale che non é legato a nessun numero naturale! Poiché questo viola la nostra ipotesi, possiamo concludere che l’ipotesi stessa sia falsa: non esiste una relazione biunivoca fra N ed R. Di più: poiché abbiamo trovato un Reale non incluso nella tabella, possiamo dire che “esistono più numeri Reali che numeri Naturali” (peggio: esistono più numeri reali fra 0 ed 1 che numeri naturali)!

Continuando a ragionare su questo risultato: poiché l’insieme dei Naturali é infinito, capiamo che non esiste “un solo” infinito, ma diversi, ciascuno più grande dell’altro! Ci si potrebbe chiedere se la cardinalità di R é un infinito ‘appena più grande‘ della cardinalità dei numeri Naturali, o se esistono altri infiniti “intermedi”. Questo, per quanto vi possa sembrare strano, é uno dei grandi problemi irrisolti della Matematica moderna!

Nota Conclusiva 1: Il ragionamento diagonale di Cantor é stato usato per moltissime altre dimostrazioni, come quella di Incompletezza di Gödel o quella dell’Arresto di Touring, se l’argomento interessa sapete cosa basta: un commento!

Nota Conclusiva 2: Asserire che un’ipotesi sia vera, per poi ottenerne un assurdo e concludere che l’ipotesi iniziale era falsa (come abbiamo fatto prima), o viceversa, viene chiamato in Matematica “reductio ad absurdum”, ed é estremamente comune (e bella, oserei dire).

L’Impossibilità del Compasso

Proprio ieri mi é capitato di risentire un’espressione abbastanza comune: “cercare di far quadrare il cerchio“, ovvero tentare un qualcosa di impossibile. Un modo di dire molto interessante: la quadratura del cerchio, ovvero il problema di costruire un quadrato avente la stessa area di un cerchio dato, é uno dei tre famosi problemi della Matematica Greca Classica.

Purtroppo la distanza intercorsa fra loro e noi non ci permette di apprezzare a pieno il problema perché lo distorce leggermente: ad esempio, oggi verrebbe spontaneo un ragionamento del genere.

Poiché un cerchio ha area = pigreco*r², ed un quadrato area = l², combinando le due formule otteniamo che, dato un cerchio, un quadrato avente stessa area avrà lato = (radice quadrata di pigreco) * r.

Chiaramente, l’impressione di aver “risolto” il problema deriva dall’averlo decontestualizzato: i Greci ragionavano in termini Geometrici, e risolvere il problema voleva dire disegnare il quadrato della soluzione, e poi eventualmente misurarne il lato. Per di più, non con qualunque strumento si avesse a disposizione: solo con la riga ed il compasso. Questo non deriva da una sorta di arretratezza matematica Greca, come spesso si pensa, ma solo dal fatto che, in assenza di strumenti di calcolo progrediti, le soluzioni trovate in via Geometrica erano le più semplici da ottenere, con un piccolo errore, e soprattutto facili da riprodurre. In effetti, già all’epoca si conoscevano alcune soluzioni alla quadratura del cerchio usando punti e cerchi che si intersecavano muovendosi di moto uniforme, ma chiaramente erano abbastanza complicate da realizzare ed il più delle volte le soluzioni erano estremamente (troppo) approssimate.

Ritornando all’argomento principale, possiamo rispondere all’osservazione di partenza: il problema é impossibile perché non si puo’ disegnare, solo con la riga ed il compasso, la radice quadrata di pigreco (altrimenti avremmo trovato un valore algebrico di pigreco, ovvero con cifre decimali finite, cosa chiaramente impossibile).

Per completezza, diamo un’occhiata agli altri due grandi problemi:

• La duplicazione del Cubo, ovvero la costruzione di un cubo di volume doppio rispetto ad un cubo dato, famoso soprattutto per i miti che ci sono stati tramandati a proposito: ad esempio gli abitanti di Delo, un giorno, chiesero all’oracolo la maniera di liberarsi della peste, e questi rispose che bisognava costruire un altare di volume doppio rispetto a quello attuale (un oracolo che ricorda molti politici di oggigiorno, bisogna ammetterlo). Gli abitanti si accorsero della difficoltà del problema (sempre in via geometrica) quando, dopo aver raddoppiato il lato si ritrovarono con un volume otto volte maggiore!
• La trisezione di un angolo, ovvero la costruzione di un angolo di ampiezza pari ad un terzo di un’altra data.

Nonostante quest’ultimo problema ammetta alcune soluzioni particolari (é possibile trisecare un angolo retto, ad esempio), tutti e due, esattamente come il primo, non ammettono soluzioni generali solo grazie alla riga ed il compasso, ma ne ammettono usando strumenti più complessi. A questo proposito, é interessante come ben due dei tre problemi (quadratura e trisezione) possano essere risolti tramite la Spirale Archimedea, una curva estremamente bella nella sua semplicità ed eleganza:

http://www.math.it/spirale/spirale-archimede.htm

Sempre di Più

Spesso ci si stupisce di come concetti che a noi sembrano tremendamente ovvii potessero essere, in un qualche tempo remoto, neanche lontanamente compresi. L’esempio sicuramente più celebre é quello dei numeri: oggi nessuno ha difficoltà a capire il significato di “passami un quarto di torta” (o di sue strane varianti come “passami uno 0.25 di torta“), eppure quando la Matematica muoveva i suoi primi, neanche troppo timidi, passi, i numeri erano solo quelli che oggi chiamiamo Naturali: 1,2,3… Anche lo zero era ben lontano dalla sua comparsa!

Poi, pian piano, l’insieme dei numeri si é andato ampliando, andando ad includere numeri negativi (-2,-7), numeri razionali (le frazioni, ovvero numeri nella forma n/m) ed infine irrazionali (ovvero con uno sviluppo decimale infinito che non diventa mai periodico, come la radice quadrata di due), arrivando cosi al cosiddetto insieme dei Numeri Reali. Eppure, nonostante la nostra concezione “naturale” di numero si fermi qui, i matematici hanno fatto altri passi avanti: si é scoperto che si puo’ ulteriormente ampliare l’insieme arrivando a quello che é stato chiamato l’insieme dei numeri iperreali, comprendente anche gli infinitesimi, ovvero numeri più piccoli di ogni altro numero ma ancora maggiori di zero (ed anche i loro reciproci, ovvero numeri più grandi di qualunque reale, quelli che generalmente vengono chiamati infiniti).

Ma questo é solo l’inizio. Posizionando tutti questi numeri su un foglio, ci accorgiamo che possiamo tranquillamente segnarli tutta su una retta (continua se consideriamo solo i reali, discontinua nel caso degli iperreali): ovvero, sono tutti in una dimensione. Perché mai limitarsi in questa maniera? Da tempo oramai sono conosciuti i numeri complessi, formati da due componenti: una parte reale, ed una parte immaginaria, ovvero un multiplo dell’unità immaginaria i, la radice quadrata di meno uno. La loro storia é affascinante: all’inizio ci si stupi’ di queste ‘creature’, ed il loro nome (immaginari) ricalca questa visione, di una semplice costruzione mentale che non rispecchia nulla di naturale. Eppure, sempre più spesso questi ricorrevano in calcoli fisici, ed oggi non sono considerati meno reali di qualunque altro numero!

Nessuno vieta di ampliare ancora le dimensioni, ma questi numeri che si ottengono risultano via via sempre meno utili: i quaternioni (formati da quattro componenti), sono usati principalmente per la grafica vettoriale sul pc (almeno per mia conoscenza), mentre gli ottetti (otto dimensioni) ed i sedenioni sono praticamente non considerati. Questo probabilmente é dovuto al fatto che, man mano che si va avanti, si perdono delle proprietà considerate fondamentali: i quaternioni, ad esempio, non sono commutativi, ovvero scrivere a*b non é uguale a scrivere b*a. Ancora peggio: esistono due sedenioni diversi da zero che, moltiplicati… danno come prodotto zero! E’ chiaro che davanti a tali situazioni i matematici provino lo stesso “orrore” che provarono coloro che definirono numeri come pigreco “irrazionali”, o la radice di meno uno “immaginaria”. Chi puo’ dire che in futuro non saranno accettati e ci si stupirà di come noi li consideravamo “strani”?

PS: l’idea per questo post mi é venuta da un vecchio post di xmau, che pero’ non trovo più.

Io Ce l’Ho Più Grande

Ricordo con particolare divertimento quei litigi infantili che nascevano quando si mettevano di fronte due bambini tremendamente orgogliosi e competitivi, del tipo:

“Mio papà ha appena comprato una macchina superveloce!”
“Ah si? Il mio ne ha una cinque volte più rapida!”
“Papà sta per acquistarne una cento volte di più!”
“Una volta ne ha guidata una mille volte migliore!”
“Un milione!”
“Un miliardo!”
[Sguardi particolarmente incattiviti, eventualmente vola qualche pugno]

Ora, discussioni del genere si concludevano non tanto per particolari limiti fisici raggiunti da queste misteriosi automobili (che probabilmente, almeno nei numeri, avevano già superato il muro del suono ed approssimato paurosamente la velocità della luce), quanto perché si toccava una sorta di “tetto massimo” nell’immaginazione di grandi numeri che potevano avere i ragazzi. “Un miliardo” era molto prossimo ad infinito, quasi insuperabile. Un litigio cosi, credo, sarebbe molto più interessante se a confrontarsi fossero due fisici.

Ad esempio, il primo potrebbe urlare qualcosa come “la distanza percorsa dalla luce in dieci miliardi di anni più rapida!“, che é circa dieci miliardi alla seconda, un numero già abbastanza difficile da concepire. L’altro, colto nel vivo, potrebbe replicare “il numero di atomi nell’universo più veloce della tua!“. Una stima approssimativa di questa grandezza é circa 4 * 10^79, ovvero un numero con ben 70 zeri in più del miliardo! Direi che questo é il punto in cui anche i due fisici comincerebbero ad avere problemi su come continuare, e probabilmente inizierebbero a volare copie dei “Principia Mathematica” o del “Dialogo sopra i Massimi Sistemi del Mondo“.

Ma… e se fossero matematici a litigare? Li inizierebbe il divertimento! Si potrebbe tirare in ballo il “googol“, ovvero un uno seguito da un centinaio di zeri, o addirittura farsi prendere la mano ed osare il “googolplex“, un uno seguito da… un googol di zeri! Una tale grandezza non sarebbe esprimibile neanche se scrivessimo una cifra su ogni atomo dell’universo! Ma i matematici non hanno problemi di esagerazione: perché non tentare anche il mitico “Numero di Graham“? Ecco come costruirlo:

Generalmente, indichiamo con 3^3 il tre elevato alla terza, ovvero ventisette. Possiamo pero’ calcolare anche 3^^3, ovvero 3^(3^3) = 3^27, che é decisamente grande. A questo punto possiamo fare 3^^^3 = 3^^(3^^3) = 3^^(3^27), e sta già diventando inutile andare troppo oltre nei calcoli, visto che otteremmo solo trafile di cifre lunghissime. Ora consideriamo il numero 3^^^…^^^3, in cui ci sono esattamente… 3^^^^3 elevamenti a potenza! Grande? Immenso? Inutile? E’ solo l’inizio! Adesso dobbiamo pensare il numero 3^^^…^^^3, con tanti elevamenti a potenza quanto era il 3^^^…^^^3 calcolato in precedenza! Finita la pazzia? No! Dobbiamo ripetere questo processo ancora… 61 volte! Provate a pensare che un numero del genere é stato realmente usato in una dimostrazione matematica.

Come potrebbe contrattaccare il povero matematico posto di fronte a quest’immensità? Bé, probabilmente tirerebbe in gioco i numeri transfiniti… Ma questa é un’altra storia (e forse un altro post).

PS: la spiegazione su come costruire il numero di Graham l’ho tradotta da qui.