Affari del Caso

Lo studio delle probabilità é una di quelle materie scientifiche abbastanza recenti, un po’ come l’evoluzionismo, che tutti credono di aver capito e nessuno sa. Nulla espone meglio questo concetto di un bellissimo “paradosso” (che poi paradosso non é), generalmente denominato come quello “delle tre porte“. Per esporlo in maniera conforme ai nostri standard televisivi:

Supponete di partecipare ad un gioco televisivo in cui dovete scegliere fra tre pacchi (e se vi ricorda qualcosa, ho paura che guardiate troppo la televisione). Dentro uno di questi é contenuto il premio della serata (credo che una velina sia adatta al nostro esempio), mentre negli altri due vi attende una sonora sconfitta (una velona?). Scegliete inizialmente uno dei pacchi, quindi il conduttore decide di aiutarvi aprendone uno dei tre da cui esce una delle velone, e vi chiede se volete cambiare la vostra scelta con l’altro pacco rimasto in gioco.

Adesso abbiamo tre possibilità:

1) Vi viene in mente che, in fondo, scegliendo ora avreste il 50% delle probabilità di indovinare il pacco vincente, quindi scegliere se tenerlo o no é totalmente indifferente. E lo tenete.

2) Cercando di acciuffare una mosca che passa di là fate credere al conduttore di voler cambiare pacco.

3) Siete svenuti dopo lo choc dell’antisirena uscita dal pacco, e vi risvegliate con sopra una corpulenta dottoressa russa di nome Ivanovka che fa strani esperimenti col vostro.

Bene: nel primo caso, avete 2 possibilità su 3 di… perdere! Poiché questo é decisamente controintuitivo, in quanto siamo convinti che il passato non influenzi, almeno in casi come questo, il presente, é doveroso un tentativo di spiegare questo “strano” risultato. Prima di tutto, se non siete convinti, potete considerare tutti le possibili alternative: o inizialmente avevate scelto uno dei due pacchi perdenti (diciamo A o B), oppure il pacco vincente (diciamo C). Nel primo caso, dopo l’apertura da parte del conduttore rimarranno sulla scena un solo pacco perdente (il vostro) ed uno vincente (l’altro), e quindi cambiando vi garantirete la vittoria; mentre nel secondo caso, speculare al primo, cambiando perderete miseramente. Pero’, all’inizio avevate mediamente 2/3 di probabilità di scegliere un pacco perdente, quindi successivamente avrete esattamente i 2/3 di probabilità di vincere cambiando!

Potete anche pensare che i due pacchi perdenti “collassino” in un solo con il 66% circa di probabilità di essere quello che tenete in mano. Questo é un ottimo spunto per riflettere su una materia utilissima, ma anche piena di piccole insidie all’inizio accuratamente celate allo sguardo e all’intuito.

NB: la statistica é, per definizione, una materia i cui risultati sono di una qualche utilità solo se applicati a numerose ripetizioni di un esperimento. Quindi, é inutile venirvi a lamentare di aver perso seguendo il mio consiglio. Mi spiace.

Giocando a Dadi

Il post di oggi é un altro esempio di come, da una domanda che si pensa semplice, possano risultare notevoli complicazioni. Ci chiediamo: come potremmo definire una sequenza numerica casuale? Il concetto di casualità é abbastanza radicato nel senso comune: qualcosa che, sostanzialmente, non é possibile prevedere con precisione. Applicare questo concetto ad una sequenza sembrerebbe un passaggio banale, eppure pensiamo a queste due serie:

(a) 1 2 1 2 1 2

(b) 5 1 4 2 3 2

Ad “occhio”, saremmo tentati di dire che la (a) non é casuale, in quanto riusciamo a riconoscere un qualche “motivo” (potremmo ipotizzare, ad esempio, che il prossimo numero sarebbe un ‘1′), mentre la (b) “sembrerebbe” esserlo. La matematica formalizza questa visione intuitiva dicendo che una sequenza casuale ha “una complessità equivalente alla sequenza stessa” ovvero, in termini terra terra, che non si puo’ descrivere più brevemente. Quindi possiamo dire che la (a) non é casuale in quanto possiamo definirla come la ripetizione alternata di 1 e 2, ma per quanto riguarda la (b)? Non possiamo escludere a priori la sua non casualità in quanto non abbiamo la possibilità di verificare ogni singola possibilità che potrebbe averla generata!

In effetti, l’intuito sbaglia: per ottenere la (b), é sufficiente prendere il primo decimale dei numeri che otteniamo con la formula Σ(-1)ⁿ⁺¹ * (1/n+1), che puo’ sembrare complicata, ma vuol solo dire che (ad esempio) il terzo valore della serie é dato da (la prima cifra decimale di) 1 – 1/2 + 1/3.

Ed i problemi non finiscono qua: e se domani, giocando a dadi, ci uscisse una sequenza di sei 1 e 2 alternati fra loro? Penseremmo forse che il dado sia truccato? Oppure che é stata, semplicemente, una divertente coincidenza, visto che quella particolare sequenza aveva la stessa probabilità di uscire di qualunque altra? A quanto sembra, pur esistendo sequenze sicuramente generate da un qualche evento casuale, non siamo in grado, a posteriori, di poterle discernere con sicurezza. Per quanto possa sembrare strano, dov’é c’é bisogno di tali sequenze (cosa che, come abbiamo visto in altri posts, puo’ capitare spesso in informatica) si é costretti a ricorrere a metodi tremendamente prossimi a quello intuitivo con cui avevamo cominciato la discussione: secondo il criterio di Turing, ad esempio, una sequenza si puo’ dire casuale se é indistinguibile da una qualche estrazione meccanica non prevedibile.

Concretamente, ad esempio, possiamo dire che una data sequenza é casuale se le probabilità di ottenere ciascun numero sono all’incirca uguali (criterio di Von Neumann). Questo non ci aiuta a distinguere piccole sequenze (come la (a) e la (b)), ma é un criterio utilissimo quando dobbiamo progettare un qualche algoritmo che generi numeri casuali (o meglio, in questo caso, pseudocasuali) ed implementarlo su un computer: si prende un numero iniziale più o meno random (ad esempio legato all’orario in cui viene fatto partire il programma), e su quello vengono eseguite alcune operazioni matematiche che permettono di ottenere una sequenza indistinguibile (dall’esterno) da una casuale. Tanto per dare un esempio (e concludere il post), cito uno dei metodi più diffusi in questo senso, quello della Congruenza Lineare, che partendo da un numero k₀ genera i successivi come:

k_n+1 = (a * k_n + b) mod c

Dove “mod” é semplicemente l’operatore di resto della divisione (ad esempio 5 mod 2 = 1), e ‘a’, ‘b’ e ‘c’ costanti fissate in anticipo. Quando si pensa che su una formuletta del genere si possono fondare interi giochi basati quasi esclusivamente sulla casualità, puo’ stupire per la sua semplicità, soprattutto visto che, il più delle volte, ‘b’ é addirittura nullo e la formula si riduce ad una moltiplicazione e ad una divisione!

Ma, si sa, la matematica é bella anche per questo!

Inseguendo i Sogni

Si puo’ dire che, in questi giorni, sia riscoppiata la mania del superenalotto: migliaia di persone, estasiate dall’idea di poter vincere qualche decina di milioni di euro, si precipitano a giocare quell’euro di schedina che potrebbe cambiare la loro vita, nell’ottica del “tanto male non fa“. Pero’, nulla ci vieta di chiederci seriamente: quante probabilità abbiamo di vincere?

Per capirlo, vediamo alcune nozioni di base del calcolo combinatorio. Prima di tutto, pensiamo di avere a disposizione un insieme di n oggetti diversi fra loro: in quante maniere possiamo ordinarli? Immaginiamo di inserirli dentro un’urna, e poi di estrarli ad uno ad uno: per la prima “presa” avremmo n possibilità diverse, per la seconda (n-1), poiché abbiamo già estratto un oggetto, e cosi via fino alla fine. In tutto abbiamo n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*2*1 = n! (che si legge n fattoriale). Queste vengono dette tutte le possibili Permutazioni degli n oggetti.

Adesso complichiamo la situazione: al posto di ordinarli tutti, ne ordiniamo solo un sottoinsieme di k elementi: il ragionamento é simile a quello visto prima, con l’eccezione che non arriveremmo fino all’ultimo oggetto, ma fino al (n-k)esimo: n*(n-1)*…*(n-k+1)*(n-k). Questo é uguale ad n! a meno delle ultime n-k moltiplicazioni, ovvero:

Come indica la D, queste vengono chiamate le Disposizioni di k elementi su n oggetti. Questa formula da sola ancora non ci aiuta a risolvere il problema iniziale, in quanto tiene conto dell’ordinamento degli oggetti, mentre nel superenalotto le estrazioni (52 1 32 15 70 44) e (1 15 32 44 52 70), ad esempio, sono equivalenti. Ora, ciascun insieme di k oggetti puo’ apparire in k! permutazioni diverse, come abbiamo visto, quindi le possibili combinazioni non ordinate di k oggetti su n elementi saranno uguali alle disposizioni a meno di un fattore k!:

A questo punto siamo pronti a risolvere il nostro problema: nel superenalotto abbiamo esattamente 90 numeri, e per vincere il megapremio dobbiamo indovinare una combinazione di 6 numeri. Tutte le possibili combinazioni sono date da (applicando l’ultima formula) 90! / [6! * (90 - 6)!] = 6.22 * 10^8. Poiché ogni schedina dà diritto a due combinazioni diverse, la probabilità di vincere é:

P = (1/6.22*10^8) * 2 = 3.2 * 10^-9

Ergo, supponendo che tre miliardi di persone giochino una schedina, in media UNO SOLO riuscirà ad accaparrarsi il primo premio! Un altro risultato interessante: per avere anche solo l’1% di chance di vincere, dovremmo giocare… 3,11 milioni di schedine!

Conclusione: meglio comprarsi un buon caffé al bar.

L’Utilità del Caso

Nel mondo dell’informatica esiste un affascinante paradosso, ma per percepirlo dobbiamo prima fare una rapida osservazione iniziale: i computer sono stati progettati in modo da essere macchinari completamente deterministici, che é una parola tecnica che possiamo tranquillamente intendere come “perfettamente prevedibili“. Questo é un punto talmente ovvio che sembra stupido anche solo farlo notare: del resto devono fare conti, e cosa c’é di più prevedibile dell’Aritmetica? Se faccio eseguire ad un processore l’operazione di somma, e gli passo due sequenze di 1 e 0 che rappresentano, mettiamo, 3 e 2, mi aspetto di ottenere in uscita la sequenza corrispondente a 5, nient’altro, nessuna sorpresa.

Eppure, ecco la stranezza: uno dei compiti che si richiede maggiormente ad un computer, oggigiorno, é… la generazione di numeri casuali! Come questo possa avvenire, pur essendo estremamente interessante, non é l’argomento di questo post, quanto piuttosto: a cosa puo’ servire un numero, o meglio ancora, una sequenza casuale? Sicuramente la maggior parte della risposta si trova nel mondo dei videogiochi: se non avessimo la possibilità di ottenere numeri random, i giochi di oggi assomiglierebbero a quei primi Super Mario in cui, ricominciando cinquanta volte lo stesso livello, si rincontravano gli stessi nemici, negli stessi posti, sulle stesse piattaforme. Chiaramente, divertente solo fino ad un certo punto. A parte l’universo videoludico, pero’, abbiamo altri campi di applicazione per numeri casuali: esiste tutta una classe di metodi (raggruppati sotto il nome generale di Montecarlo) che, basandosi sulla generazione di sequenza randomiche, risolvono una notevole gamma di problemi estremamente variegati.

Ad esempio, supponiamo di voler calcolare il valore di pigreco con una decente approssimazione, ma di non potere (per qualche ragione) applicare una delle tante formule per i suoi decimali, come quella di Leibniz:

Ecco in che maniera possiamo procedere. Pensiamo ad un quarto di circonferenza iscritto in un quadrato di raggio unitario, che appendiamo ad un muro e usiamo come bersaglio per un lancio di freccette. La domanda chiave é: di tutte le freccette che colpiranno il quadrato, quante di queste andranno a finire (in media) all’interno della circonferenza stessa? Si puo’ intuire che questo é strettamente legato al rapporto fra le due aree:

# Freccette all’interno della circonferenza / # Freccette all’interno del quadrato = Area circonferenza / Area quadrato

L’area del quadrato é data da r² = 1, mentre l’area del quarto di cerchio é 1/4 * π * r² = 1/4 * π. Sostituendo nella formula di prima, otteniamo che… il rapporto fra le freccette é proprio uguale ad un quarto di pigreco, ovvero al valore che stiamo cercando!

Naturalmente questo é solo un esempio per far intuire come qualcosa di casuale (il punto in cui ogni freccetta andrà a colpire, in questo caso) possa servire per calcolare un valore preciso: é ovvio che per funzionare bisognerebbe fare un numero altissimo di lanci, possibile in pratica solo con una simulazione al computer, che se la caverebbe decisamente più in fretta a fare il calcolo con la formuletta vista prima. Nonostante cio’, algoritmi di Montecarlo (anche molto simili a questo) sono realmente usati nella pratica.

Se l’argomento vi interessa, scrivetelo nei commenti e nei prossimi posts ne spieghero’ alcuni decisamente più utili (e forse interessanti)!