Inseguendo i Sogni
Pubblicato da scardax su Settembre 8, 2008
Si puo’ dire che, in questi giorni, sia riscoppiata la mania del superenalotto: migliaia di persone, estasiate dall’idea di poter vincere qualche decina di milioni di euro, si precipitano a giocare quell’euro di schedina che potrebbe cambiare la loro vita, nell’ottica del “tanto male non fa“. Pero’, nulla ci vieta di chiederci seriamente: quante probabilità abbiamo di vincere?
Per capirlo, vediamo alcune nozioni di base del calcolo combinatorio. Prima di tutto, pensiamo di avere a disposizione un insieme di n oggetti diversi fra loro: in quante maniere possiamo ordinarli? Immaginiamo di inserirli dentro un’urna, e poi di estrarli ad uno ad uno: per la prima “presa” avremmo n possibilità diverse, per la seconda (n-1), poiché abbiamo già estratto un oggetto, e cosi via fino alla fine. In tutto abbiamo n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*…*2*1 = n! (che si legge n fattoriale). Queste vengono dette tutte le possibili Permutazioni degli n oggetti.
Adesso complichiamo la situazione: al posto di ordinarli tutti, ne ordiniamo solo un sottoinsieme di k elementi: il ragionamento é simile a quello visto prima, con l’eccezione che non arriveremmo fino all’ultimo oggetto, ma fino al (n-k)esimo: n*(n-1)*…*(n-k+1)*(n-k). Questo é uguale ad n! a meno delle ultime n-k moltiplicazioni, ovvero:
Come indica la D, queste vengono chiamate le Disposizioni di k elementi su n oggetti. Questa formula da sola ancora non ci aiuta a risolvere il problema iniziale, in quanto tiene conto dell’ordinamento degli oggetti, mentre nel superenalotto le estrazioni (52 1 32 15 70 44) e (1 15 32 44 52 70), ad esempio, sono equivalenti. Ora, ciascun insieme di k oggetti puo’ apparire in k! permutazioni diverse, come abbiamo visto, quindi le possibili combinazioni non ordinate di k oggetti su n elementi saranno uguali alle disposizioni a meno di un fattore k!:
A questo punto siamo pronti a risolvere il nostro problema: nel superenalotto abbiamo esattamente 90 numeri, e per vincere il megapremio dobbiamo indovinare una combinazione di 6 numeri. Tutte le possibili combinazioni sono date da (applicando l’ultima formula) 90! / [6! * (90 - 6)!] = 6.22 * 10^8. Poiché ogni schedina dà diritto a due combinazioni diverse, la probabilità di vincere é:
P = (1/6.22*10^8) * 2 = 3.2 * 10^-9
Ergo, supponendo che tre miliardi di persone giochino una schedina, in media UNO SOLO riuscirà ad accaparrarsi il primo premio! Un altro risultato interessante: per avere anche solo l’1% di chance di vincere, dovremmo giocare… 3,11 milioni di schedine!
Conclusione: meglio comprarsi un buon caffé al bar. 
Andrea P. detto
Uomo di poca fede
franz detto
Dato che pero’ fin’ora c’e’ sempre qualcuno che vince, vaglielo a raccontare che era meglio bersi un caffe’ che intascare 70 milioni di euro…
Andrea P detto
Secondo me hai fato male i conti nell’ultima parte
Il problema, semmai, è che per giocare 311 milioni di schedine devi spendere 311 milioni di euro!
L’hai detto tu che “ogni schedina dà diritto a due combinazioni diverse”. Se giochi 311 milioni di schedine vuol dire che hai 622 milioni di combinazioni che, se non sei fesso, saranno tutte diverse. E visto anche che 1/(90 sopra 6) fa proprio 6.22 *10^8, più precisamente 622.614.630, arrivi a giocare praticamente tutte le combinazioni. Le probabilità di vincere sarebbero dello 0.99% e non dell’1%… è il rapporto che fa quasi 1
Bye…
Andrea P detto
Ops! intendevo 99%, non 0.99%
scardax detto
E’ vero! Avevo leggermente sbagliato un conto!
Ora ho aggiornato, grazie!
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