La Musica di Tutti i Giorni

Vi siete mai chiesti cosa accomuna la musica al linguaggio parlato di tutti i giorni? Come si produce un generico suono? Cosa lo distingue dagli altri? Se si’, questo é decisamente l’articolo (molto, molto introduttorio) che fa per voi (e noterete come io stia cercando di migliorare le mie capacità pubblicitarie).

Un suono é, in termini tecnici, un’onda meccanica: questo vuol dire che viene prodotto un suono ogni qualvolta un oggetto produce una vibrazione, e questa vibrazione si trasmette nel mezzo che lo circonda tramite continui cambiamenti di pressione nel mezzo stesso. Quando quest’onda raggiunge un secondo oggetto pronto a riceverla, vi é la percezione del suono. Generatore, mezzo, e ricevitore possono essere dei tipi più diversi, ad esempio:

• Generatore: uno strumento musicale (a fiato, a corde…); l’aria che passa attraverso le corde vocali (che, in realtà, non sono corde) e viene poi modulata all’interno della bocca umana; un’esplosione che provoca uno spostamento d’aria…
• Mezzo di propagazione: l’aria é chiaramente il mezzo più comune, ma é possibile sentire suoni sott’acqua, o propagarli attraverso un mezzo solido (come un muro). Come avrete capito, non ci puo’ essere suono nel vuoto, non essendoci un mezzo di propagazione.
• Ricevitore: l’orecchio umano é uno dei più sofisticati, ma abbiamo anche le casse dei vostri stereo, un microfono, e cosi’ via.

Descrivere il suono come un’onda mette in evidenza il fatto che, in generale, qualunque suono puo’ essere pensato come periodico, anche se di breve durata o particolarmente complesso. Il suono più semplice di tutti, chiaramente, é quello che segue un andamento sinusoidale (immagine in gentile concessione da torinoscienza.it):

Dall’immagine possiamo notare le prime due caratteristiche salienti di un generico suono: l’ampiezza, ovvero l’altezza massima raggiunta dall’onda, che é in relazione con l’intensità del suono che percepiamo; e la lunghezza d’onda, ovvero la distanza fra due creste, che determina la frequenza dell’onda, ovvero il suo numero di oscillazioni al secondo (che viene generalmente misurato in Hertz). L’orecchio umano é sensibile ad un determinato intervallo di frequenze che decresce con l’età, e che é compreso in media fra i 20 ed i ventimila Hertz. Suoni di frequenza maggiore vengono detti ultrasuoni (e sono percepiti, in parte, dai cani), mentre suoni di frequenza più bassa sono gli infrasuoni.

La frequenza di un suono, in termini generali, determina quanto acuto é quel suono (in realtà questo viene determinato dall’altezza del suono, che dipende a sua volta dalla frequenza): maggiore la frequenza, maggiore l’”acutezza” (provate a pensare a quello che viene chiamato un suono “basso”, ovvero a bassa frequenza). La frequenza e l’ampiezza non determinano da sole tutto il suono: due suoni con stessa frequenza possono essere percepiti in maniera molto diversa a seconda del loro “timbro“, ovvero della forma della loro onda. Un suono con una forma sinusoidale perfetta viene detto armonica, ed un suono generale puo’ sempre essere espresso come la somma di un certo numero di queste armoniche.

(L’altezza di un suono viene misurata con riferimento alla frequenza di oscillazione del Diapason in La, che potete vedere durante l’accordatura degli strumenti prima di un concerto.)

In particolare, un suono emesso da uno strumento musicale o dalla voce umana é la somma di un’armonica detta fondamentale e dai multipli di questa armonica. Per darvi un esempio di quanto detto fin qua, potete seguire questi due links per ascolta una serie di suoni che si differenziano per altezza, frequenza e timbro:

http://www.soloclassica.it/suono.htm
http://www.soloclassica.it/suoniarmonici.htm

Vi interessa questo argomento o suoi aspetti specifici? Fortunati! Uno dei siti più interessanti sull’argomento é proprio in Italiano:

http://fisicaondemusica.unimore.it/

Per lasciarvi con un’ultima curiosità, esistono alcune persone, in particolare i maggiori compositori classici quali Bach o Paganini, dotati di un “orecchio assoluto“, ovvero della capacità di riconoscere istantaneamente le note di una melodia senza bisogno di altri riferimenti!

Inseguendo i Sogni (parte 2)

Poco più di un anno fa, avevamo calcolato le probabilità di fare uno sperato 6+1 al Superenalotto. Visto che negli ultimi giorni spopola un nuovo gioco, l’ormai celebre Win for Life, cerchiamo di ripetere i calcoli per vedere se anche in questo caso le probabilità sono cosi’ assurdamente contro di noi nel caso pensassimo di cominciare a giocare.

Come per il Superenalotto, concentriamoci sul premio più ambito, ovvero la rendita vitalizia (o, meglio, ventennale) di 4000 al mese. Il gioco é abbastanza semplice: con una giocata di un euro, dobbiamo scegliere dieci numeri su venti da una schedina, e la macchina delle scommesse ci assegnerà automaticamente un undicesimo numero, il “Numerone”, indipendente dai primi dieci. Ogni giorno, vengono estratti dieci numeri ed un Numerone, e se tutti gli undici numeri coincidono con la vostra schedina la rendita vitalizia é vostra (altrimenti, si vincono premi minori indovinando dai sette ai dieci numeri).

Le probabilità di vincere il superpremio é quindi legata a due fattori indipendenti: i dieci numeri, ed il numerone.

La probabilità di azzeccare il numerone é esattamente 1/20, mentre quella dei dieci numeri é la probabilità di azzeccare una combinazione di dieci numeri fra venti, indipendentemente dall’ordine (la formula per questo caso l’avevamo ricavata nell’altro post):

Complessivamente:

Confrontandola con quella del superenalotto, otteniamo che vincere al Win for Life é più semplice di un fattore ottantaquattro (circa), mentre in generale il ricavato (senza considerare che i soldi ottenuti fra diversi anni sarebbero da scontare) é in proporzione maggiore (quattromila euro per vent’anni sono meno di un milione di euro in totale).

Vi é una seconda possibilità nel Win for Life, che é giocare 2 €, che ci permette di vincere la rendita quasi-vitalizia anche non azzeccando nessun numero fra i venti, ma azzeccando il numerone, il cosiddetto 0+1. Poiché ci sono solo venti numeri in tutto, questo equivale ad azzeccare i dieci numeri che non si sono giocati fra i venti complessivi, e quindi i conti sono esattamente uguali al primo caso: giocando due euro, quindi, raddoppiamo la nostre probabilità di vincita, esattamente come nel Superenalotto (quindi nessun particolare vantaggio).

Vi sono sette estrazioni per il Win for Life, contro le due del Superenalotto, fattore che non partecipa al calcolo delle probabilità, ma indubbiamente aumenta l’apparenza di facilità di vittoria (“cinque vincitori questa settimana! tre la scorsa settimana!”).

Vale la pena giocare? A voi la risposta!

Introduzione alla Teoria dei Giochi – Parte 1

Cominciamo oggi una serie di articoli che parlano della Teoria dei Giochi e delle sue applicazioni, dall’evoluzionismo alla computer science passando per l’economia. Per il momento non c’é nulla di completamente definito, quindi li scrivero’ man mano a seconda del gradimento e/o delle richieste (e prendetelo come un consiglio: se vi piace, commentate! ).

La Teoria dei Giochi é estremamente interessante perché, in fin dei conti, il suo oggetto di studio é tanto astratto da risultare anche difficilmente definibile: in termini generali, si occupa di analizzare tutte quelle situazioni in cui due o più agenti (razionali) si confrontano in un’attività competitiva, o cooperativa, cercando di prevalere sugli altri, o formando opportune alleanze. Ma quante situazioni di questo tipo potete immaginare? Provate a rifletterci per pochi attimi:

• Animali in lotta per prevalere in un determinato habitat naturale.
• Computer connessi in rete che cercano di ottenere l’accesso al mezzo condiviso (ad esempio un cavo telefonico, o l’etere).
• Ognuno dei moduli cerebrali che si sforzano di guadagnare l’attenzione del settore cosciente del cervello.
• Aziende in competizione, politici in gara per un seggio.
• Giochi nel termine ludico della parola: scacchi, dama, backgammon…

Questa varietà di applicazioni spiega il suo enorme successo: in pratica, non vi é materia che non l’abbia sfruttata per i propri scopi. La teoria dei Giochi, quindi, non é altro che un insieme di strumenti, a disposizione di chiunque ne necessiti: se riuscite a modellare una qualche situazione con uno delle tante definizioni di “gioco” che la teoria vi mette a disposizione, potrete sfruttare tutte le tecniche risolutive a lui associate per ottenere importanti chiarimenti sulla situazione stessa.

Cominciamo dalla situazione più semplice in assoluto: ci sono una serie di giocatori, e ciascuno é chiamato a compiere una qualche scelta, all’insaputa delle decisioni degli altri. Dalla decisione complessiva dipende l’esito del gioco. Questo (o, meglio, il modello matematico corrispondente) viene detto gioco in forma normale, e costituisce il mattoncino fondamentale con cui vengono costruite ed analizzate tutte le situazioni più complesse.

Come possiamo definirlo matematicamente? Abbiamo bisogno di tre categorie di oggetti:

1. Un insieme I per i giocatori: il caso più semplice é quello in cui ve ne sono due, ma niente impedisce che ve ne siano di più (purché in numero finito).
2. Per ciascun giocatore, un insieme di azioni che gli é permesso compiere. Generalmente queste vengono dette le sue strategie (e l’insieme indicato con ), ma nei casi più complessi i due concetti sono separati: qui, ad ogni scelta di un’azione corrisponde una strategia, ma in generale questo non é vero.
3. Una qualche funzione che ci indichi il grado di soddisfazione di ogni giocatore per ogni possibile esito del gioco. Il gioco ha una diversa conclusione per ogni possibile combinazione delle scelte dei giocatori: indicando l’insieme di queste scelte con S (matematicamente, é un prodotto cartesiano degli insiemi delle azioni di ciascun giocatore), possiamo dire che ad ogni giocatore deve essere associata una funzione di utilità , ovvero una funzione che ritorni un numero reale per ogni esito.

L’ultimo punto é quello più misterioso: come ottenere questa funzione? In realtà, é estremamente semplice, perché é importante solo che i suoi valori permettano di comparare fra loro due diverse scelte. Per costruirla, é sufficiente ordinare tutti i possibili esiti di un gioco dal peggiore al migliore (dal punto di visto del giocatore per il quale la stiamo costruendo) e poi assegnare valori numerici crescenti a ciascuno di essi. Facciamo un esempio preso dal mondo reale:

E’ tardo pomeriggio, e state decidendo con il vostro compagno (o la vostra compagna) come passare la serata. Lui (o lei) preferirebbe andare al cinema, mentre voi preferireste andare a teatro. Se non riuscite a mettervi d’accordo, rimanete a casa entrambi.

Vi sono due persone in ballo, ed in competizione, quindi é sicuramente terreno fertile per la teoria dei Giochi. Vediamo come ottenere la forma normale di questo gioco:

1. L’insieme dei giocatori ha due elementi, voi ed il vostro compagno/a. Per facilità, lasciatemi chiamarvi A e B. Quindi .
2. Ognuno di voi ha le stesse due azioni possibili: decidere di andare al cinema (chiamiamola C), e decidere di andare a teatro (chiamiamola T). Quindi .
3. Assumiamo che ciascuno di voi due preferisca uscire per fare qualcosa (pur avendo una preferenza fra le due alternative). Assegnando 0 all’utilità dello stare a casa, 1 all’uscire andando dove preferisce l’altro, e 2 al fare quello che si preferisce, e riorganizzando tutte queste informazioni in una comoda tabella, otteniamo:

A / B	C	T
C	(2, 1)	(0, 0)
T	(0, 0)	(1, 2)

La tabella dovrebbe essere abbastanza intuitiva da leggere: le righe sono le possibili azioni del primo giocatore, le colonne le possibili azioni del secondo giocatore, ogni casella un esito del gioco con relative utilità.

Ma ora, cosa ce ne facciamo di questo modello? Se fossimo A, cosa dovremmo giocare per vincere? E se fossimo B? Nel prossimo post vedremo alcuni esempi di concetti risolutivi che ci permetteranno di rispondere, almeno parzialmente, a queste domande.

Prima di concludere, pero’, un ultimo dettaglio. Abbiamo detto che il giocatore ha una strategia possibile per ogni azione: in realtà, ne ha molte di più. Ciascun giocatore potrebbe decidere di associare una qualche distribuzione di probabilità al suo insieme di strategie, e decidere in funzione di quello. Ad esempio, A potrebbe decidere di giocare C il 60% delle volte e T un altro 40%: questa é quella che viene detta strategia mista, in opposizione alle strategie pure (la scelta sicura di un’azione).

Più che mista, quest’ultima trovata puo’ sembrare molto mistica: che vuol dire “scegliere in funzione di una distribuzione di probabilità“? Riempire una ciotola di palline colorate ed estrarne una a caso? Tirare una monetina? Quando mai si vedono cose del genere nella realtà? In realtà, é più comprensibile se lo vediamo come un espediente matematico: il più delle volte le strategie miste servono per modellare alcuni casi particolari, come quando non sappiamo con certezza quello che giocherà un giocatore, o quando vogliamo rappresentare la “scelta media” di un insieme di giocatori, o ancora quando vogliamo rappresentare la scelta di uno stesso giocatore, ma quando si trova davanti al gioco un numero ripetuto di volte.

E questo é tutto per i giochi in forma normale. Commenti, consigli, proposte ed insulti: commentate!

Ricerche (in)utili

Facciamo un piccolo inframezzo comico, visto che é il fine settimana e non ho voglia di scrivere nulla di troppo serio.
Pochi giorni fa sono stati assegnati gli igNobel per il 2009, ovvero i premi che hanno il ruolo opposto dei Nobel: premiare le ricerche apparentemente più inutili (dico apparentemente, ma forse potrei dire anche “decisamente”). Quest’anno l’onore é spettato a (evito la facile ironia perché le notizie si commentano da sole):

• Medicina veterinaria: Catherine Douglas e Peter Rowlinson della Newcastle University, per aver scoperto che le mucche a cui viene dato un nome producono più latte delle mucche a cui il nome non viene dato (nota divertente: la Douglas non é potuta partecipare perché ha recentemente partorito, ma ha inviato una foto di lei insieme alla figlia vestita con una tuta da mucca).
• Pace: cinque ricercatori dell’University of Bern, per aver determinato che rompere una bottiglia vuota di birra sulla testa di qualcuno é più pericoloso che rompere una bottiglia piena (almeno, questo é quello che ho capito dall’abstract della ricerca. Ero troppo impegnato a ridere). Link all’articolo.
• Economia: ad una serie di gestori e direttori di banche Islandesi, per aver dimostrato come piccole banche possono diventare improvvisamente grandi banche, collassare, e far seguire lo stesso percorso all’intera economia nazionale (questo é un pelino cattivo).
• Chimica: tre ricercatori dell’Universidad Nacional Autónoma de México che sono riusciti a creare diamanti dalla Tequila!
• Medicina: Donald L. Unger, originario della California, che per esplorare le possibili cause di artrite ha fatto scrocchiare le dita della propria mano sinistra ma non quelle della mano destra, ogni giorno per oltre sessant’anni.
• Fisica: Katherine K. Whitcome dell’University of Cincinnati per aver dimostrato analiticamente il motivo per il quale le donne incinte non si ribaltano.
• Letteratura: An Garda Siochana, il corpo di polizia Irlandese, i cui agenti hanno multato oltre cinquanta volte Prawo Jazdy, che si é poi rivelato il termine polacco per “Patente di guida”.
• Salute Pubblica: tre ricercatori di Chicago che hanno inventato un reggiseno che, all’occorrenza, si trasforma in una coppia di maschere antigas.
• Matematica: Gideon Gono, governatore della Reserve Bank dello Zimbabwe, per aver fatto stampare banconote con un taglio variabile dal centesimo al centinaio di migliaia di miliardi di dollari, ed aver dato quindi alla gente una nuova maniera di affrontare l’aritmetica.
• Biologia: tre ricercatori dell’Università di Kitasato, in Giappone, per aver dimostrato che i rifiuti organici della cucina possono essere ridotti del 90% usando batteri estratti – persone sensibili non leggete oltre – dalle feci del Panda.

Qui trovate il link originale, da cui ho tratto la traduzione (ed anche le premiazioni degli anni precedenti):

http://improbable.com/ig/winners/#ig2009

Venitemi ancora a dire che tutti i ricercatori sono persone noiose e serie, dai. Vi sfido.

False Verità

Una persona usa in generale meno del 10% del proprio cervello.

Quante volte vi é capitato di sentire quest’affermazione dal sapore squisitamente vittoriano? Sembra la giustificazione di tutti i nostri mali e, insieme, la soluzione ad ogni problema, una promessa per un futuro infinitamente migliore (per non parlare di quanto utile risulta a tutti quei sedicenti pseudomaghi che promettono di farvi compiere il grande salto fin da ora).

In effetti, sarebbe una gran bella cosa, se fosse vera. Purtroppo é falsa. Totalmente, completamente falsa.

Provate a pensare: avete mai sentito di un’antilope che potrebbe quasi toccare il muro del suono, ed invece si accontenta di correre a poche decine di chilometri orari, facendosi raggiungere dal predatore di turno? O di una specie di pipistrelli che si schianta continuamente contro gli alberi perché il proprio sistema di ecolocazione, per qualche ragione misteriosa, funziona ad un quarto della propria capacità? Si dice spesso che “la Natura odia gli sprechi”, ed é decisamente vero: organi non più utilizzati spariscono, o vengono adibiti a nuove funzioni. Paradossalmente, se fosse vero che il nostro cervello funziona a ritmo tanto ridotto, la stessa teoria dell’evoluzione sarebbe falsa: quale pressione evolutiva potrebbe mai spingere una specie a sviluppare una capacità non usata, lungo un arco di centinaia, migliaia di generazioni?

Peraltro, la frase non solo é falsa, ma non ha neanche veramente significato: il cervello non é un organo monolitico, adibito ad un’onnicomprensiva funzione di “fornire intelligenza”. E’ invece un insieme di unità, e sottounità, ciascuna con le proprie specifiche competenze: riconoscimento di volti, visione del movimento, memoria a lungo termine di eventi, controllo, trasporto dati… Immaginate che io vi dica che il mio computer funziona solo al 20%: probabilmente starei dicendo che il processore non ha mai un carico eccessivo al 20%, ma non certo che posso sfruttare solo un quinto della memoria, che funziona un banco di ram su cinque, o che il disco rigido gira ad una velocità ridotta.

Che vuol dire usare solo il 10% del proprio cervello? Sfruttare solo un decimo della propria memoria? Del numero di interconnessioni possibili fra neuroni? Di rapidità di scarica? Tutto insieme? Ed allora, perché é sufficiente un minuscolo danno al cervello per ottenere patologie neurologiche fra le più variegate?

Vabbé, avete capito il ragionamento. Adesso, alla prossima occasione in cui incontrerete il sedicente acculturato di turno, potrete fare il vostro bel figurone in società.

Il Richiamo (Pubblicitario) della Foresta

Noi umani andiamo incredibilmente fieri di quello che ci contraddistingue, o che crediamo ci contraddistingua. Cosi’, accanto alle misteriose affermazioni secondo cui il “naturale” é da associare al “giusto“, o quantomeno al “bello” (che porta ad altrettanti misteriosi ragionamenti secondo cui pomodori lasciati a crescere da soli sono più sani di pomodori trattati con prodotti testati in laboratorio), nel senso comune sono anche presenti numerosi richiami a come ci siamo “elevati” al di sopra del livello animale, “sorpassando” i nostri istinti, e via dicendo con un certo cumulo di banalità senza troppo fondamento.

Eppure, cosi’ come molte delle nostre trovate ingegneristiche sono state sperimentate, e perfezionate, dalla Natura molto tempo prima che noi le riscoprissimo (tanto per dirne due, il sistema di pompaggio idraulico e il controllo a retroazione), cosi’ anche molti comportamenti e modi di vivere che riterremmo esclusivamente nostri sono rintracciabili nel mondo animale. Questo é sicuramente vero per i nostri costumi sessuali (fra diverse specie di scimmie troviamo harem, monogamie, poligamie ed anche stili “liberi” come i mai troppo celebrati bonobo), ma anche per alcune particolarità più stravaganti, come – attenzione attenzione – le mode.

La moda é un sistema ben consolidato e compreso: tutto comincia quando un ceto alto di una qualche società decide di adottare un qualche simbolo distintivo (per mostrare il proprio benessere, in sostanza), quale ad esempio un particolare vestito. Subito, i ceti inferiori cominciano ad imitare questa tendenza, per fingere di essere a loro volta altamente benestanti, eleganti, e via dicendo. Chiaramente, dal momento in cui tutti quanti indossano quel particolare vestito, esso ha perso la sua funzione originaria, che era distinguere certe persone, e quindi viene rapidamente abbandonato: i cosiddetti “cicli” della moda, ben documentati e riconoscibili da chiunque di voi che leggete.

Un meccanismo simile, pero’, si ritrova anche presso le farfalle, molto note per i loro superbi colori che, fatto non troppo noto, servono per indicare la propria velenosità ai predatori (un po’ come i sonagli dell’omonimo serpente). Ogni tanto vengono alla luce farfalle che, pur essendo colorate, non sono velenose: esse non dispendono energie nella propria difesa, ma vengono evitate per riflesso dai predatori, prosperando alle spese delle farfalle originarie. Una volta diventate troppo numerose, esse vengono pero’ dilaniate dai predatori che si ‘accorgono’ che non sono più velenose, mentre l’unica maniera per le altre farfalle di salvarsi é di mutare colori. Esattamente il meccanismo della moda: persone che cercano di appropriarsi dei benefici derivanti da una particolare qualità di una certa classe, senza sostenere i suoi oneri, e che conseguentemente rendono inutile la qualità stessa.

In Natura troviamo anche un meccanismo simile alla nostra “pubblicità“, che per decenni ha fatto letteralmente impazzire i biologi: prendiamo l’esempio del Pavone. Se voi foste un progettista di animali, investireste forse cosi’ tante energie in una coda che, allo stesso tempo, li rende incredibilmente visibili ai predatori e ne rallenta i movimenti? Ovviamente no. E per quale ragione la selezione naturale ha preso questa strada?

La risposta, per quanto sconcertante, é che questi meccanismi vengono selezionati proprio perché si tratta di handicap: segni visibili di benessere, e quindi di ottimi geni, che vengono analizzati dalle femmine nella selezione del compagno, e che portano ad una competizione su code ancora maggiori (almeno finché non si raggiungono limiti fisici e/o energetici).

Non é forse lo stesso che porta all’acquisto di macchinoni sempre più grandi, ingombranti, costosi e fastidiosi da parcheggiare?

Tartarughe e Guerrieri

I paradossi sono sempre stati fonti di audience per un blog che si rispetti, e chi sono io per sottrarmi alle dure leggi del mercato?

In molti conoscono il famoso paradosso di Achille e della Tartaruga, formulato dal greco Zenone assieme ad altri tre per esporre la non esistenza del moto: Achille gareggia con la Tartaruga in una gara di velocità, concedendole un piccolo vantaggio. Purtroppo, proprio a causa di questo vantaggio si ritrova nell’impossibilità di raggiungerla: nel tempo che impiega a percorrere l’intervallo che lo separa alla partenza dalla Tartaruga, questa avrà percorso un altro tratto, più piccolo, e nel tempo che Achille impiega a percorrere questo secondo tratto, la Tartaruga ne percorrerà un terzo, e cosi’ via ad infinitum…

Meno conosciuto, ma altrettanto intrigante, é un altro paradosso che coinvolge questi due strambi personaggi, formulato da Lewis Carroll e poi ripreso in tempi più recenti da numerosi autori cognitivisti, quali Hofstadter e Pinker. La Tartaruga fa prendere ad Achille un blocco notes ed una penna, quindi gli fa scrivere le seguenti tre frasi (tratte dagli Elementi di Euclide):

1. Cose che sono uguali ad una terza sono uguali fra loro.
2. Due lati di questo triangolo sono uguali ad una stessa cosa.
3. I due lati sono uguali fra loro.

La Tartaruga inizialmente convince Achille che, se si accettano per vere le proposizioni a e b, si deve concludere “logicamente” che anche la c é vera. Quindi, si dissocia dal suo stesso ragionamento, asserendo che, fra la proposizioni da accettare, dovrebbe essere presente anche “Se a é vera e b é vera, allora c é vera”. Achille ammette che ha ragione, e la aggiunge fra le frasi del suo blocchetto:

1. Cose che sono uguali ad una terza sono uguali fra loro.
2. Due lati di questo triangolo sono uguali ad un altro lato.
3. I due lati sono uguali fra loro.
4. Se a é vera e b é vera, allora c é vera.

A questo punto, commenta Achille, bisogna concluderne per forza che la c é vera. Ma la Tartaruga si oppone nuovamente: anche la d deve essere presa per vera! E’ quindi necessario aggiungere un’ulteriore frase:

1. Cose che sono uguali ad una terza sono uguali fra loro.
2. Due lati di questo triangolo sono uguali ad un altro lato.
3. I due lati sono uguali fra loro.
4. Se a é vera e b é vera, allora c é vera.
5. Se a é vera e b é vera e d é vera, allora c é vera.

Non ci vuole un genio per capire che questo ragionamento é iterativo: la Tartaruga fa aggiungere ad Achille milioni di proposizioni del tipo “Se a é vera e b é vera e d é vera ed e é vera e… allora c é vera”, e non sembra esserci modo di poter arrivare ad una conclusione definitiva!

Qual’é il problema qui? Già, qual é il problema? E che, devo dirvi tutto io?
Vediamo chi é il primo a spiegarlo con chiarezza!

Numeri e Figure

Cambiando prospettiva nella vita, si sa, si ottengono straordinari risultati.

Ad esempio, oggi siamo abituati a considerare i numeri naturali (1, 2, 3…) principalmente in relazione al contare: “due mele”, “tre euro”, “quattro deficienti che cercano di fregarmi la macchina anche se ho l’antifurto satellitare”, e cosi’ via. Questo ha la sua base nella matematica moderna, che come punto di partenza per l’interpretazione dei numeri prende la teoria insiemistica.

Certo é che non sempre é stato cosi’. Per lungo tempo, i numeri sono stati interpretati semplicemente come grandezze geometriche: cinque era la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo avente cateti 3 e 4. Ancora prima di questo, presso i Pitagorici, celebre setta insediatasi a Crotone nel sesto secolo a.C., i numeri naturali venivano visti come portanti con sé la chiave dell’Universo: ciascun numero, concepito come un conglomerato di unità, recava in sé un significato simbolico. Ad esempio, il 2 ed il 3 erano, rispettivamente, il numero femminile ed il numero maschile e, di conseguenza, il 5 era il numero del matrimonio (essendo la somma di due e tre).

Anche se questi aspetti del pensiero pitagorico durarono relativamente poco, molti altri, mescolandosi al pensiero platonico, pervasero la cultura per millenni, riemergendo durante il Rinascimento e durando fino ai nostri giorni. Fra questi vi é, ad esempio, l’interesse per i numeri figurati. Come abbiamo detto prima, possiamo vedere ogni numero come una somma di unità: possiamo quindi anche disporre queste unità per vedere quale figura geometrica si ottiene. Quindi, ad esempio, il tre viene visto come un numero triangolare (poiché tre unità disposte in modo simmetrico formano un triangolo), cosi come il sei, mentre il nove forma un quadrato, ed il cinque un pentagono.

Questo genere di numeri sono stati ampiamente studiati in seguito. In particolare, si sono scoperte formule per determinare tutti i numeri appartenenti ad una data categoria: ad esempio, tutti i numeri triangolari assumono la forma . I numeri quadrati sono anche più semplici: come ovvio, sono dati dalla forma . Fra i numeri figurati intercorrono diverse relazioni: ad esempio, la somma di due numeri triangolari successivi dà luogo ad un numero quadrato.

Il teorema indubbiamente più bello di tutti, pero’, é quello di Fermat sui numeri poligonali:

Ogni numero puo’ essere scritto come la somma di, al massimo, tre numeri triangolari, quattro numeri quadrati, cinque numeri pentagonali e, più in generale, n numeri n-agonali.

Vi sono alcuni casi particolari: ad esempio, un numero puo’ sempre essere scritto come la somma di esattamente quattro numeri quadrati.

Ci sono anche numeri figurati tridimensionali, ad esempio i numeri piramidali, i quali si dividono a seconda della base della piramide. Ad esempio, tutti i numeri della forma sono numeri piramidali triangolari (ovvero, permettono di costruire una piramide a base triangolare).

Per la prossima settimana, prometto un post che non sia di Matematica pura!

Numeri d’Oro e Successioni di Conigli

Nota: le immagini a correlazione del post sono orrende, non rispettano le proporzioni (nonostante si parli proprio di quello) e sembrano disegnate da un quindicenne. Sono il meglio che ho potuto fare, munito di un programmino stupido e del solo touchpad (no, non é vero. Non avevo proprio voglia di farle).

Fra i tanti argomenti che abbiamo affrontato in tutti i post che hanno seguito la nascita di questo blog, mi stupisce che ancora non abbia avuto occasione di parlare del famosissimo “rapporto aureo“, un concetto tanto caro ai Greci che essi non trovarono nemmeno necessario dargli un vero nome (e lo chiamavano semplicemente “sezione”), che Keplero descriveva come una delle meraviglie della matematica e Leonardo da Vinci come il rapporto in assoluto più gradevole all’occhio umano. Un rapporto usato da millenni in architettura, scultura, pittura, e, perché no, in Natura: per farvi un esempio, il vostro avambraccio sta al vostro braccio esattamente in rapporto aureo.

Quindi, cominciamo: cos’é questo fantastico rapporto? Dopo questa prolissa introduzione, forse la sua descrizione vi sembrerà fin troppo triviale: se prendiamo un segmento AB, e lo dividiamo in due segmenti AC e CB, questi due si dicono in rapporto aureo se il rapporto fra il più breve ed il più lungo é uguale al rapporto fra il più lungo e l’intero segmento, come vediamo nella figura.

In termini geometrici, quindi, abbiamo rapporto aureo quando

Possiamo ora calcolare l’esatto valore del rapporto aureo, che indichiamo con , che sarà uguale al rapporto fra CB ed AB. AB, pero’, é la somma di AC e CB. Sostituendo nell’equazione di prima, otteniamo:

Abbiamo quindi un’equazione in una incognita (il rapporto aureo), che, mettendo a denominatore comune, risulta essere di secondo grado:

Risolvendo (considerando solo la radice positiva), otteniamo che:

Che é un numero irrazionale, e vale circa 1,61.

Una delle proprietà più note del rapporto aureo é il suo legame con la successione di Fibonacci, la celebre sequenza di numeri in cui ciascun termine é uguale alla somma dei due termini precedenti (esclusi i primi due, che vengono posti uguali ad 1): 1 1 2 3 5… La sequenza prende il nome dallo pseudonimo del celebre matematico italiano che la studio’ per primo, Leonardo Pisano (uno dei massimi matematici del Medioevo, anche se bisogna ammettere che la concorrenza non era particolarmente serrata), che la introdusse studiando il tasso di crescita di una popolazione di conigli (in cui ciascuna coppia fertile ha un’altra coppia di conigli al mese, i quali diventano fertili il mese successivo, cominciando con una sola coppia).

Di sicuro lo stesso Fibonacci si stupi’ del fatto che il rapporto fra un numero della sequenza ed il numero immediatamente precedente approssima il rapporto aureo, e che questa approssimazione migliora considerando numeri sempre più in là nella sequenza. Considerando le equazioni ricorsive della sequenza di Fibonacci, é possibile dimostrare che, al limite, questo rapporto é proprio uguale alla sezione aurea. Chiamando l’n-esimo numero della sequenza, possiamo allora affermare che:

Il rapporto aureo é avvistato ovunque, a volte anche troppo forzatamente, e questa vuol solo essere una brevissima introduzione per lanciarvi preparati alla ricerca di queste comparse. Solo per invogliarvi, ne cito uno (anzi due): consideriamo un pentagono regolare:

E tracciamo le cinque diagonali del pentagono. Otteniamo, oltre alla famosa stella a cinque punte, un altro pentagono regolare più piccolo all’interno del pentagono stesso:

Bene: ogni diagonale del pentagono viene tagliata in due da un’altra diagonale, ed i due segmenti stanno fra loro esattamente nel rapporto aureo!

Qui vediamo anche un’altra proprietà della sezione aurea piuttosto ricorrente: essa tende a “riprodursi”. Ad esempio, potremmo tracciare le diagonali del pentagono più piccolo, ottenendo un altro pentagono ancora più piccolo, ed ottenendo la sezione aurea delle sue diagonali. Oppure, consideriamo il segmento di inizio post, ed inseriamo un quarto punto D tale che AD sia uguale a CB. Indovinate? D taglia il segmento AC in due parti che stanno fra loro in rapporto aureo!

Bé, ora potete anche divertirvi con Google.

Nota sulle fonti: la stragrande maggioranza del post é stata estrapolata e rivista da sezioni diversi della Storia della Matematica di Boyer.

Ci Sono Macchine e Macchine

I grandi nomi dell’Informatica – Parte 2

Oggi un post molto speciale: due vite messe a confronto, entrambe di due “padri” dell’informatica, ovvero Alan Turing e John Von Neumann, scienziati eclettici, brillanti, trovatisi al centro della Seconda Guerra Mondiale, e la cui vita é terminata con un finale degno delle migliori tragedie greche.

Alan Turing nasce nel 1908 a Londra, ma non si distingue particolarmente a scuola, soprattutto a causa della sua difficoltà ad impegnarsi in materie da lui ritenute poco interessanti, quali lo studio della Bibbia o del latino. Von Neumann, invece, nato nel 1903 a Budapest, si distingue fin da giovanissimo per la sua memoria prodigiosa e la sua grandissima intelligenza, venendo nominato miglior studente di matematica di tutta l’Ungheria già a diciotto anni, quando pubblica il suo primo lavoro.

Se Alan segue fin da subito la sua passione per la matematica, riuscendosi ad iscrivere a Cambridge, Von Neumann é costretto a seguire un percorso più tortuoso: il padre lo vuole iscritto ad una materia più “redditizia”, e John decide di far contenti entrambi prendendo simultaneamente due lauree: una in Chimica, ed una in Matematica.

Mentre Alan cerca di raggiungere una sua maturità caratteriale e scientifica, ostacolato dal suo carattere introverso, dalla sua scrittura disordinata e, soprattutto, dalla sua omosessualità, Von Neumann si destreggia alla perfezione nel mondo accademico, e si trasferisce al cuore della Matematica dell’epoca, Gottinga, dove il secolo prima avevano lavorato Gauss e Riemann. Qui si interessa a quella che viene definita metamatematica, ovvero lo studio della matematica nel suo complesso; alla Fisica Quantistica, sulla quale scrive un libro molto apprezzato dallo stesso Turing, ed in cui comincia a sviluppare la Teoria dei Giochi (in parallelo con il francese Borel).

Ma il futuro di entrambi era l’America: John Von Neumann é invitato a Princeton nel 1930, e pochi anni dopo sarà uno dei sei professori fondatori dell’Institute for Advanced Studies, che diventerà il fulcro dell’attività scientifica mondiale in seguito all’esodo dei principali scienziati ebrei della Germania (fra i quali vi era lui stesso). Anche Turing viene invitato a Princeton, dove conosce John, e dove dà uno dei suoi contributi maggiori alla Scienza: l’articolo On Computable Numbers, che descrive i limiti teorici dei calcolatori, e l’idea stessa di “calcolatore universale” (ovvero una macchina capace di simulare qualunque altra macchina) prima ancora che si cominciassero a costruire i computers. Ma, soprattutto, l’articolo risolveva anche uno dei principali problemi di metamatematica, dimostrando che era impossibile ottenere un metodo meccanico che dimostrasse la verità o la falsità di un qualsiasi enunciato matematico.

La Seconda Guerra Mondiale stava pero’ chiamando entrambi a giocare il loro ruolo nel conflitto mondiale: Von Neumann lo fece sotto gli occhi di tutti, diventando uno dei principali consulenti del progetto Los Alamos per la costruzione di una bomba atomica, mentre Turing lo fece in segreto, lavorando come criptanalista (diventando rapidamente il più rinomato) per la decifrazione dei codici tedeschi (codificati tramite la macchina Enigma). Entrambi questi lavori permisero ai due scienziati di entrare a contatto con macchine di una certa complessità, anche se ancora “stupide”, ovvero incapaci di modificare il proprio comportamento.

Finita la guerra, forti di queste esperienze, entrambi si gettarono sulla costruzione di un calcolatore che fosse invece universale: Turing divento’ consulente del progetto britannico per l’ACE ma, in seguito a rallentamenti burocratici e tecnici sulla sua costruzione, decise di trasferirsi e lavorare presso il già terminato prototipo del Mark I presso Manchester. Se Turing cominciava a teorizzare la nascitura arte della programmazione, pubblicando un libro sulla programmazione del Mark I, Von Neumann concepiva invece un’architettura per i calcolatori, da utilizzare sul progetto dell’EDVAC attualmente in costruzione in America, che ancora oggi resta centrale.

Seppur accomunati da cosi’ tante passioni, i due non potevano pero’ essere più diversi caratterialmente: Alan era spesso vestito in modo sciatto, incurante dei modi di vivere in comunità, con una voce spesso troppo acuta, a volte irritabile ed intransigente sulle sue idee, mentre John era rinomato per il suo senso dell’humour, per le sue feste e, soprattutto, per le sue tante ragazze. Inoltre, John resto’ sempre al cuore della politica, convinto anticomunista, lavorando ai problemi relativi ai missili intercontinentali e consulente del governo statunitense sulle questioni militari, mentre Alan, terminata la guerra, se ne disinteresso’ completamente.

I due avevano ancora molto da dare al mondo, ed entrambi si interessavano del comportamento umano. Von Neumann termino’ di teorizzare la sua Teoria dei Giochi, che cercava di spiegare il comportamento umano in ambienti competitivi, mentre Turing profetizzava l’avvento delle “macchine intelligenti” pubblicando nel 1950 l’ormai leggendario “Machine Computery and Intelligence” che, convenzionalmente, segna l’inizio degli studi sull’Intelligenza Artificiale.

Anche i loro ultimi lavori furono in qualche maniera accomunati: Alan si volse verso la biologia, e pubblico’ un’articolo su una sua propria teoria della morfogenesi (lo sviluppo di un organismo) che riscosse un certo plauso nella comunità scientifica, mentre Von Neumann sviluppo’ una “teoria degli automi”, programmi capaci di autoriprodursi (come il “gioco” Life, di cui abbiamo parlato nell’articolo Anno Nuovo, Giochi Vecchi).

Durante queste loro ultime ricerche, pero’, il loro declino era già iniziato e si profilava inesorabile. Alan venne arrestato per omosessualità, processato e condannato ad una terapia innovativa a base di ormoni, che lo rese impotente e, probabilmente, influi’ anche sul suo già fragile stato emotivo, mentre Von Neumann fu costretto sulla sedia a rotelle da un tumore alle ossa, forse risultato di un eccesso di radiazioni assorbito mentre assisteva ad un test atomico sull’isola di Bikini.

Alan Turing muore nel 1954, forse suicida, addentando una mela intrisa di cianuro (anche se la madre continuo’ a ritenerlo un incidente, mentre il suo biografo Hodges si spinge ad ipotizzare un coinvolgimento dei servizi segreti), mentre Von Neumann si spense nel 1957. Solo pochi amici restarono al loro fianco fino alla fine, e con la loro morte si chiudeva la prima fase di sviluppo dei calcolatori: di li a poco, con l’avvento dei transistor, essi avrebbero raggiunto la maturità arrivando a livelli forse impensabili per i loro stessi genitori.

Mentre il lavoro di Von Neumann fu, anche mentre egli era in vita, considerato da subito brillante e geniale, il valore di Turing non venne invece completamente capito (Von Neumann fu uno dei pochi a tributargli il ruolo centrale nello sviluppo nell’informatica che meritava), e solo negli ultimi decenni questo é stato riconosciuto, ivi incluso il suo lavoro durante la Seconda Guerra Mondiale.